湖南省岳阳市平江县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试卷（解析版）

这是一份湖南省岳阳市平江县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在，，，这四个有理数中，绝对值最大的数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】|1|＝1，|−2|＝2，|0|＝0，||＝，
∵2＞＞1＞0绝对值最大的数是−2，
故选A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
3. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，则此项符合题意；
D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：C．
4. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A. 8B. 6C. −4D. 4
【答案】A
【解析】∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
故选：A．
5. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（ ）事件
A. 随机B. 必然C. 不可能D. 确定
【答案】A
【解析】由题可知，
将酚酞试剂滴入溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸四种溶液中溶液，变红色是随机事件．
故选：A．
6. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，
恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是，
故选：A．
7. 在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱；如果每9家共出270钱，又多了30钱．问共有多少户人家，每头牛的价钱是多少钱？设共有x户人家，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱，
每头牛的价钱是；
如果每9家共出270钱，又多了30钱，
每头牛的价钱是；
则可列方程为．
故选：A．
8. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：．
解得：，
故选：D.
9. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
故选：B．
10. 如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. 是等腰三角形D.
【答案】D
【解析】∵，平分，
∴，
∵，即，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵是等腰直角三角形，H是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
如图，过点G作于点M，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故D选错误，符合题意；
故选：D.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】要使式子在实数范围内有意义，则，
即．
12. 人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为___________．
【答案】
【解析】142亿用科学记数法表示为．
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
14. 为了弘扬古诗词文化，某校举办了主题为“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”的古诗词知识竞赛，进入决赛的10名学生成绩统计如下表，这名学生决赛成绩的中位数应是_______分．
【答案】
【解析】先对这位学生的成绩进行排序，
∴，，，，，，，，，，
∴处于中间位置的两位数是平均数为：，
∴中位数为．
15. 已知是反比例函数图象上的两点，则反比例函数的表达式为______．
【答案】
【解析】∵是反比例函数图象上的两点，
∴，
解得：，
∴．
∴反比例函数的表达式为．
16. 如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．
【答案】100
【解析】∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
即 ，
解得：AB= =100（米）．
17. 若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为______．
【答案】且
【解析】，
两边都乘以，得，
解得，
∵解是非负数，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴且．
18. 二次函数的图象经过点，，，与y轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于x的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 _____（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】∵抛物线与y轴正半轴相交，与x轴交点在y轴两侧，
∴抛物线开口向下，
∴当时，，所以①正确．
∵抛物线经过，，，
∴抛物线对称轴在与之间，
∴.
∵，
∴，
即，②错误．
∵，，，
∴点距离对称轴最远，点距离对称轴最近，
∴，③正确．
由图象可得抛物线与直线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26每题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
解：
．
20. 先化简分式：，再从，，0，1，2中选一个合适的数代入求值．
解：
，
由题意：、、、，
∴、、、，
故x取2，
当时，原式．
21. 如图，点E，F在上，，，．
（1）证明：；
（2）若，，求的度数．
（1）证明：，，，
在与中，，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，，
，
．
22. 某中学计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个，根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生；
（2）请把图1中缺失的数据、图形补充完整；图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是 ；
（3）在选择E地的5人中，有2人来自九年级一班，3人来自九年级二班，现在要从这5人中任意选2人做研学规划分享，求选的两人恰好来自同一个班的概率．
解：（1）根据题意，得（人），
故答案为：100．
（2）根据题意，得喜欢A地的人数为：（人）
补全图形如下：
C地点所占圆心角为：．
（3）设九年级一班的两个人分别，，来自九年级二班3人分别，，，
根据题意，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种，
故所选两位同学恰好来自同一个班概率为．
故来自同一个班的概率为．
23. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元．
（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；
（2）若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ；
（3）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围．
解：（1）若，则名学生的总费用为元，
∵，
∴，
依题意得，，
解得，
答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人；
（2）根据题意可得，（元）
故答案为：；
（3）当时，；
解得；
当时，，
解得；
∴每批组织人数的合理范围为．
24. 某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．
下面是两个方案及测量数据：
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，）
解：（1）如图，
由题意可知，∴，即，
解得，
∴塔的高度为米；
（2）如图，
在中，，∴，
中，，∴，
∵，
∴，即．
∴米
∴塔的高度为米．
25. 【探究与证明】
【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．
【问题解决】
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长．
解：（1），，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）①四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
②过点作于点，如图3所示：
则，
，，
在和中，，，
，，，
．
26. 已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值；
（3）如图（2），过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）根据抛物线的顶点为，设二次函数的解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
则；
（2）设直线的解析式为，过点，则，
解得，
那么直线的解析式为，
设，，
则的横坐标为，纵坐标为，
由轴，得，
解得，
当时，有最大值，最大值为；
（3）为定值．理由如下，
如图，过点作轴交轴于点，

在中，令解得或，
故，，
设，则，，，
，
，
，
同理，，
，
，
故是定值，且为8．决赛成绩/分
人数/名
项目
测量某塔的高度
方案
方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长．
方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角．
测量示意图
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量数据