2024年高考数学第一轮复习讲义第二章2.12　函数模型的应用(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第二章2.12　函数模型的应用(学生版+解析)，共20页。


知识梳理
1．三种函数模型的性质
2.常见的函数模型
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．( )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．( )
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
教材改编题
1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝5x B．y＝lg5x
C．y＝x5 D．y＝5x
2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的函数模型是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－eq \f(x2,25)＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝lg2x；⑤y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的( )
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(eq \r(10,10)≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下______%的污染物．
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
跟踪训练2 (1)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(V,N)称为接种率))，那么1个感染者传染人数为eq \f(R0,N)(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率最小为( )
A．45% B．55% C．65% D．75%
(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过_______分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)( )
A．10 B．9 C．8 D．7
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?
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思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
跟踪训练3 (1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－eq \f(2,t＋1).已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元．函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与____平行
随x的增大逐渐表现为与____平行
随n值的变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间
t0
t1＝0.8秒
t2＝0.2秒
t3
距离
d0＝10米
d1
d2
d3＝eq \f(v2,20k)米
§2.12 函数模型的应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
2.常见的函数模型
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．( × )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．( √ )
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
教材改编题
1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝5x B．y＝lg5x
C．y＝x5 D．y＝5x
答案 D
解析 结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．
2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的函数模型是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意，故选D.
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－eq \f(x2,25)＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
答案 150
解析 因为y＝－eq \f(x2,25)＋12x－210＝－eq \f(1,25)(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的利润最大时，当日售价为150元.
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
答案 D
解析 从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．
(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝lg2x；⑤y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
答案 ④
解析 由图可知上述点大体分布在函数y＝lg2x的图象上，
故选择y＝lg2x可以近似地反映这些数据的规律．
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的( )
答案 A
解析 当点P在AB上时，y＝eq \f(1,2)×x×1＝eq \f(1,2)x,0≤x≤1；
当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)，1当点P在CM上时，y＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－x))×1＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(5,4)，2由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时是减函数．
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(eq \r(10,10)≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
答案 C
解析 4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝＝eq \f(1,\r(10,10))≈eq \f(1,1.259)≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________%的污染物．
答案 10
解析 设初始污染物数量为P′，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P0·e－2k＝\f(9,10)P′，,P0·e－5k＝\f(3,10)P′，))
两式相除得e3k＝3.
所以8 h后P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝eq \f(1,3)·eq \f(3,10)P′＝eq \f(1,10)P′，
即还剩下eq \f(1,10)×100%＝10%的污染物．
思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
跟踪训练2 (1)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(V,N)称为接种率))，那么1个感染者传染人数为eq \f(R0,N)(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率最小为( )
A．45% B．55% C．65% D．75%
答案 D
解析 为了使1个感染者传染人数不超过1，只需eq \f(R0,N)(N－V)≤1，即R0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(V,N)))≤1，
因为R0＝4，故1－eq \f(V,N)≤eq \f(1,4)，可得eq \f(V,N)≥eq \f(3,4).
(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过________分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 D
解析 依题意知，40＝20＋(100－20)·e－0.2t，则e－0.2t＝eq \f(1,4)，
－0.2t＝ln eq \f(1,4)＝－2ln 2，所以t＝eq \f(2ln 2,0.2)＝10ln 2≈7(分钟)．
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?
解 (1)由题意知，d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3＝10＋0.8v＋0.2v＋eq \f(v2,20k)，即d(v)＝10＋v＋eq \f(v2,20k)，
当k＝2时，d(v)＝10＋v＋eq \f(v2,40)，t(v)＝eq \f(dv,v)＝eq \f(10,v)＋eq \f(v,40)＋1≥2×eq \f(1,2)＋1＝2，当且仅当v＝20时等号成立，0即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒．
(2)当k＝1时，d(v)<50，即10＋v＋eq \f(v2,20)<50，
即v2＋20v－800<0，－40故0所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下．
思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
跟踪训练3 (1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，
则vn＝100×0.9n－1.
