【数学】内蒙古自治区通辽市科尔沁区2025年初中学业水平考试模拟试题（解析版）

这是一份【数学】内蒙古自治区通辽市科尔沁区2025年初中学业水平考试模拟试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】观察“月壤砖”的示意图，从正面看时，其轮廓呈现为下方是一个长方形，上方中间位置有一个突出的梯形形状．
选项A的图形与从正面观察“月壤砖”得到的形状一致，
故选：A．
2. 手机移动支付给生活带来了便捷，如图是黄老师2024年10月25日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），黄老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A. 收入21元B. 收入4元C. 支出5元D. 支出12元
【答案】B
【解析】（元）．
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A选项，，故A错误；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C错误；
D选项，，故D正确．
故选：D ．
4. 如图，已知直角三角板的直角顶点A在直线m上，，直线，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
∵，，
，
，
∵直角三角板的直角顶点在直线m上，，
∴．
∴故选：C．
5. 如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】C
【解析】数轴上与5两点间的线段的长度为，
平均每条线段的长度为：，
所以，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，
因此，位置最靠近原点的是点C，
故选：C．
6. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. 当时，
B. 过山车距水平地面的最高高度为98米
C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30
D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大
【答案】C
【解析】A. 结合图象，当时，，故该选项正确，不符合题意；
B. 结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意；
C. 在范围内，当过山车高度是80米时，的值有3个，故该选项不正确，符合题意；
D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大，故该选项正确，不符合题意．
故选：C．
7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ）
A. 平方尺B. 平方尺
C. 平方尺D. 平方尺
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为尺，
由米堆底部的弧长为8尺，可得，
解得：，
（平方尺），
这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺，
故选：A．
8. 如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论：
①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（ ）
A. ②③④⑤B. ①③④⑤C. ①②④⑤D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】∵抛物线的开口向下，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴为，
∴与的函数值相等，即：，故②正确；
∵点关于的对称点为，
∴当时，或；故③正确；
∵图象过点，，
∴，
∴；故④错误；
∵抛物线的开口向下，
∴当时，函数值最大，
即：，
∴；故⑤正确；
综上，正确的结论是①②③⑤；
故选：D．
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
9. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
【答案】
【解析】将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：．
10. 已知压强的计算公式是，我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利，能正确解释刀具变得锋利这一现象的序号是_______．
①当压力一定时，压强是受力面积的正比例函数
②当压力一定时，压强是受力面积的反比例函数
③当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小
④当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大
【答案】②④
【解析】对于压强公式，
当压力F一定时，压强p是受力面积S的反比例函数，且压强p随受力面积S的减小而增大．
故答案为：②④
11. 如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是______m（，，结果保留一位小数）．
【答案】56.8
【解析】如图，
根据题意可知四边形ABDH是矩形，AB=DH=24m，AH=BD，∠AHC=∠BDC=90°，
在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠CAH=AH×tan∠30°=AH=BD，
在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠CBD=BD×tan∠45°=BD，
∵DH=CD-CH=BD-BD，∴BD-BD=24，
∴BD=，
∴CD=（m），故答案为：56.8．
12. 如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为 ______．
【答案】
