高考数学精品讲义练习【一轮复习】第八章　8．6　双曲线

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第八章　8．6　双曲线，共19页。试卷主要包含了掌握双曲线的几何性质.，了解双曲线的简单应用，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、轴长、渐近线、离心率).
3．了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ eq \r(2)．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
教材拓展
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为 eq \f(2b2,a).
4．与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系方程可表示为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝t(t≠0).
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程 eq \f(x2,m)－ eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线 eq \f(x2,m2)－ eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是 eq \f(x,m)± eq \f(y,n)＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 eq \r(2).( √ )
2．(人教A版选择性必修第一册P121T3改编)已知曲线C的方程为 eq \f(x2,k＋1)＋ eq \f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是( C )
A．－10)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( C )
A． eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,2)＝1 B． eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,4)＝1
C． eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,8)＝1 D． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,8)＝1
【解析】 方法一 根据题意，画出图形，如图，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，所以m2＋n2＝(2c)2＝4c2， eq \f(1,2)mn＝8，因为直线PF2的斜率为2，所以tan ∠F1F2P＝ eq \f(m,n)＝2，所以m＝2n，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2n，,\f(1,2)mn＝8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4\r(2)，,n＝2\r(2)，))所以2a＝m－n＝2 eq \r(2)，即a＝ eq \r(2)，所以4c2＝m2＋n2＝40，即c2＝10，所以b2＝c2－a2＝10－2＝8，所以双曲线的方程为 eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,8)＝1.故选C.
方法二 由题可知，点P必落在第四象限，
∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝t，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由kPF2＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝ eq \f(2\r(5),5)，因为∠F1PF2＝90°，所以kPF1·kPF2＝－1，求得kPF1＝－ eq \f(1,2)，即tan θ2＝ eq \f(1,2)，sin θ2＝ eq \f(\r(5),5)，由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶ eq \r(5)，则由|PF2|＝t得|PF1|＝2t，|F1F2|＝2c＝ eq \r(5)t，由S△PF1F2＝ eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝ eq \f(1,2)×2t×t＝8得t＝2 eq \r(2)，则|PF2|＝2 eq \r(2)，|PF1|＝4 eq \r(2)，|F1F2|＝2c＝2 eq \r(10)，c＝ eq \r(10)，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2 eq \r(2)，a＝ eq \r(2)，b＝ eq \r(c2－a2)＝2 eq \r(2)，所以双曲线的方程为 eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,8)＝1.故选C.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 eq \f(x2,m2)－ eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)；与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为 eq \f(x2,a2＋λ)－ eq \f(y2,b2－λ)＝1(－a20)，故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,b2＝3，))故双曲线的标准方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1.故选A.
(2)(2024·天津南开区二模)已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为 eq \f(24,7)的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若|F1F2|＝|AF2|，则此双曲线的标准方程可能为( C )
A． eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,4)＝1 B． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,3)＝1
C． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1 D． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1
解析：因为|AF2|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，可得|AF1|＝2a＋2c，由于过F2的直线斜率为 eq \f(24,7)，所以在等腰三角形AF1F2中，tan ∠AF2F1＝－ eq \f(24,7)，则cs ∠AF2F1＝－ eq \f(7,25)，由余弦定理得cs ∠AF2F1＝－ eq \f(7,25)＝ eq \f(4c2＋4c2－(2a＋2c)2,2×2c×2c)，化简得39c2－50ac－25a2＝0，可得3c＝5a，即a＝ eq \f(3,5)c，b＝ eq \f(4,5)c，可得a∶b＝3∶4，a2∶b2＝9∶16，所以此双曲线的标准方程可能为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1.故选C.
考点3 双曲线的几何性质
命题角度1 渐近线
【例3】 (1)(2024·河北廊坊模拟)已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x－2y－5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则该双曲线的方程为 eq \f(x2,20)－ eq \f(y2,5)＝1．
【解析】 因为双曲线的一个焦点在直线l：x－2y－5＝0上，令y＝0，则x＝5，故双曲线的右焦点为(5，0)，所以c＝5，所以c2＝a2＋b2＝25①，又因为双曲线的一条渐近线平行于直线l：x－2y－5＝0，所以 eq \f(b,a)＝ eq \f(1,2)②，由①②解得b2＝5，a2＝20，所以双曲线的方程为 eq \f(x2,20)－ eq \f(y2,5)＝1.
