高考数学精品讲义练习【一轮复习】第八章　8．7　抛物线

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第八章　8．7　抛物线，共15页。试卷主要包含了掌握抛物线的简单几何性质.，掌握抛物线的简单应用，已知直线y＝k与抛物线C，已知F是抛物线C，抛物线C，已知抛物线C，已知圆N等内容，欢迎下载使用。
1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
3．掌握抛物线的简单应用．
1．抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
教材拓展
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋ eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线l的斜率为k，倾斜角为α，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|，|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝ eq \f(2p,sin2α).
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).( × )
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( √ )
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( √ )
2．（人教A版选择性必修第一册P133T2改编）已知抛物线C：y＝6x2，则C的准线方程为( C )
A．y＝－ eq \f(3,2) B．y＝ eq \f(3,2)
C．y＝－ eq \f(1,24) D．y＝ eq \f(1,24)
解析：抛物线C：y＝6x2的标准方程为x2＝ eq \f(1,6)y，所以其准线方程为y＝－ eq \f(1,24).故选C.
3．（人教A版选择性必修第一册P133T3改编）已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是( B )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－2x D．y2＝－4x
解析：由题意知p>0，则准线方程为x＝－ eq \f(p,2)，点M(2，y0)到焦点的距离等于其到准线的距离，即 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)－2))＝3，∴p＝2，则y2＝4x.故选B.
4．（人教A版选择性必修第一册P138练习T3改编）P为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p＝( D )
A．2 B．4
C．4或9 D．2或18
解析：由题意可得抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－ eq \f(p,2)，设点P(x，y)，又点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以有解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,p＝18))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,p＝2，))即p的值为18或2.故选D.
考点1 抛物线的定义与标准方程
【例1】 (1)（2024·北京海淀区三模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|＝6，则△MNF的面积为( C )
A．8 B．4 eq \r(5)
C．5 eq \r(5) D．10 eq \r(5)
【解析】 如图，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以|MF|＝xM＋1＝6，故xM＝5，不妨设M在第一象限，故M（5，2 eq \r(5)），所以S△MNF＝ eq \f(1,2)×(5－0)×2 eq \r(5)＝5 eq \r(5).故选C.
(2)（2024·陕西西安一模）平面上动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，则动点M满足的方程为y2＝12x(x≥0)或y＝0(x0)，则 eq \f(p,2)＝3，即p＝6，所以y2＝12x；当x0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2＝2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，如图，因为圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(2，－1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2，1)，即抛物线x2＝2py(p>0)经过点(2，1)，则4＝2p，解得p＝2.故选C.
(2)（2024·山西晋城一模）吉林雾凇大桥，位于吉林市松花江上，连接雾凇高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾凇大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为p米）的一部分，左、右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a米（将每根吊索视为线段）.已知最中间的吊索的长度（即图中点A到桥面的距离）为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点B到桥面的距离）为( A )
A． eq \f(98a2＋pb,p)米 B． eq \f(49a2＋pb,p)米
C． eq \f(169a2＋pb,p)米 D． eq \f(169a2＋2pb,2p)米
解析：以A为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为x2＝2py.因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为a米，则点B的横坐标为－14a，则yB＝ eq \f(x eq \\al(2,B),2p)＝ eq \f((－14a)2,2p)＝ eq \f(98a2,p)，所以点B到桥面的距离为 eq \f(98a2＋pb,p)米．故选A.
考点2 抛物线的几何性质
命题角度1 焦半径和焦点弦
【例2】 （2024·河北石家庄三模）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，斜率为k(k>0)的直线过F与C交于P，Q两点，若|FP|－|FQ|＝2 eq \r(5)，则k的值为( C )
A．1 B． eq \r(3)
C．2 D．3
【解析】 如图，由C：y2＝8x可得F(2，0)，则lPQ：y＝k(x－2)，k>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－2)，,y2＝8x，))得k2x2－ (4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＝16k4＋64k2＋64－16k4＝64k2＋64>0，x1＋x2＝ eq \f(4k2＋8,k2)＝4＋ eq \f(8,k2)，x1x2＝4，由焦半径公式可得|FP|＝x1＋2，
|FQ|＝x2＋2，则|FP|－|FQ|＝x1－x2＝2 eq \r(5)，则有x1＝ eq \f(2\r(5)＋4＋\f(8,k2),2)＝ eq \r(5)＋2＋ eq \f(4,k2)，x2＝ eq \f(－2\r(5)＋4＋\f(8,k2),2)＝－ eq \r(5)＋2＋ eq \f(4,k2)，x1x2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(4,k2))) eq \s\up12(2)－5＝4，解得k＝±2，又k>0，故k＝2.故选C.
