高考数学第一轮复习复习第3节　函数的奇偶性与周期性（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第3节　函数的奇偶性与周期性（讲义），共15页。
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断应用函数的周期性.
1.函数的奇偶性
函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.
2.函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,称非零常数T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.周期性的常用结论
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.
(3)若f(x+a)=1f(x),则函数的一个周期为2a.
(4)若f(x+a)=-1f(x),则函数的一个周期为2a.
3.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,即f(b+x)+f(b-x)=0或f(x)+f(2b-x)=0.
(3)若函数y=f(x)满足f(m)=f(n),且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于直线x=p2对称.
(4)若函数y=f(x)满足f(m)+f(n)=q,且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于点(p2,q2)对称.特别地,当q=0时,y=f(x)的图象关于点(p2,0)对称.
1.(多选题)(必修第一册P84例6改编)下列说法正确的是( AB )
A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B.图象关于y轴对称的函数是偶函数
C.函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数
D.若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0
解析:由奇函数、偶函数的性质,知A,B说法正确;对于C,由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,错误;对于D,由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,则f(x)须在x=0处有意义才满足f(0)=0,错误.
2.(2022·河北衡水月考)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( B )
A.-13 B.13
C.12 D.-12
解析:因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=13.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=13.
3.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f(-13)=13,则f(53)等于( C )
A.-53 B.-13
C.13 D.53
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).又f(1+x)=f(-x),所以f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,f(53)=f(53-2)=f(-13)=13.
4.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)= .
解析:因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,
即f(0)=20+m=0,
解得m=-1,
故f(x)=2x-1(x≥0),
则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.
答案:-7
5.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= .
①f(x)是定义域为R的奇函数;②f(1+x)=f(1-x);③f(1)=2.
解析:由条件①②③可知函数是对称轴为直线x=1,定义域为R的奇函数,可写出满足条件的函数f(x)=2sin π2x(答案不唯一).
答案:2sin πx2(答案不唯一)
函数奇偶性的判断及应用
1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
解析:因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,
所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,
所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.
答案:1
2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+a,则a= ;当x0,x2+2x-1,x0,得-1