(2)已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知 eq \f(|PF1|,|PF2|)＝ eq \f(1,2)，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x．
【解析】 如图，依题意， eq \f(|PF1|,|PF2|)＝ eq \f(1,2)，|PF2|－|PF1|＝2a，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，令双曲线半焦距为c，双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，则点F2(c，0)到渐近线的距离d＝ eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，有cs ∠PF2F1＝ eq \f(b,c)，在△PF1F2中，由余弦定理|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2||PF2|·cs ∠PF2F1＝|PF1|2，得(2c)2＋(4a)2－2×2c×4a× eq \f(b,c)＝(2a)2，整理得c2＋3a2－4ab＝0，即4a2－4ab＋b2＝0，解得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
1．求双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程为 eq \f(x,a)± eq \f(y,b)＝0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或y＝±\f(b,a)x)).
2．在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝± eq \f(b,a)满足关系式e2＝1＋k2.
命题角度2 离心率
【例4】 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 eq \f(3,2)．
【解析】 方法一 由题意知，|F1A|＝13，
|F2A|＝ eq \f(1,2)|AB|＝5，∴|F1A|－|F2A|＝2a＝8，解得a＝4.又x＝c时，y＝± eq \f(b2,a)，即|F2A|＝ eq \f(b2,a)＝5，∴b2＝5a＝20，∴c2＝a2＋b2＝16＋20＝36，∴c＝6，∴双曲线C的离心率为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,2).
方法二 仿方法一，不妨令A在x轴上方，则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，由|F1A|＝13，|F2A|＝ eq \f(1,2)|AB|＝5，F1(－c，0)，得 eq \f(b2,a)＝5，且(2c)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)))2＝132，又c2＝a2＋b2，解得a＝4，c＝6，∴双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,2).
方法三 ∵AB⊥x轴，|AB|＝10，直线AB过F2，∴由双曲线的对称性得|AF2|＝|BF2|＝5，不妨设A(c，5)，又F1(－c，0)，|AF1|＝13，∴(2c)2＋52＝132，解得c＝6，从而A(6，5)，代入双曲线的方程得 eq \f(36,a2)－ eq \f(25,b2)＝1，即 eq \f(36,a2)－ eq \f(25,36－a2)＝1，解得a＝4，∴双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,2).
方法四 ∵|AB|＝10，∴ eq \f(2b2,a)＝ eq \f(2(c2－a2),a)＝10，由方法三可知c＝6，∴a2＋5a－36＝0，解得a＝4，∴双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,2).
(2)(2024·四川宜宾模拟)已知F1，F2为双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为(0， eq \r(2)b).若|PF2|－|PQ|有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是( eq \r(2)，＋∞)．
【解析】 如图所示，由双曲线的定义，P为双曲线右支上任意一点，可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝|PF1|－2a，则|PF2|－|PQ|＝|PF1|－|PQ|－2a≤|F1Q|－2a，当三点P，Q，F1共线时，取得最大值，由点P为双曲线右支上任意一点，可得 eq \f(\r(2)b,c)< eq \f(b,a)，所以e＝ eq \f(c,a)> eq \r(2)，即双曲线的离心率的取值范围为( eq \r(2)，＋∞).
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程(或不等式)，利用c2＝a2＋b2和e＝ eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
【对点训练3】 (1)(2024·四川雅安三模)设F1，F2分别为双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点M，交y轴于点N，且F2为线段MN的中点，并满足 eq \(F1M,\s\up6(→))⊥ eq \(F1N,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为( A )
A． eq \f(\r(3)＋1,2) B． eq \r(3)＋1
C．2 D． eq \r(5)＋1
解析：由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，设M(x，y)，因为F2为线段MN的中点，所以N(0，－y)，x＝2c，即M(2c，y)，则 eq \(F1M,\s\up6(→))＝(3c，y)， eq \(F1N,\s\up6(→))＝(c，－y)，因为 eq \(F1M,\s\up6(→))⊥ eq \(F1N,\s\up6(→))，所以 eq \(F1M,\s\up6(→))· eq \(F1N,\s\up6(→))＝3c2－y2＝0，即y2＝3c2，又M在双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，所以 eq \f(4c2,a2)－ eq \f(3c2,b2)＝1，结合b2＝c2－a2整理得4c4－8c2a2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝1＋ eq \f(\r(3),2)或e2＝1－ eq \f(\r(3),2)(舍去)，由e>1，解得e＝ eq \f(\r(3)＋1,2).故选A.