与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝ eq \f(p2,4).
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2θ).
通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长：2p.
(3)焦半径：|AF|＝ eq \f(p,1－csθ)，|BF|＝ eq \f(p,1＋cs θ)， eq \f(1,|AF|)＋ eq \f(1,|BF|)＝ eq \f(2,p).
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
命题角度2 与抛物线有关的最值问题
【例3】 （2024·湖南常德一模）已知抛物线方程为y2＝16x，焦点为F.圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，设P为抛物线上的一点，Q为圆上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 由抛物线方程为y2＝16x，得焦点F(4，0)，准线方程为x＝－4，如图，过点P作准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|＝|PN|，所以|PF|＋|PQ|＝
|PN|＋|PQ|，当点Q固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，得圆心M(5，1)，半径r＝1，所以
|QN|min＝|MN|－r＝8.故选C.
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【对点训练2】 (1)（2024·山东泰安二模）设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝( A )
A． eq \f(4,3) B． eq \f(4\r(3),3)
C． eq \r(3) D． eq \f(2\r(3),3)
解析：如图所示，设M为准线与y轴的交点，因为∠PQF＝30°，且|PF|＝|PQ|，所以∠PFQ＝30°，∠QPF＝120°，因为FM∥PQ，所以∠QFM＝30°，而在Rt△QMF中，|QF|＝ eq \f(|FM|,cs 30°)＝ eq \f(2,\f(\r(3),2))＝ eq \f(4\r(3),3)，所以|PF|＝|PQ|＝ eq \f(|QF|,2)÷cs 30°＝ eq \f(2\r(3),3)÷ eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(4,3).故选A.
(2)（2024·湖南益阳三模）已知M是抛物线y2＝4x上一点，圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x－1对称的圆为圆C2，N是圆C2上的一点，则|MN|的最小值为( A )
A．2 eq \r(2)－1 B． eq \r(2)－1
C． eq \f(\r(11),2)－1 D． eq \f(3,7)
解析：如图，圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为C1(1，2)，半径r＝1，设C2(a，b)，则由对称性可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－2,a－1)×1＝－1，,\f(1＋a,2)－\f(2＋b,2)－1＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝0，))则C2(3，0)，所以圆C2：(x－3)2＋y2＝1，设M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,0),4)，y0))，则|MC2|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,0),4)－3))\s\up12(2)＋y eq \\al(2,0))＝ eq \r(\f(1,16)（y eq \\al(2,0)－4）2＋8)，所以当y eq \\al(2,0)＝4，即y0＝±2时，|MC2|min＝2 eq \r(2)，所以|MN|的最小值是2 eq \r(2)－1.故选A.
考点3 抛物线的综合问题
【例4】 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若 eq \(AP,\s\up6(→))＝3 eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
【解】 设直线l的方程为y＝ eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋ eq \f(3,2)，又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝ eq \f(5,2).
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)>0，则x1＋x2＝－ eq \f(12(t－1),9)，从而－ eq \f(12(t－1),9)＝ eq \f(5,2)，
得t＝－ eq \f(7,8)（满足Δ>0），所以直线l的方程为y＝ eq \f(3,2)x－ eq \f(7,8).
(2)由 eq \(AP,\s\up6(→))＝3 eq \(PB,\s\up6(→))，可得y1＝－3y2.
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝ eq \f(1,3).
所以A(3，3)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－1))，故|AB|＝ eq \f(4\r(13),3).
1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则可以选用一般弦长公式．
2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
【对点训练3】 过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
解：(1)抛物线C：x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－ eq \f(p,2)，焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2))).
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋ eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝ eq \f((－2)2,4)＝1.又F(0，1)，
易得直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
eq \(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)， eq \(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1).
