2025年中考第二次模拟考试卷：数学（内蒙古卷）（解析版）

这是一份2025年中考第二次模拟考试卷：数学（内蒙古卷）（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：
故选：C．
2．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．
【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，
∴，
∴B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
3．如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
．
故选B．
4．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若x减小，则y也减小D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴，
∴，
当时，，故A不符合题意；
当时，，故B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、同底数幂相除法则、负整数指数幂、分式的加减，多项式乘以多项式法则计算，并逐项判定即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
6．直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【详解】解：正六边形每个内角为：，
而六边形的内角和也为，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解．
【详解】解：∵，是的直径，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
故选：B．
8．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9．分解因式：= ．
【答案】a（a﹣b）．
【详解】解：=a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题．
【详解】解：由题知，
（），
∵点，分别是，的中点，
∴（），
∴（），
∴花窗的面积为
故答案为：．
12．如图，在△ABC中，的平分线交于点F．点D，E分别在，上，连接交于点G．若，，则 ．

【答案】
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到和，利用相似的性质有，然后根据和比例性质即可得出的的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13．（本题10分）（1）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题．
【详解】解：，
，
．
（2）．解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
14．（本题10分）尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任．为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查．
将调查结果绘制成如下统计图表请阅读相关信息，解答下列问题：
健康状况统计表
(1)参与本次调查的老年人共有___________人，有“医疗服务”需求的老年人有___________人；
(2)已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；
(3)根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议？（写出一条即可）
【答案】(1)1200，660
(2)7650人
(3)根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（只要建议合理即可）
【分析】（1）根据样本容量等于所有的频数和解答即可，列式解答即可；
（2）利用样本估计总体的思想列式解答即可；
（3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，选择一条解答即可．
本题考查了样本容量，样本估计总体，提出决策，熟练掌握样本容量，样本估计总体是解题的关键．
【详解】（1）解：根据样本容量等于所有的频数和，列式得：
（人），
根据题意，得（人），
故答案为：1200，660．
（2）解：根据题意，得该地区健康状况较差的老年人人口数为：（人）．
故估计该地区健康状况较差的老年人人口数为7650人．
（3）解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量．
15．（本题8分）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．
(1)求出成本关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本）
【答案】(1)
(2)销售产品所获利润是万元；
(3)当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元；
【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案；
（3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可；
【详解】（1）解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．
∴设抛物线为：，
把代入可得：，
解得：，
∴抛物线为；
（2）解：∵，
∴当时，成本最小值为，
∴，
∴销售产品所获利润是（万元）；
（3）解：设销售利润为万元，
∴
，
当时，获得最大利润，
最大利润为：（万元）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键．
16．（本题11分）如图，已知是△ABC的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：与相切；
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可；
（2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论；
（3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，连接，
∵，为中点，
∴，
∴过圆心，
∵，
∴，
而为半径，
∴为的切线；
（3）解：如图，过作于，连接，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设半径为，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
17．（本题12分）综合与实践
如图1，在△ABC中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
[发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出，即可得出；
结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出；
[应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出∠AHE=∠GFE，结合结论2： ，利用证明，即可证明；
（2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，根据等角对等边得出，，即可证明．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点，
∴，，
∴，
又∵
∴，
故答案为：；
结论2：
∵，由结论1得，
∴
∵是的平分线，过点作的垂线交于点，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：相等（或）；
[应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵由结论2得：，
∴在和中，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，，延长交于点，
∵过点作的垂线交于点，
∴，
∵由结论2得：，由（1）过程得：，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
18．（本题13分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)存在最大值；最大值为
(3)点M的坐标为或或或
【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可；
（3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接、、，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，
∴最大值为：．
（3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
综上分析可知：点M坐标为：或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
x
…
0
3
5
…
y
…
0
…
调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况选择（例：65~70岁表示大于等于65岁同时小于70岁）．
1．您的年龄范围（ ）
A．65~70岁 B．70~75岁 C．75~80岁 D．80岁及以上
2．您的养老需求（ ）
A．医疗服务 B．社交娱乐 C．健身活动
D．餐饮服务 E．其他
3．您的健康状况（ ）
A．良好 B．一般 C．较差
65～70岁
70～75岁
75～80岁
80岁及以上
良好
65%
58%
50%
40%
一般
25%
30%
359%
40%
较差
10%
12%
15%
20%