(2)(多选)(2024·江苏南通二模)已知双曲线C： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( AD )
A．C的虚轴长为2 eq \r(2)
B．C的离心率为 eq \r(6)
C．|PF|的最小值为2
D．直线PF的斜率不可能等于－ eq \f(\r(2),2)
解析：双曲线C： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－ eq \f(1,b)＝－ eq \f(b,2)，解得b＝ eq \r(2)，C的虚轴长2b＝2 eq \r(2)，A正确；C的离心率e＝ eq \f(\r(a2＋b2),a)＝ eq \f(\r(6),2)，B错误；点F( eq \r(6)，0)到直线l：x＋ eq \r(2)y＝0的距离为 eq \f(\r(6),\r(12＋(\r(2))2))＝ eq \r(2)，即|PF|的最小值为 eq \r(2)，C错误；直线l：x＋ eq \r(2)y＝0的斜率为－ eq \f(\r(2),2)，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不可能等于－ eq \f(\r(2),2)，D正确．故选AD.
【例】 (2024·广东汕头模拟)已知点M(x0，y0)为双曲线 eq \f(x2,2)－y2＝1上的动点．
(1)判断直线 eq \f(x0x,2)－y0y＝1与双曲线的公共点个数，并说明理由．
(2)(ⅰ)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明．
(ⅱ)将双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝0，请利用该方程证明如下命题：若T(m，n)为双曲线C上一点，直线l： eq \f(mx,a2)－ eq \f(ny,b2)＝1与C的两条渐近线分别交于点P，Q，则T为线段PQ的中点．
【解】 (1)直线与双曲线只有1个公共点．理由：∵点M(x0，y0)在双曲线 eq \f(x2,2)－y2＝1上，
∴ eq \f(x eq \\al(2,0),2)－y eq \\al(2,0)＝1①，
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)－y2＝1，,\f(x0x,2)－y0y＝1，))
得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,0),2)－\f(x eq \\al(2,0),4)))x2＋x0x－(1＋y eq \\al(2,0))＝0，
将①式代入，整理得x2－2x0x＋x eq \\al(2,0)＝0，
∵Δ＝4x eq \\al(2,0)－4x eq \\al(2,0)＝0，∴该直线与双曲线有且只有1个公共点．
(2)(ⅰ)过双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点(x0，y0)的切线方程为 eq \f(x0x,a2)－ eq \f(y0y,b2)＝1.
(ⅱ)证明：当n＝0时，直线l的斜率不存在，此时T为双曲线与x轴的交点，
由对称性知，点T为线段PQ的中点，
当n≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(t，s)，
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝0，,\f(mx,a2)－\f(ny,b2)＝1，))得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n2,b2)－\f(m2,a2)))x2＋2mx－a2＝0，由 eq \f(m2,a2)－ eq \f(n2,b2)＝1将上式整理得x2－2mx＋a2＝0，∴t＝ eq \f(x1＋x2,2)＝m，
又∵ eq \f(mt,a2)－ eq \f(ns,b2)＝1(注意：点N(t，s)在直线l上)，∴s＝ eq \f(b2,n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,a2)－1))＝n，则N(m，n)，
∴点T与点N重合，∴T为线段PQ的中点．
综上，T为线段PQ的中点．
本题考法新颖，不同于以往解析几何大题先求曲线方程的常规套路，而是要求证明一个二级结论，教学过程中师生都易关注常见结论，而忽视结论的由来和证明，导致学生出现“知其然，不知其所以然”的现象，本题提示我们在学习过程中要注重数学推导过程的学习．
圆锥曲线的第三定义
1．链接教材：(1)（人教A版选择性必修第一册P108例3）
如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－ eq \f(4,9)，求点M的轨迹方程．
(2)（人教A版选择性必修第一册P121探究）
如图，点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 eq \f(4,9)，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，比较(1)和(2)的轨迹方程，你有什么发现？
2．圆锥曲线的第三定义
平面内的动点到两定点A1(－a，0)，A2(a，0)的斜率之积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．其中如果常数e2－1∈(0，＋∞)，轨迹为双曲线，如果常数e2－1∈(－1，0)，轨迹为椭圆．
3．圆锥曲线的第三定义的有关结论
(1)椭圆方程中有关－ eq \f(b2,a2)的经典结论
①AB是椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，O为坐标原点，则有kOM·kAB＝－ eq \f(b2,a2)，即kAB＝－ eq \f(b2x0,a2y0).
