高考数学精品讲义练习【一轮复习】第八章　8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第八章　8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系，共12页。试卷主要包含了直线l，圆C1，已知圆C，已知动点M，N分别在圆C1等内容，欢迎下载使用。
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．直线与圆的位置关系
设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示．
2.圆与圆的位置关系
教材拓展
与切线、切点弦有关的结论
(1)已知
⊙O1：x2＋y2＝r2；
⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
①若点M(x0，y0)在圆上，则过M的切线方程分别为x0x＋y0y＝r2；(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；x0x＋y0y＋D· eq \f(x0＋x,2)＋E· eq \f(y0＋y,2)＋F＝0.
②若点M(x0，y0)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M1，M2，则切点弦（两切点的连线）所在直线的方程分别为x0x＋y0y＝r2；(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；x0x＋y0y＋D· eq \f(x0＋x,2)＋E· eq \f(y0＋y,2)＋F＝0.
(2)圆x2＋y2＝r2的斜率为k的两条切线方程分别为y＝kx±r eq \r(1＋k2).
(3)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引圆的切线，T为切点，切线长公式为|MT|＝ eq \r(x eq \\al(2,0)＋y eq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
(4)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( × )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．( √ )
(4)“k＝0”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( × )
2．（人教A版选择性必修第一册P93T1改编）直线l：y＝x＋1与圆C：(x－1)2＋y2＝4的位置关系是( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．都有可能
解析：圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为2，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心到直线l的距离为 eq \f(|1－0＋1|,\r(1＋1))＝ eq \r(2)0)，其圆心、半径分别为M(a，0)，r1＝a，圆N：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，其圆心、半径分别为N(2，－1)，r2＝1，因为M(a，0)到直线2x＋y＝2的距离d＝ eq \f(|2a－2|,\r(5))＝ eq \r(5)，所以a＝ eq \f(7,2)或a＝－ eq \f(3,2)（舍去），从而M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，0))，所以|MN|＝ eq \r(\f(9,4)＋1)＝ eq \f(\r(13),2)，因为|MN|＝ eq \f(\r(13),2)|AB|
【解析】 因为12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3>0，所以点(1，－1)在圆O2外，故A错误；圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，将两圆的方程相减可得x＋y－1＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x＋y－1＝0，故B正确；圆O1的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，圆心O1到直线AB：x＋y－1＝0的距离d＝ eq \f(|－1－1|,\r(2))＝ eq \r(2)，所以圆O1上的点到直线AB距离的最大值为2＋ eq \r(2)，故C正确；直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故D错误．故选BC.
1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
【对点训练2】 (1)（2024·河北石家庄二模）已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝( C )
A． eq \f(\r(5),2) B． eq \r(5)
C． eq \r(15) D． eq \f(\r(15),2)
解析：因为圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，所以直线AB的方程即为两圆方程相减所得方程，即2x＋4y－5＝0，且圆O1：x2＋y2＝5的半径为 eq \r(5)，圆心O1(0，0)到直线2x＋4y－5＝0的距离d＝ eq \f(|－5|,\r(22＋42))＝ eq \f(\r(5),2)，所以|AB|＝2 eq \r((\r(5))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2))＝ eq \r(15).故选C.
(2)（多选）（2024·黑龙江齐齐哈尔一模）已知圆C1：(x－3)2＋y2＝1，C2：x2＋(y－a)2＝16，则下列结论正确的有( BCD )
A．若圆C1和圆C2外离，则a>4
B．若圆C1和圆C2外切，则a＝±4
C．当a＝0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D．当a＝－2时，圆C1和圆C2相交
解析：由题意得，圆C1的圆心C1(3，0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(0，a)，半径r2＝4，|C1C2|＝ eq \r(9＋a2).若C1和C2外离，则|C1C2|＝ eq \r(9＋a2)>r1＋r2＝5，解得a>4或a