【解析】∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，，，
在中，
根据勾股定理，得，
即，
解得．
故答案为：．
三、解答题（共6个小题，共64分）
13. 计算：
（1）；
（2）解分式方程：．
（1）解：
，
；
（2）解：方程两边都乘，得
．
整理得：，
解这个方程，得．
检验：当时，．
∴是原方程的增根．
∴原方程无解．
14. 为培养学生的民族自豪感，传播正能量，形成知我国家版图、爱我美丽中国的良好氛围，某校举办了“美丽中国·国家版图知识竞赛”活动．为了解此次竞赛中学生成绩的分布情况，抽取了部分学生的成绩绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（不完整）：
（1）在抽取的样本中，求学生成绩在范围内的人数；
（2）在抽取的样本中，学生成绩的中位数落在_______范围之内；（填出下面选项中的数字代号）
①；②；③；④；⑤
（3）在这次竞赛活动中，全体学生竞赛成绩的平均数是分，小宇的测试成绩是分，由此小宇认为自己的成绩高于一半学生的成绩．你觉得小宇的认识正确吗？请说明理由；
（4）如图显示的是此次竞赛中的一道试题，小宇在解答此题时，若在四幅地图中，随机选择其中的两幅地图，请用画树状图或列表法，求出小宇选择的两幅地图对应的省份都与我自治区相邻的概率．（提示：与我自治区相邻的省份有黑龙江、吉林、辽宁、河北、山西、陕西、宁夏回族自治区、甘肃）
解：（1）样本容量为：（人），
成绩在范围内的人数为：（人），
（2），，
∴数据由小到大排列第个，第个数据位于③，
故答案为：③；
（3）小宇的认识不正确．
理由：小宇的成绩高于一半学生的成绩，是指小宇的成绩分要高于全体学生竞赛成绩的中位数，而不是全体学生竞赛成绩的平均分，并且全体学生竞赛成绩的中位数位于范围，不能保证中位数一定低于分，所以小宇的认识不正确；
（4）画树状图如下：
一共有种等可能的情况，其中两幅地图对应的省份都与我自治区相邻有种可能的情况，
所以（两幅地图对应的省份都与我自治区相邻）．
15. 甲、乙两家体育用品商店出售同样乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价10元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙店的优惠办法是：全部商品按定价的九折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（大于8盒）．
（1）若购买盒乒乓球，在甲店需付款（_______）元；在乙店需付款（_______）元；（用含x的代数式表示）
（2）若购买20盒乒乓球，去哪家商店购买较合算？请计算说明；
（3）当购买乒乓球盒数为盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
（1）解：当购买乒乓球的盒数为盒时，
在甲店需付款元；
当购买乒乓球的盒数为盒时，在乙店需付款元；
故答案为：，；
（2）解：购买乒乓球盒数为20盒时，将代入（1）中代数式：
甲店需花费：（元）；
乙店需花费：（元），
∵，
∴在甲店购买比较合算，
答：在甲店买较合算；
（3）解：当购买的乒乓球超过8盒时，在甲商店购买4副乒乓球拍，在乙商店购买盒乒乓球时，比较省钱，
理由如下：
某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球盒（大于8盒），由（1）知，
在甲店购买的花费为元；
在乙店购买的花费为元；
在甲乙两个商店分开购买，设在甲店买副球拍，赠送盒乒乓球；在乙店购买副球拍，购买盒乒乓球，需花费：元，
，
，
当越大时，越小，则当时，，解得，
即只要购买乒乓球盒数超过8，采用方案：在甲店买4副球拍，在乙店购买盒乒乓球更为省钱．
16. 如图，是的外接圆，直径，直线经过点C，于点D，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接，如图，

∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵直径，
∴．
由（2）知：，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是梯形，
∴图中阴影部分的面积
．

17. 已知长方形对边平行且相等，四个角都是直角中，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点．

（1）如图，当点是的中点时，求证：；
（2）如图，将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，求周长的最小值．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
点是的中点，
，
；
（2）解：①四边形是矩形，
，
，
由折叠得，
，
，
矩形中，，，
，
点是的中点，
，
由折叠得，，，
设，则，
，
在中，，
，
解得，
即；
②由折叠得， ，
的周长，

连接，，，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，，
的最小值，
周长的最小值．
18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值；
（3）抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由．
（1）解：∵抛物线的图象交x轴于点和，
∴设抛物线解析式为：．
∵，
∴，
∴
∴抛物线解析式为：．
（2）解：连接，∵，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线解析式为：．
过P作轴交直线于点Q，
设，，
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大值是8．
此时， ；
（3）解：作的垂直平分线交x轴于F，
∴，
∴，
∴，
设，则．
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，
∴，
∴，
当N在x轴上方时，，
此时，，，
∴同理可得：直线的解析式为：．
∴，
解得或，
∴；
当Nx轴下方时，，
此时，，，
∴同理：直线的解析式为：．
此时，
∴，
解得或，
∴，
∴或．