②椭圆的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，A1，A2为椭圆的长轴顶点，点P是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有kPA1·kPA2＝－ eq \f(b2,a2).
③椭圆的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，B1，B2为椭圆的短轴顶点，点P是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有kPB1·kPB2＝－ eq \f(b2,a2).
④椭圆的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，点P是椭圆上异于A，B两点的任一点，则有kPA·kPB＝－ eq \f(b2,a2).
(2)双曲线方程中有关 eq \f(b2,a2)的经典结论
①AB是双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，O为坐标原点，则有kOM·kAB＝ eq \f(b2,a2)，即kAB＝ eq \f(b2x0,a2y0).
②双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，A1，A2为双曲线的实轴顶点，点P是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有kPA1·kPA2＝ eq \f(b2,a2).
③双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，B1，B2为双曲线的虚轴端点，点P是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有kPB1·kPB2＝ eq \f(b2,a2).
④双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，点P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则有kPA·kPB＝ eq \f(b2,a2).
【典例】 (1)已知A，B分别是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( D )
A． eq \r(5) B．2
C． eq \r(3) D． eq \r(2)
【解析】 设双曲线E： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，点M在双曲线右支上，则∠ABM
＝120°，∠BAM＝∠BMA＝30°，如图，过点M作MH⊥x轴于点H，则∠MBH＝180°－∠ABM＝60°，所以直线AM和直线BM的斜率分别为 eq \f(\r(3),3)和 eq \r(3)，由双曲线第三定义，得kMA·kMB＝ eq \f(\r(3),3)× eq \r(3)＝1＝e2－1，所以离心率e＝ eq \r(2).故选D.
(2)椭圆C： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( B )
A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
【解析】 设点P坐标为(x0，y0)，则 eq \f(x eq \\al(2,0),4)＋ eq \f(y eq \\al(2,0),3)＝1，kPA2＝ eq \f(y0,x0－2)，kPA1＝ eq \f(y0,x0＋2)，于是kPA1·kPA2＝ eq \f(y eq \\al(2,0),x eq \\al(2,0)－22)＝ eq \f(3－\f(3,4)x eq \\al(2,0),x eq \\al(2,0)－4)＝－ eq \f(3,4)，故kPA1＝－ eq \f(3,4)· eq \f(1,kPA2).因为kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))).故选B.
课时作业58
1．（5分）已知双曲线 eq \f(x2,a＋4)－ eq \f(y2,a－4)＝1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a＝( A )
A．5 B．6
C．8 D．9
解析：由双曲线 eq \f(x2,a＋4)－ eq \f(y2,a－4)＝1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，可得 eq \r(a＋4)＝3 eq \r(a－4)，可得a＋4＝9(a－4)，解得a＝5.故选A.
2．（5分）若方程 eq \f(x2,m)－ eq \f(y2,m＋1)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( A )
A．m0 B．m>0
C．m0)的实半轴长为 eq \r(3)，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为( B )
A．y＝± eq \r(3)x B．y＝± eq \f(\r(3),3)x
C．y＝± eq \f(\r(3),2)x D．y＝± eq \f(2\r(3),3)x
解析：设双曲线C： eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)，双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，由点到直线的距离公式可得 eq \f(|b×c±a×0|,\r(a2＋b2))＝ eq \f(|bc|,\r(c2))＝b＝3，又双曲线C： eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的实半轴长为 eq \r(3)，所以a＝ eq \r(3)，所以双曲线C的渐近线方程为3y± eq \r(3)x＝0，即y＝± eq \f(\r(3),3)x.故选B.
4．（5分）（2024·福建莆田三模）已知圆C：(x－3)2＋y2＝16，A(－3，0)，P是圆C上的动点，线段PA的垂直平分线与直线PC（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是( C )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：由题意可得圆心C(3，0)，半径r＝4.因为M在线段PA的垂直平分线上，所以|MA|＝|MP|，则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||＝|CP|＝4.因为|AC|＝6>|CP|，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线．故选C.
5．（5分）（2024·北京东城区二模）已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点（3， eq \r(2)），且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为( A )
A． eq \f(x2,3)－y2＝1 B．x2－ eq \f(y2,3)＝1
C． eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,2)＝1 D．x2－4y2＝1
解析：由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝ eq \f(\r(3),3)x，设双曲线方程为 eq \f(x2,3)－y2＝λ≠0，将（3， eq \r(2)）代入，可得λ＝ eq \f(32,3)－（ eq \r(2)）2＝1，所以双曲线的方程为 eq \f(x2,3)－y2＝1.故选A.