∵MA⊥MB，∴ eq \(MA,\s\up6(→))⊥ eq \(MB,\s\up6(→))，∴ eq \(MA,\s\up6(→))· eq \(MB,\s\up6(→))＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，舍去，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
课时作业59
1．（5分）（2024·北京朝阳区二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为C上一点．若|PF|＝8，则点P的横坐标为( C )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题意知，F(1，0)，由抛物线的定义知，|PF|＝xP＋1＝8，解得xP＝7，即点P的横坐标为7.故选C.
2．（5分）（2024·江西新余二模）已知点Q(2，－2)在抛物线C：y2＝2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF（O为坐标原点）的面积是( A )
A． eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：∵点Q(2，－2)在抛物线C：y2＝2px上，F为抛物线C的焦点，∴4＝4p，解得p＝1，故抛物线C的方程为y2＝2x，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，则△OQF的面积S△OQF＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)×2＝ eq \f(1,2).故选A.
3．（5分）（2024·湖南衡阳三模）已知点F(2，0)，动圆P过点F，且与x＝－2相切，记动圆圆心点P的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为( C )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝12x
解析：由题意知，点P到点F的距离和它到直线x＝－2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以Γ的方程为y2＝8x.故选C.
4．（5分）（2024·北京西城区三模）点F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若 eq \(FA,\s\up6(→))＋ eq \(FB,\s\up6(→))＋ eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则| eq \(FA,\s\up6(→))|＋| eq \(FB,\s\up6(→))|＋| eq \(FC,\s\up6(→))|＝( C )
A．2 B．2 eq \r(3)
C．3 D．4 eq \r(3)
解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由y2＝2x，得p＝1，所以F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，准线方程为x＝－ eq \f(1,2)，因为 eq \(FA,\s\up6(→))＋ eq \(FB,\s\up6(→))＋ eq \(FC,\s\up6(→))＝0，所以F为△ABC的重心，所以 eq \f(x1＋x2＋x3,3)＝ eq \f(1,2)，所以x1＋x2＋x3＝ eq \f(3,2)，所以| eq \(FA,\s\up6(→))|＋| eq \(FB,\s\up6(→))|＋| eq \(FC,\s\up6(→))|＝x1＋ eq \f(1,2)＋x2＋ eq \f(1,2)＋x3＋ eq \f(1,2)＝x1＋x2＋x3＋ eq \f(3,2)＝ eq \f(3,2)＋ eq \f(3,2)＝3.故选C.
5．（5分）已知直线y＝k(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k(x－2)与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|－2|MN|，则( A )
A．λ＝－12 B．－120，即k2＋m>0，所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4m，所以yA＋yB＝k(xA＋xB)＋2m＝4k2＋2m，所以|AF|＋|BF|＝yA＋1＋yB＋1＝yA＋yB＋2＝4k2＋2m＋2，不能确定什么时候最小，故D错误．故选BC.
8．（6分）（多选）（2024·广东汕头三模）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点M（2， eq \r(3)）满足|MF|＝2|OF|，则( BD )
A．C的准线方程为x＝－2
B．△PMF周长的最小值为5
C．四边形OPMF可能是平行四边形
D． eq \(FM,\s\up6(→))· eq \(OP,\s\up6(→))的最小值为－3
解析：因为抛物线C的焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－ eq \f(p,2)，又点M（2， eq \r(3)）满足|MF|＝2|OF|，所以 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))\s\up12(2)＋(0－\r(3))2)＝2× eq \f(p,2)，整理得3p2＋8p－28＝0，解得p＝2或p＝－ eq \f(14,3)（舍去），即抛物线C：y2＝4x，所以准线方程为x＝－1，焦点为F(1，0)，故A错误；
如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知|PH|＝|PF|，则△PMF的周长C△PMF＝|PM|＋|MF|＋|PF|＝|PM|＋|MF|＋|PH|＝|PM|＋|PH|＋2≥|MH|＋2＝5，当且仅当M，P，H三点共线时取等号，所以△PMF周长的最小值为5，故B正确；过点M作OF的平行线，交抛物线于点P，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝\r(3)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,4)，,y＝\r(3)，))即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\r(3)))，则|MP|＝2－ eq \f(3,4)＝ eq \f(5,4)≠|OF|，所以四边形OPMF不可能是平行四边形，故C错误；设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2,4)，y))，则 eq \(FM,\s\up6(→))＝（1， eq \r(3)）， eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2,4)，y))，可得 eq \(FM,\s\up6(→))· eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(y2,4)＋ eq \r(3)y＝ eq \f(1,4)（y＋2 eq \r(3)）2－3≥－3，当且仅当y＝－2 eq \r(3)时，等号成立，所以 eq \(FM,\s\up6(→))· eq \(OP,\s\up6(→))的最小值为－3，故D正确．故选BD.