由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6，
则(n－1)ln 0.9即n－1>eq \f(ln 0.6,ln 0.9)≈eq \f(－0.511,－0.105)≈4.87，则n>5.87，
故至少需要“打水漂”的次数为6.
(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－eq \f(2,t＋1).已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元．
答案 37.5
解析 由题意，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足x＝3－eq \f(2,t＋1)，
即t＝eq \f(2,3－x)－1(1所以月利润为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32×1.5＋\f(t,2x)))x－32x－3－t＝16x－eq \f(t,2)－3＝16x－eq \f(1,3－x)－eq \f(5,2)
＝45.5－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(163－x＋\f(1,3－x)))≤45.5－2eq \r(16)＝37.5，
当且仅当16(3－x)＝eq \f(1,3－x)，即x＝eq \f(11,4)时取等号，
则最大月利润为37.5万元．
课时精练
1．有一组实验数据如下表所示：
则最能体现这组数据关系的函数模型是( )
A．y＝2x＋1－1 B．y＝x3
C．y＝2lg2x D．y＝x2－1
答案 D
解析 将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.
2．某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家里出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是( )
答案 C
解析 中途回家取证件，因此中间有零点，排除A，B，第二次离开家速度更大，直线的斜率更大，故只有C满足题意．
3．农业农村部发布2022年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1)( )
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
答案 A
解析 由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.
设经过n天后蝗虫数量达到原来的1 200倍，
则eq \f(N01＋6%n,N0)＝1 200，
∴1.06n＝1 200，
∴n＝lg1.061 200＝eq \f(ln 1 200,ln 1.06)≈121.614，
∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1 200倍．
4．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m0约为10－12，单位：\f(W,m2)))之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg eq \f(m,m0)，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为( )
A．0.7米 B．7米 C．50米 D．60米
答案 D
解析 设B同学的声强为m，喷出的泉水高度为x，
则A同学的声强为100m，喷出的泉水高度为70，
10lg eq \f(m,m0)＝2x⇒lg m－lg m0＝0.2x,10lg eq \f(100m,m0)＝2×70⇒2＋lg m－lg m0＝14，
相减得2＝14－0.2x⇒0.2x＝12⇒x＝60.
5．大气压强p＝eq \f(压力,受力面积)，它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126m－1)，p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，eq \f(p1,p2)＝eq \f(1,3)，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 3≈1.099)( )
A．660 m B．2 340 m
C．6 600 m D．8 722 m
答案 D
解析 设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2，
则eq \f(p1,p2)＝eq \f(1,3)＝，
∴0.000 126(h2－h1)＝ln eq \f(1,3)＝－ln 3≈－1.099，
得h2－h1＝－eq \f(1.099,0.000 126)≈－8 722(m)．
∴A1，A2两处的海拔高度的差约为8 722 m.
6．(2022·淮南模拟)我国在2020年9月22日的联合国大会上提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－80x2＋5 040x，x∈[120，144，,\f(1,2)x2－200x＋80 000，x∈[144，500]，))
当每吨的平均处理成本最少时，处理量x为( )
A．120吨 B．200吨
C．240吨 D．400吨
答案 D
解析 由题意得，二氧化碳每吨的平均处理成本为S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x2－80x＋5 040，x∈[120，144，,\f(1,2)x－200＋\f(80 000,x)，x∈[144，500]，))
当x∈[120,144)时，S＝eq \f(1,3)x2－80x＋5 040＝eq \f(1,3)(x－120)2＋240，
当x＝120时，S取得最小值240；
当x∈[144,500] 时，S＝eq \f(1,2)x＋eq \f(80 000,x)－200≥2eq \r(\f(1,2)x·\f(80 000,x))－200＝200，
当且仅当eq \f(1,2)x＝eq \f(80 000,x)，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200，
综上，当每吨的平均处理成本最少时，处理量为400吨．
7．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq \f(kP,1＋lgt＋1)，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq \f(1,6)P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________．(保留到个位)(lg 61≈1.79)
答案 462
解析 由题意得，
f(60)＝eq \f(kP,1＋lg 61)≈eq \f(kP,2.79)＝eq \f(1,6)P，
∴k≈eq \f(2.79,6)＝0.465，
∴f(100)＝eq \f(0.465×400,1＋lg 101)＝eq \f(186,1＋lg 100＋lg 1.01)
≈eq \f(186,3)＝62，
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.