6．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则cs ∠F1BF2＝( B )
A． eq \f(1,18) B． eq \f(1,9)
C． eq \f(2,9) D． eq \f(2,3)
解析：如图，由于|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，且|BF2|－|BF1|＝2a，
|AF2|－|AF1|＝2a，设|BF1|＝m，则|AF1|＝2m，故|BF2|＝3m，所以3m－m＝2a，即m＝a，则|BF1|＝a，|AF1|＝2a，|BF2|＝3a，
|AF2|＝4a，在△BAF2中，由余弦定理得cs ∠F1BF2＝ eq \f(9a2＋9a2－16a2,2×3a×3a)＝ eq \f(1,9).故选B.
7．（5分）（2024·全国甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( C )
A．4 B．3
C．2 D． eq \r(2)
解析：方法一 设双曲线的上、下两焦点分别为F1，F2，因为F1(0，4)，F2(0，－4)，点P(－6，4)在该双曲线上，所以|F1F2|＝8，|PF1|＝6，|PF2|＝ eq \r(62＋(4＋4)2)＝10，所以e＝
eq \f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝ eq \f(c,a)＝2.故选C.
方法二 由题意得焦点在y轴上，可设双曲线方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(16,a2)－\f(36,b2)＝1，,a2＋b2＝16，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2\r(3)，))从而e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.故选C.
方法三 设双曲线的上、下两焦点分别为F1，F2，则F1(0，4)，F2(0，－4)，又P(－6，4)，所以点P，F1纵坐标相同，所以|PF1|是通径的一半，即|PF1|＝ eq \f(b2,a)＝6，因为|F1F2|＝8，所以c＝4，则16－a2＝6a，解得a＝2，则双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(4,2)＝2.故选C.
8．（5分）（2024·江西新余一模）已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为F1关于渐近线的对称点．若 eq \f(|MF1|,|MF2|)＝2，且△MF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为( C )
A．x2－ eq \f(y2,4)＝1 B． eq \f(x2,4)－y2＝1
C． eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,8)＝1 D． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,16)＝1
解析：如图，记F1M与渐近线bx＋ay＝0相交于点N，由题可知，ON为△MF1F2的中位线，且ON⊥F1M，所以F2M⊥F1M，因为焦点F1(－c，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离|F1N|＝ eq \f(|－bc|,\r(b2＋a2))＝b，所以|F1M|＝2b，|F2M|＝2|ON|＝2 eq \r(|F1O|2－|F1N|2)＝2a，则S△F1F2M＝ eq \f(1,2)|MF1||MF2|＝2ab＝8，又 eq \f(|MF1|,|MF2|)＝2，即b＝2a，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ab＝8，,b＝2a，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,b2＝8，))所以双曲线C的方程为 eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,8)＝1.故选C.
9．（7分）（多选）（2024·河北邯郸三模）已知双曲线C： eq \f(x2,λ＋6)－ eq \f(y2,3－λ)＝1，则( AC )
A．λ的取值范围为(－6，3)
B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C．C的焦距为6
D．C的离心率e的取值范围为(1，3)
解析：∵ eq \f(x2,λ＋6)－ eq \f(y2,3－λ)＝1表示双曲线，∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－60，b2>0)的离心率为e2，两曲线有公共焦点F1，F2，P是椭圆与双曲线的一个公共点，∠F1PF2＝60°，以下结论正确的是( BCD )
A．a eq \\al(2,1)－a eq \\al(2,2)＝b eq \\al(2,1)－b eq \\al(2,2)
B． eq \f(1,4e eq \\al(2,1))＋ eq \f(3,4e eq \\al(2,2))＝1
C．b eq \\al(2,1)＝3b eq \\al(2,2)
D．若e2∈[ eq \r(3)，2]，则e1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(13),13)，\f(\r(3),3)))
解析：如图，根据题意，设F1(－c，0)，F2(c，0)，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a eq \\al(2,1)－b eq \\al(2,1)＝c2，,a eq \\al(2,2)＋b eq \\al(2,2)＝c2，))所以a eq \\al(2,1)－b eq \\al(2,1)＝a eq \\al(2,2)＋b eq \\al(2,2)，即a eq \\al(2,1)－a eq \\al(2,2)＝b eq \\al(2,1)＋b eq \\al(2,2)，所以A错误；不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|＝2a2，,|PF1|＋|PF2|＝2a1，))所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，又由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，可得4c2＝2a eq \\al(2,1)＋2a eq \\al(2,2)－（a eq \\al(2,1)－a eq \\al(2,2)）＝a eq \\al(2,1)＋3a eq \\al(2,2)，所以 eq \f(1,4e eq \\al(2,1))＋ eq \f(3,4e eq \\al(2,2))＝ eq \f(a eq \\al(2,1),4c2)＋ eq \f(3a eq \\al(2,2),4c2)＝ eq \f(4c2,4c2)＝1，所以B正确；由a eq \\al(2,1)－c2＝3c2－3a eq \\al(2,2)，可得b eq \\al(2,1)＝3b eq \\al(2,2)，所以C正确；因为e2∈[ eq \r(3)，2]，所以 eq \f(1,e eq \\al(2,2))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))，由 eq \f(1,4e eq \\al(2,1))＋ eq \f(3,4e eq \\al(2,2))＝1可得 eq \f(1,e eq \\al(2,1))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，\f(13,4)))，所以e1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(13),13)，\f(\r(3),3)))，所以D正确．故选BCD.