9．（5分）（2024·湖南长沙二模）已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为x2＝12y．
解析：如图，由题意，得直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，设圆M半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y.
10．（5分）（2024·天津卷）圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为 eq \f(4,5)．
解析：圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故 eq \f(p,2)＝1，即p＝2，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x－1)2＋y2＝25，,y2＝4x，))可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6（舍），故A(4，±4)，故直线AF：y＝± eq \f(4,3)(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原点到直线AF的距离为d＝ eq \f(|－4|,5)＝ eq \f(4,5).
11．（15分）已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F到顶点的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且 eq \(AF,\s\up6(→))＝μ eq \(FB,\s\up6(→))，μ∈[4，9]，求直线l在x轴上的截距的取值范围．
解：(1)由题意得 eq \f(p,2)＝1，所以p＝2，从而抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)由(1)知F(0，1)，且l必然存在斜率，故可设l：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝4k，,x1x2＝－4，))由 eq \(AF,\s\up6(→))＝μ eq \(FB,\s\up6(→))得
－x1＝μx2，从而k2＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ＋\f(1,μ)))－ eq \f(1,2)，
令f(μ)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ＋\f(1,μ)))－ eq \f(1,2)，由于μ∈[4，9]，
则f′(μ)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,μ2)))＝ eq \f((μ＋1)(μ－1),4μ2)>0，
所以f(μ)在[4，9]上单调递增，从而f(μ)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，\f(16,9)))，即k∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(3,4)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(4,3)))，
所以直线l在 x轴上的截距－ eq \f(1,k)的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(3,4)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(4,3))).
12．（16分）已知曲线C在y轴右侧，C上的任意点到点F(1，0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上总存在不同两点关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围．
解：(1)因为C上的任意点到点F(1，0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1，所以C上的任意点到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，所以曲线C是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线．
因为曲线C在y轴右侧，所以曲线C的方程是y2＝4x(x>0).
(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，所以kMN＝－1.设直线MN的方程为y＝－x＋n，代入y2＝4x(x>0)，得y2＋4y－4n＝0(y≠0).
因为直线MN与C有两个不同交点，所以42－4×1×(－4n)＝16(n＋1)>0，且n≠0，解得n>－1且n≠0.
所以y1＋y2＝－4，y1y2＝－4n，x1＋x2＝(n－y1)＋(n－y2)＝2n－(y1＋y2)＝2n＋4，所以MN的中点坐标为(2＋n，－2).
又MN的中点在直线y＝x＋m上，所以－2＝2＋m＋n，即m＝－4－n，
因为n>－1且n≠0，所以m0)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my－1，,y2＝4x，))消去x得y2－4my＋4＝0，则Δ＝16m2－16＝0，得m＝1，直线BM的斜率为1，倾斜角为 eq \f(π,4)，于是θmax＝ eq \f(π,4)，(cs θ)min＝ eq \f(\r(2),2)，所以 eq \f(|MF|,|MB|)的最小值为 eq \f(\r(2),2).故选A.
15．（6分）（多选）（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则( ABD )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ eq \r(15)
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，是x2＋(y－4)2＝1的一条切线，故A正确；⊙A的圆心为A(0，4)，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PQ|＝ eq \r(|PA|2－r2)＝ eq \r(42－12)＝ eq \r(15)，故B正确；当|PB|＝2时，P(1，2)或P(1，－2)，对应的B(－1，2)或B(－1，－2)，当P(1，2)时，|AB|＝|PA|，|PB|＝2，PA与AB并不垂直，故C错误；焦点F(1，0)，|PB|＝|PF|，则|PA|＝|PB|等价于P在AF的中垂线上，该直线的方程为y＝ eq \f(1,4)x＋ eq \f(15,8)，它与抛物线有两个交点，故D正确．故选ABD.标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
图形
开口
向右
向左
向上
向下
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－ eq \f(p,2)
x＝ eq \f(p,2)
y＝－ eq \f(p,2)
y＝ eq \f(p,2)
简单
几何
性质
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0，0)
离心率
e＝1