2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 已知非零实数，，，满足，则下面关系中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 关于反比例函数图象，下列说法正确的是(    )

A. 点在它的图象上 B. 它的图象经过原点
C. 它的图象在第一、三象限 D. 当时，随的增大而增大

3. 一元二次方程的根的情况(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

4. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为，根据题意列方程得(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，下列条件中不能判定∽的是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知是方程的一个根，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，已点的坐标为，点的纵坐标为，根据图象信息可得关于的方程的解为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

9. 方程的解为：______．
10. 若，且，，则______．
11. 反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是______．
12. 已知∽，的周长为，的周长为，则与的面积之比为______．
13. 如图，若反比例函数的图象经过点，轴于，且的面积为，则______．

14. 如图，在菱形中，，点在边上，连接交的延长线于点，若，则的长为______．

15. 一个三角形的两边长为和，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为______．
16. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、若，则______；若，，；且，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分）

17. 解方程：．
18. 如图，，，，，
    证明：∽；
    求的值．

19. 已知▱的两邻边、的长是关于的方程的两个实数根．
    若的长为，求的值；
    当为何值时，▱是菱形？
20. 已知一次函数的图象分别与坐标轴相交于、两点如图所示，与反比例函数的图象相交于点．
    写出、两点的坐标；
    作轴，垂足为，如果是的中位线，求反比例函数的关系式．

21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
    根据上述定义，一元二次方程 ______填“是”或“不是”“倍根方程”．
    若是“倍根方程”，求的值；
22. 如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分阴影部分可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长．

23. 如图，在中，已知，，且≌，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点，与交于点．
    
    求证：∽；
    当点运动到边的中点时，求的长；
    探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
24. 已知点在双曲线上且，过点作轴的垂线，垂足为．
    如图，当时，是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转至点．
    若，直接写出点的坐标；
    若双曲线经过点，求的值．
    如图，将图中的双曲线沿轴折叠得到双曲线，将线段绕点旋转，点刚好落在双曲线上的点处，求和的数量关系．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为非零实数，，，满足，
所以肯定，或；
故选B
依题意比例式直接求解即可．
此题考查比例线段问题，能够根据比例正确进行解答是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、把代入得：左边右边，故A选项错误，不符合题意；
B、自变量的取值范围为，所以图象不经过原点，故B选项错误，不符合题意；
C、，图象在第一、三象限，故C选项正确，符合题意；
D、当时，随着的增大而减小，故D选项错误，不符合题意；
故选：．
利用反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了反比例函数图象的性质：、当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．、当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设每次降价的百分率为，根据一次降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程即可．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【解答】
解：由，可得∽，此选项不符合题意；
B.由，夹角，不能判定∽，此选项符合题意；
C.由，可得∽，此选项不符合题意；
D.由，即，且可得∽，此选项不符合题意．
故选：  

6.【答案】 

【解析】解：把代入方程，可得：，
即；
．
故选：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求的值，然后再求代数式的值．
本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中根据题意，易证∽∽，利用相似比，可求出、面积比，再求出．
【解答】
解：被截成三等分，
∽∽，
，
：：
：：

故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：把代入得：，
，
把代入上式得：，
，
，
即两函数的交点坐标为，，
根据图象信息可得关于的方程的解为或．
故选：．
把代入求出，得出反比例函数的解析式，把代入求出的横坐标，根据和的横坐标，即可求出答案．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．
 

9.【答案】， 

【解析】首先把方程移项，把方程的右边变成，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是，则这几个因式中至少有一个是，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
解：移项得：，
即，
于是得：或．
则方程的解为：，．
故答案是：，．
本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，且，，
，
．
故答案为：．
根据已知条件得出，再把化成，然后进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在第二、四象限，
，
解得．
故答案为：．
根据反比例函数的性质列式计算即可得解．
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内．
 

12.【答案】： 

【解析】解：∽，的周长为，的周长为，
三角形的相似比是：，
与的面积之比为：．
故答案为：：．
先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
反比例函数的图象在二象限，
，
，
故答案为．
根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质知，，则∽，根据对应边成比例可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，说明∽是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，，
分两种情况：
当第三边为时，
，
不能组成三角形，
当第三边为时，这个三角形的周长，
综上所述：这个三角形的周长为，
故答案为：．
先利用解一元二次方程因式分解法求出方程的根，然后再分两种情况，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：在等腰和等腰中，，，，
，，
∽，
，
，
在等腰中，，
，
∽，
，
又，
∽，
，
，
，
或不合题意，
，
又，
∽，
，
，
故答案为：，．
通过证明∽，可得，可求的长，通过证明∽，由相似三角形的性质可求的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，，
． 

【解析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
 

18.【答案】证明：，，
∽．

解：∽，
，
，
． 

【解析】由和根据相似三角形的判定推出即可；
根据相似得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边成比例．
 

19.【答案】解：当时，
把代入方程的，
解得；
▱是菱形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
即的值为． 

【解析】把代入方程得，然后解关于的方程即可；
先根据菱形的性质得到，然后利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了菱形的性质．
 

20.【答案】解：，
当时，，
当时，，
的坐标是，的坐标是．

，
，
是的中位线，
，
即点、点的横坐标都是，
把代入得：，
即的坐标是，
把的坐标代入得：，
反比例函数的关系式是． 

【解析】分别把和代入一次函数的解析式，即可求出、的坐标；
根据三角形的中位线求出，即可得出、的横坐标是，代入一次函数的解析式，求出的坐标，代入反比例函数的解析式，求出即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，具有一定的代表性．
 

21.【答案】不是 

【解析】解：，
，
或，
所以，，
所以一元二次方程不是“倍根方程”；
故答案为：不是；
，
或，
解得，，
当，
当，
综上所述，的值为或．
利用因式分解法解方程得，，然后根据“倍根方程”的定义进行判断；
利用因式分解法解方程得，，再根据“倍根方程”的定义得到或，从而得到的值．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

22.【答案】解：设正方形的边长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得或舍去，
答：剪去的正方形的边长为． 

【解析】设正方形的边长为，根据题意知：底面的边长为：、，根据该底面的面积是，列出方程并解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程．
 

23.【答案】证明：，
，
又
又≌，
，
，
∽；

 解：点是边的中点，，
，，
∽
，即：，
；

解：，且
，
，
当时，则≌，
，
，
当时，
，
，
即，
又，
∽，
，
，
；
当时，点与点重合，即，此时重叠部分图形不能构成三角形；
综上所述，或． 

【解析】由，根据等边对等角，可得，由≌，可得，进而可得，即可证得结论；
先证明∽，利用相似三角形性质求解即可；
根据是等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论计算即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理应用、等腰三角形性质等．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想的应用是解此题的关键．
 

24.【答案】解：如图中，

由题意：，，，
．

图中，由题意，

点在上，
，
或，


如图中，

当点与点关于轴对称时，，，
．
当点绕点旋转时，得到，在上，
作轴，则≌，
，，
，
，即，
在上，
，
综上所述，满足条件的、的关系是或． 

【解析】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图中，求出、的长即可解决问题；
图中，由题意，利用待定系数法，把问题转化为方程解决即可；
分两种情形当点与点关于轴对称时，，，可得．
当点绕点旋转时，得到，在上，作轴，则≌，推出，，由，推出，即，由在上，可得；