高考数学(文数)一轮复习课时练习：8.6《双曲线》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)

A.　　　　　　　　 B．3

C.m  D．3m

解析：双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为.选A.

答案：A

2．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)

A．2  B.

C.  D．1

解析：因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.

答案：D

3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为(　　)

A．x±2y＝0  B．y±2x＝0

C．x±4y＝0  D．y±4x＝0

解析：依题意，题中的双曲线即－x2＝1，因此其渐近线方程是－x2＝0，即x±2y＝0，选A.

答案：A

4．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)

A．4　　　　　　　 B．8

C．24  D．48

解析：由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2，

又|PF1|＝|PF2|，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，

又|F1F2|＝2c＝10，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，△PF1F2为直角三角形．

△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.

答案：C

5．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)

A．2  B.

C.  D.

解析：由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，

所以e＝.

答案：C

6．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)

A．x2－＝1  B.－y2＝1

C.－x2＝1  D．y2－＝1

解析：A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，

又令－x2＝0，得y＝±2x，令y2－＝0，得y＝±x，故选C.

答案：C

7．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：由题意得e＝＝，又右焦点为F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，

故双曲线C的方程为－＝1.

答案：C

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)

A.－y2＝1  B．x2－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.

答案：A

9．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线C的离心率是(　　)

A.  B.

C．2  D.

解析：由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，可得＝2，

∴e＝＝＝.故选A.

答案：A

10．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：C1的渐近线为y＝±2x，即＝2.

又∵2c＝4，c＝2.由c2＝a2＋b2得，∴20＝b2＋b2，b＝4.

答案：B

11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：依题意，解得，∴双曲线C的方程为－＝1.

答案：A

12．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．

解析：法一：因为双曲线过点(4，)且渐近线方程为y＝±x，故点(4，)在直线y＝x的下方．设该双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

所以，解得故双曲线方程为－y2＝1.

法二：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，故可设双曲线为－y2＝λ(λ≠0)，

又双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为－y2＝1.

答案：－y2＝1

13．双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．

解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离为＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8.

答案：8

14．已知双曲线C；－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________．

解析：易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，

∴∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－＝1.

答案：x2－＝1

15．)已知抛物线y2＝8x与双曲线－y2＝1(a>0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为________．

解析：抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，设M(m，n)，则由抛物线的定义可得|MF|＝m＋2＝5，解得m＝3，故n2＝24，可得n＝±2.将M(3，±2)代入双曲线－y2＝1，可得－24＝1，解得a＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.

答案：y＝±x

B组　能力提升练

1．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)

A.　　　　　　　 B．2

C．4  D．8

解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.

答案：C

2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A．(1，)  B．(1，]

C．(，＋∞)  D．[，＋∞)

解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，

∴e＝＝>＝.

答案：C

3．若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)

A．离心率相等  B．虚半轴长相等

C．实半轴长相等  D．焦距相等

解析：由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，

由＝，得两双曲线的焦距相等．

答案：D

4．设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即＝，故e＝＝(负值舍去)．

答案：B

5．已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为(　　)

A.  B.

C．2  D.

解析：由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，

由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，

故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.

答案：C

6．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，选D.

答案：D

7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c＝5，＝，

又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以此双曲线的方程为－＝1.

答案：C

8．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为(　　)

A.  B.

C．2  D.

解析：不妨设B(x，－x)，|OB|＝＝c，可取B(－a，b)，由题意可知点A为BF的中点，所以A(，)，又点A在直线y＝x上，则·＝，c＝2a，e＝2.

答案：C

9．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为(　　)

A.  B.

C.  D．2

解析：由题意得ab＝c2，∴a2(c2－a2)＝c4，整理得3e4－16e2＋16＝0.

解之得e2＝4或e2＝，又0<a<b⇒a2<c2－a2⇒c2>2a2⇒e2>2，故e2＝4.∴e＝2.

答案：D

10．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，作圆x2＋y2＝a2的切线交双曲线的右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是(　　)

A．b－a＝|MO|－|MT|

B．b－a>|MO|－|MT|

C．b－a<|MO|－|MT|

D．b－a＝|MO|＋|MT|

解析：如图，连接OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝b，

连接PF2，

∵M为线段F1P的中点，O为F1F2的中点，∴|OM|＝|PF2|，

∴|MO|－|MT|＝|PF2|－＝(|PF2|－|PF1|)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a，故选A.

答案：A

11．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若＝，则双曲线的渐近线方程为________．

解析：由得x＝－，由

解得x＝，不妨设xA＝－，xB＝，由＝可得－＋c＝＋，

整理得b＝3a.所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.

答案：3x±y＝0

12．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．

解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2，所以其面积为×2×2＝4.

答案：4

13．设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是______．

解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．

答案：(2，8)

14．已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是________．

解析：设P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos ＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·(－)＝×(－)＝－.

答案：－