高考数学一轮复习　第二章 第3节函数的奇偶性与周期性

这是一份高考数学一轮复习　第二章 第3节函数的奇偶性与周期性，共17页。试卷主要包含了函数的周期性，函数周期性常用结论，对称性的三个常用结论等内容，欢迎下载使用。


知 识 梳 理
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( )
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.
(3)由周期函数的定义，(3)正确.
(4)由于y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y＝f(x)的图象关于(b，0)对称，正确.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )
A.y＝x2sin x B.y＝x2cs x
C.y＝|ln x| D.y＝2－x
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
答案 B
3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝________.
解析 由题意得，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋2＝1.
答案 1
4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝x3 B.y＝xeq \s\up6(\f(1,4))
C.y＝|x| D.y＝|tan x|
解析 对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；
对于B，y＝xeq \s\up6(\f(1,4))是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.
答案 C
5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析 ∵x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上为奇函数，
∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
答案 12
6.(2019·上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.
解析 当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，
又f(x)在R是上以2为周期的偶函数，
∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝lg2(2－x＋1)＝lg2(3－x).
答案 lg2(3－x)
考点一 判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)；
(2)f(x)＝eq \f(lg (1－x2),|x－2|－2)；
(3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))
解 (1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq \r(3)，
即函数f(x)的定义域为{－eq \r(3)，eq \r(3)}，
从而f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq \f(lg(1－x2),－x).
又∵f(－x)＝eq \f(lg[1－(－x)2],x)＝－eq \f(lg(1－x2),－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cs x
C.y＝2x＋eq \f(1,2x) D.y＝x2＋sin x
(2)已知f(x)＝eq \f(x,2x－1)，g(x)＝eq \f(x,2)，则下列结论正确的是( )
A.f(x)＋g(x)是偶函数 B.f(x)＋g(x)是奇函数
C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数
解析 (1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cs(－x)＝x2－cs x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋eq \f(1,2－x)＝2x＋eq \f(1,2x)＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，
因为f(x)＝eq \f(x,2x－1)，g(x)＝eq \f(x,2)，
所以h(x)＝eq \f(x,2x－1)＋eq \f(x,2)＝eq \f(x·2x＋x,2（2x－1）)，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
因为h(－x)＝eq \f(－x·2－x－x,2（2－x－1）)＝eq \f(x（1＋2x）,2（2x－1）)＝h(x)，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，
令F(x)＝f(x)g(x)＝eq \f(x2,2（2x－1）)，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
所以F(－x)＝eq \f(（－x）2,2（2－x－1）)＝eq \f(x2·2x,2（1－2x）)，
因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，
所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
答案 (1)D (2)A
考点二 函数的周期性及其应用
【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
解析 (1)法一 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二 取一个符合题意的函数f(x)＝2sineq \f( πx,2)，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
答案 (1)C (2)7
规律方法 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.
【训练2】 (1)(2019·南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)))＝( )
A.－eq \f(3,4) B.－eq \f(1,4) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
(2)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
解析 (1)∵f(x)是周期为4的奇函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
又0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))＝－eq \f(3,4).
(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，
又f(x)在R上是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.
答案 (1)A (2)6
考点三 函数性质的综合运用 多维探究
角度1 函数单调性与奇偶性
【例3－1】 (2019·石家庄模拟)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为( )
A.[－3，3] B.[－2，4] C.[－1，5] D.[0，6]
解析 因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数.故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.
答案 B
规律方法 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.
角度2 函数的奇偶性与周期性
【例3－2】 (1)(2019·山东省实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))时，f(x)＝x3－3x，则f(2 018)＝( )
A.2 B.－18 C.18 D.－2
(2)(2019·洛阳模拟)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝eq \f(π,3)，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.π D.eq \f(4π,3)
解析 (1)∵f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，
∴f(x)是周期为5的函数，
∴f(2 018)＝f(403×5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)，
∵f(x)是奇函数，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))时，f(x)＝x3－3x，
∴f(－2)＝－f(2)＝－(23－3×2)＝－2，
故f(2 018)＝－2.
