高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．3　函数的奇偶性、周期性

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2．掌握函数的奇偶性、周期性的简单应用．
1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
教材拓展
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任意自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝ eq \f(1,f(x))，则T＝2a(a>0).
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数．( × )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( × )
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．( √ )
(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( × )
2．（多选）（人教A版必修第一册P84例6改编）给出下列函数，其中是奇函数的有( BC )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋ eq \f(1,x) D．f(x)＝ eq \f(1,x2)
解析：对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋ eq \f(1,x)是奇函数，f(x)＝ eq \f(1,x2)是偶函数．故选BC.
3．（人教A版必修第一册P86T11改编）若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝1－ eq \r(x)，则当x0，则－x0，即g(x)＝－2x.故选C.
命题角度2 奇偶性与单调性
【例3】 (1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f(x)是增函数，则f（－ eq \r(7)），f(π)，f(－3)的大小关系是( A )
A．f(π)>f(－3)>f（－ eq \r(7)）
B．f(π)>f（－ eq \r(7)）>f(－3)
C．f(π)