8．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
答案 6 10 000
解析 M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg eq \f(A1,A0)，则eq \f(A1,A0)＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg eq \f(A2,A0)，则eq \f(A2,A0)＝105，所以eq \f(A1,A2)＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
解 (1)由题意得当，0当4显然v＝ax＋b在(4,20]内单调递减，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))
所以v＝－eq \f(1,8)x＋eq \f(5,2).
故函数v＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，0(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0当0故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
10．(2023·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋k(p>0，k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，
随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ka2＝24，,ka3＝36，))
解得k＝eq \f(32,3)，a＝eq \f(3,2)，故该函数模型的解析式为
y＝eq \f(32,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x(x∈N)．
(2)当x＝0时，y＝eq \f(32,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))0＝eq \f(32,3)，
故元旦放入凤眼莲的面积为eq \f(32,3) m2，
由eq \f(32,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x>10×eq \f(32,3)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x>10，
故x>＝eq \f(lg 10,lg \f(3,2))＝eq \f(1,lg 3－lg 2)，
由于eq \f(1,lg 3－lg 2)≈eq \f(1,0.477 1－0.301 0)≈5.7，又x∈N，故x≥6.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．
11．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝(其中a为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于( )
参考数据：lg20.75≈－0.4
参考时间轴：
A．宋 B．唐 C．汉 D．战国
答案 D
解析 依题意，当t＝5 730时，P＝eq \f(1,2)，而P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝，
则有eq \f(1,2)＝，解得a＝5 730，于是得P＝，t>0，当P＝0.75时，＝0.75，
所以eq \f(t,5 730)＝＝－lg20.75≈0.4，
解得t≈5 730×0.4＝2 292，
由2 021－2 292＝－271得，对应时期为战国，
所以可推断该文物属于战国．
12．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln kx＝ln k0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h)．经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为eq \f(3k0,4k)，则该药物的消除速度k的值约为(参考数据：ln 2≈0.693)( )
A．0.105 5 B．0.106 5
C．0.116 5 D．0.115 5
答案 D
解析 由题意，lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(3k0,4k)))＝ln k0＋ln(1－e－12k)⇒e－12k＝eq \f(1,4)⇒－12k＝－2ln 2，即6k＝ln 2≈0.69 3，
解得k≈0.115 5.
13．(2023·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
答案 ③④
解析 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以①不正确；
当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以②不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，所以当01时，丁走在最后面，所以③正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以④正确．
14．已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的eq \f(1,2t)倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是________．
答案 (8,9)
解析 设模式A：y＝－300t＋3 000，模式B：y＝p·eq \f(1,2t)，其中p为初始电量．
A模式用了m小时，电量为3 000－300m，
m小时后B模式用了(10－m)小时，
∴(3 000－300m)·eq \f(1,210－m)>3 000·5%，
2m－10(10－m)>eq \f(1,2)，令10－m＝x，∴eq \f(x,2x)>eq \f(1,2)，
∴2x－1－x<0，令f(x)＝2x－1－x，即求f(x)<0时，x的取值范围．
∵f(1)＝0，f(2)＝0，又由指数函数与一次函数图象知，当1∴1<10－m<2，∴8性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值的变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间
t0
t1＝0.8秒
t2＝0.2秒
t3
距离
d0＝10米
d1
d2
d3＝eq \f(v2,20k)米
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04