内蒙古自治区2025年初中学业水平考试模拟数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古自治区2025年初中学业水平考试模拟数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体组成的，则它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图可知，主视图为：
故选：A ．
2. 若互为倒数，则的值为（ ）
A.B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】由题意可知：，，
故选B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、与 不是同类项，无法合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：C．
4. 如图，已知，，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，
∵，∴，
故选：D．
5. 实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（ ）
A.B. C. D. 4
【答案】D
【解析】由图可知：，
∴，
∴；
故选D．
6. 期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为．
故选：B．
7. 如图，点A，B，C，D柜上，点B是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，连接并延长与圆交于点F，连接．

∵B是的中点，∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵是的切线，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C在反比例函数的图象上，且．若将该菱形向下平移2个单位长度后，顶点B恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点作垂直于轴，
设，
∵，
∴，，
∴，∴，
∴该菱形向下平移2个单位后，顶点B的坐标为，
将、代入得，，
解得，∴，∴．
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9. 因式分解多项式：_____________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
10. 若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则______．
【答案】
【解析】二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
当时，函数值最小，，
二次函数，
抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小，
，
当时，函数值最小，，
，
故答案为：．
11. 无动力帆船是借助风力前行的，如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力P为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被能的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则_______（单位：N）（参考数据：，）
【答案】
【解析】如图，
∵为，为，
∴，，
∵，∴，
在中，，，
∴，
由题意可知， ，
∴，
∴
在中，，，
∴．
12. 如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为__________．
【答案】
【解析】如图，记的中点为，连接，
∵分别是边上的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
三、解答题（共6小题，共64分）
13. 计算：
（1）；
（2）解方程：．
解：（1）
；
（2），
去分母得，，
解得，
检验：将代入，
∴原方程的解为．
14. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园·魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用表示，总分为分，共分成四组：．；．；．；．，其中分数不低于为优秀）．下面给出部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩为：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
九年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：8，，，，，．
八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，___________，___________，___________；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁人中随机选取人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的人恰好是丁和乙的概率．
解：（1）根据八年级学生竞赛成绩可知，出现次数最多，则众数为，即，
根据九年级成绩两组的占比为，有人，
九年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，．
∴第和个数分别为，
∴，
九年级20名学生的竞赛成绩在组和组的人数为，
∴优秀率为
∴，
故答案为：，，．
（2）九年级的竞赛成绩较好，理由如下：
因为八、九年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相等，而九年级古诗词竞赛成绩的中位数88大于八年级古诗词竞赛成绩中位数，所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级（答案不唯一，合理即可）；
（3）画树状图如下：
由图可知，所有等可能结果共有12种，其中选中的2人恰好是丁和乙的结果有2种，
∴选中的2人恰好是丁和乙的概率为．
15. 小明和爸爸在锡林郭勒游玩时买了两个带智能显温的保温壶，分别记为甲和乙．他们把刚煮好的蒙古锅茶（温度约）同时倒入两壶进行保温测试，发现乙壶保温性能更好.测试中，甲、乙壶内锅茶温度y（单位：）与时间x（单位：）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据相关信息，解答下列问题：
（1）当乙壶内锅茶温度是时，甲壶内锅茶温度是多少？
（2）测试多长时间内，这两壶内锅茶的温差不超过？
解：（1）设乙的水温与时间（分）之间的一次函数关系为，
∵图象过，，∴，解得，
乙的水温与时间（分）之间的一次函数关系为：．
设甲的水温与时间（分）之间的一次函数关系为，
∵图象过，，
∴，解得，
甲的水温与时间（分）之间的一次函数关系为：．
当时，，
解得：，
当乙壶中的水温是时，，
解得，
当时，．
答：当乙壶中的水温是时，甲壶中水的温度是．
（2）根据题意可得：，
解得：．
答：测试分钟内，这两个保温壶的温差不超过．
16. 如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）取弦的中点E，连接，若，求的长．
（1）证明：∵点I是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，解得：．
（3）解：如图：延长到M，使得，连接，
∵，
∴，
∴点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，
∴是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
17. “综合与实践课上，老师将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．
（1）将和按图2所示方式摆放，点B与点D重合，，在同一条直线上，连接，取的中点G，连接并延长至点H，使，连接，，得到四边形，求证：四边形是正方形．
（2）如图3，将和的点B与点F重合，并把绕点B旋转，使点E落在内部．
①当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明，
②如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长．
解：（1）∵的中点G，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，，
∴平行四边形是菱形，
∵，∴，
∴，∴，∴菱形是正方形；
（2）①．
理由：，，
，，
，即，，
，，
，；
②设的交点为，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
由勾股定理得，，
，
，即，
，
，
，，．
18. 如图1，抛物线与轴交于点A和点（点A在点的左侧），与轴交于点，，点为抛物线的一个动点（点与A，B均不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与互余，求点坐标；
（3）如图2，直线分别与轴交于点E，F，求证：．
解：（1）因为抛物线与x轴交于A、B两点，于y轴交于点C，
当时，，解得：，
当时，
所以，，，
因为，
所以即，
所以抛物线的解析式为．
（2）①当点D在下方时，过点C作x轴的平行线，分别过点A，D作的垂线，垂足分别为M，N
∵与互余，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D是抛物线上的一个动点，
设 ，
∴，
解得，
则，
∴.
②当点D在上方时，连接交x轴于H，
∵，，∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程，解得，所以，
综上所述，点D的坐标为或．
（3）由（1）可知，
因为点D是抛物线上的一个动点，
设，
设直线的解析式为：，
，解得，
因为点E在y轴上，所以 ，
设直线的解析式为：，，解得，
因为点F在y轴上，所以，
∴，，∴．年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八年级
九年级