湖南省衡阳市祁东县多校联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省衡阳市祁东县多校联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
2. “染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】．
故选：D．
3. 将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：

由题意可知，，，
，
，，
故选：C．
4. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
5. 如图，，平分，且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
6. 足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（ ）
A. 2场B. 3场C. 4场D. 5场
【答案】D
【解析】设该队胜了场，故平了场，
，
解得．
故一共胜了场．
故选：D．
7. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可得列表如下：
共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，所以会发生中和反应的概率为；故选D.
8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且．
故选：B．
9. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 无限小数都是无理数
B. 相似三角形的面积比等于相似比
C. 三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形
D. 圆内接四边形对角相等
【答案】C
【解析】A、无限不循环小数是无理数，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
B、相似三角形的面积比等于相似比的平方，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
C、 由得三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形，故原选项正确， 是真命题，符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：C．
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组的解为，即方程组的解为；
故②符合题意；
由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意；
由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】．
12. 在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为_____．
【答案】
【解析】∵点关于轴的对称点为点，∴点，
∵将点向上平移3个单位，得到点，
∴点的坐标为，即．
13. 如图，已知四边形内接于，，则的度数为_____．
【答案】
【解析】∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为： ．
14. 如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是______．
【答案】
【解析】扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
15. 某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为__________分．
【答案】92
【解析】李明同学最终比赛成绩（分）．
16. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________度．
【答案】200
【解析】由图象可知眼镜度数为500度时，镜片焦距为米，
设，
∴在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
此时眼镜的度数为200度．
17. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是______．

【答案】
【解析】由已知可得，是线段的垂直平分线，

设与的交点为，，，
，，
，，，
故答案为：．
18. 如图，在正方形中，，分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为_______．
【答案】2
【解析】设正方形的边长为，
在正方形中，，，，
则，
延长至点，使得，连接，，
在与中，，
∴，
∴，
∴，当点在上时，取得最小值，
∵的最小值为，即：，
在中，，即，
解得：（负值舍去），
故答案为：2．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 解不等式组．并写出它的最大整数解．
解：解不等式：
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
解不等式：
去分母，两边同乘得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
∴不等式组的解集为．
∴在这个范围内，最大整数解是．
20. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
21. 为了落实《教育强国建设规划纲要（2024-2035）》，了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中的值为_____；组对应的扇形的圆心角度数为_____；
（3）若该校总共有4000名学生，每周的课外阅读时间小于4小时的学生大约有多少人？
解：（1）由扇形统计图知A组占，A组人数为人，
∴抽取学生总数为人．
D组人数为人．
补全统计图如下：
（2），
∴．
C组对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：40，；
（3）每周课外阅读时间小于4小时的是A、B组，人数和为人．
占抽取总数的比例为．
该校总共有名学生，所以大约有人．
22. 当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
解：（1）设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，
根据题意可得：，解得：，
故y与x之间的函数关系式为：；
（2）根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：（不合题意，舍去），，
答：应将销售单价定为22元．
23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管的坡度为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
（1）真空管上端B到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
解：（1）过点作交于点，

由题意，得：，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，解得或（舍去），
∴，∴真空管上端B到水平线的距离为；
（2）由题意，得：，，

∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
答：安装热水器的铁架水平横管的长度为．
24. 如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=，
∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）解：①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=2，AC=2，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，∴，
∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴，
∴阴影部分的面积为．
25. 若二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标为另一个交点横坐标的一半，则称这样的二次函数为“半根函数”．
（1）二次函数y＝x2﹣x﹣2是半根函数吗？请说明你的理由．
（2）若y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，求18m2+15mn+2n2的值．
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，且相异两点M（4+t，s），N（5﹣t，s）都在抛物线上，证明当1≤a≤5时，函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上．
解：（1）不是，理由如下：
二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴有两个交点，
令，即，
解得，
，
二次函数y＝x2﹣x﹣2不是半根函数；
（2）y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，
则，
解得，
y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，
或，
，
，
（3）点都在抛物线上，且纵坐标相等，
则抛物线的对称轴为：，
二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，
设，则，
，
解得，
设二次函数的解析式为：，
则，
联立得，，
整理得，，
，
令，可得，