12．（5分）（2024·安徽马鞍山三模）已知双曲线Γ： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，若|AF1|＝8，|BF1|＝5，∠AF1B＝60°，则a＝ eq \f(3,2)．
解析：如图，依题意过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，且|AF1|＝8，|BF1|＝5，∠AF1B＝60°，则|AF2|＝8－2a>0，|BF2|＝5－2a>0，所以00，b>0)，依题有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(6,b2)＝1，,\f(b,a)＝2，))方程组无解；当双曲线的焦点在y轴上时，设其方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，依题有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(a,b)＝2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝\f(\r(2),2)，))则e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝ eq \f(\r(5),2).
14．（5分）（2024·河南郑州三模）已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为 eq \r(2)，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点O重合），点P在双曲线C上，且 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝2 eq \(OP,\s\up6(→))，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为2 eq \r(6)．
解析：如图，由e＝ eq \r(2)＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))，可得a＝b，故双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，不妨设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，因为 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝2 eq \(OP,\s\up6(→))，则点P为AB的中点，则P eq \f(x1＋x2,2)， eq \f(x1－x2,2)，将其代入x2－y2＝a2中，整理得x1x2＝a2，又|OA|＝ eq \r(2)|x1|，|OB|＝ eq \r(2)|x2|，且OA⊥OB，则△AOB的面积为 eq \f(1,2)× eq \r(2)|x1|× eq \r(2)|x2|＝6，即a2＝6，解得a＝ eq \r(6)，故双曲线的实轴长为2 eq \r(6).
15．（5分）（2024·山东日照一模）已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(－2，2)为椭圆C内一点，点Q(a，b)在双曲线E： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,4)＝1上，若椭圆上存在一点P，使得|PA|＋|PF2|＝8，则a的取值范围是( A )
A．（ eq \r(5)＋1，5] B．[3，5]
C．（ eq \r(5)＋1，2 eq \r(5)] D．[ eq \r(3)， eq \r(5)]
解析：点Q(a，b)在双曲线E： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,4)＝1上，所以a2－b2＝4，所以椭圆左焦点F1坐标为(－2，0).因为|PA|＋|PF2|＝8，所以|PA|＋2a－|PF1|＝8，所以||PA|－|PF1||＝|8－2a|≤|AF1|＝2，所以3≤a≤5.因为a2－b2＝4，所以b2＝a2－4.点A(－2，2)为椭圆C内一点，所以 eq \f(4,a2)＋ eq \f(4,b2) eq \r(5)＋1或00，b>0)，直线l：y＝kx＋m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k≠±\f(b,a)))，其他条件不变，可得点P(x，y)的轨迹方程是 eq \f(x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2,a)))\s\up12(2))－ eq \f(y2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2,b)))\s\up12(2))＝1(y≠0)，轨迹是焦点在x轴上，实轴长为 eq \f(2(a2＋b2),a)，虚轴长为 eq \f(2(a2＋b2),b)的双曲线（去掉两个顶点）.项目
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点
F1(－c，0)，
F2(c，0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
简
单
几
何
性
质
范围
x≤－a或x≥a，
y∈R
y≤－a或y≥a，
x∈R
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线
± eq \f(b,a)x
± eq \f(a,b)x
离心率
e＝ eq \f(c,a)，且e∈(1，＋∞)