(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2).
∴f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝eq \f(2π,3).
答案 (1)D (2)B
规律方法 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【训练3】 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.
(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,t)))≤2f(1)，那么t的取值范围是________.
解析 (1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，
又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，
则f(x)的最小正周期是12，
故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.
(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,t)))，
由f(ln t)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,t)))≤2f(1)，
得f(ln t)≤f(1).
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故eq \f(1,e)≤t≤e.
答案 (1)2 (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))
[思维升华]
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.
3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
[易错防范]
1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论
类型1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
【例1】 设函数f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1)＝1＋eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，
设g(x)＝eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案 2
类型2 抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 017)＝－f(2 017)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.
答案 C
类型3 抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【例3】 (2019·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于(0，0)对称，
所以f(x)是R上的奇函数，
f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)
＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，
所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.
答案 4
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( )
A.y＝|lg3x| B.y＝x3
C.y＝e|x| D.y＝cs |x|
解析 对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数.
对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.
对于D选项，y＝cs |x|在(0，1)上单调递减.
答案 C
2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3（x＋1），x≥0，,g（x），x<0，)) 则g(－8)＝( )
A.－2 B.－3 C.2 D.3
解析 法一 当x<0时，－x>0，且f(x)为奇函数，
则f(－x)＝lg3(1－x)，所以f(x)＝－lg3(1－x).
因此g(x)＝－lg3(1－x)，x<0，
故g(－8)＝－lg39＝－2.
法二 由题意知，g(－8)＝f(－8)＝－f(8)＝－lg39＝－2.
答案 A
3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于( )
A.－2 B.2 C.－98 D.98
解析 由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的函数，
f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，
由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，
∴f(2 019)＝2.
答案 B
4.(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.aC.b解析 法一 易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3>lg25.1>2>20.8，且a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，
∴g(3)>g(lg25.1)>g(20.8)，则c>a>b.
法二 (特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>lg25.1>20.8，
从而可得c>a>b.
答案 C
5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[－3，1] B.[－4，2]
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)
解析 因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.
答案 A
二、填空题
6.若函数f(x)＝xln(x＋eq \r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.
解析 f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋eq \r(a＋x2))为奇函数，
所以ln(x＋eq \r(a＋x2))＋ln(－x＋eq \r(a＋x2))＝0，
则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
答案 1
7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又f(x)在R上的周期为2，
∴f(2)＝f(0)＝0.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4eq \s\up6(\f(1,2))＝－2，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＋f(2)＝－2.
答案 －2
8.设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________.
解析 由f(x)＝ln(1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).
当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,1＋x2)，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得eq \f(1,3)＜x＜1.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
三、解答题
9.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1故实数a的取值范围是(1，3].
10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))成立.
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值.
解 (1)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝
－feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立.
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，
若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )
A.{x|02} B.{x|x<0或x>2}
C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<－1或x>1}
解析 由题意知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，
不等式f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(1)或f(x－1)>f(－1).
∴x－1>1或0>x－1>－1，
解之得x>2或0答案 A
12.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有( )
A.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))B.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))C.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))D.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))解析 由题设知：f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，1]上是减函数，所以f(x)在[－1，0]上也是减函数，综上函数f(x)在[－1，1]上是减函数；
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，－eq \f(1,4)∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))答案 C
13.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，
则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，
根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；
由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.
答案 ①②
14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.
新高考创新预测
15.(多填题、新定义题)定义：函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[－2b，3b－1]上的函数f(x)＝x3－ax2－(b＋2)x是奇函数，则a＋b＝________，函数f(x)的极差为________.
解析 由f(x)在[－2b，3b－1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b＋3b－1＝0，b＝1，又由f(－x)＋f(x)＝0可求得a＝0，所以a＋b＝1.又f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，易知f(x)在(－2，－1)，(1，2)上单调递增，f(x)在(－1，1)上单调递减，所以在[－2，2]上的最大值、最小值分别为f(－1)＝f(2)＝2，f(1)＝f(－2)＝－2，所以极差为4.
答案 1 4奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称