高中数学抛物线的标准方程教学设计及反思

这是一份高中数学抛物线的标准方程教学设计及反思，共17页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
一、本节内容分析
从本章来讲,这一节放在椭圆和双曲线之后,一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要,抛物线是离心率e=1的特例.另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化.本节对抛物线定义和性质的研究,与初中阶段二次函数的图像遥相呼应,体现了数学的和谐之美.教材的这种安排,是为了分散难点,符合认知的渐进性原则.这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容,它有着广泛的应用,能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想,坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”,是学生应重点掌握的基本数学方法.运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,我们必须充分利用好这部分教材进行教学.
本节所包含的核心知识和体现的核心素养如下:
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些抛物线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.
从学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.
从学习心理上看,学生头脑中虽有一些抛物线的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何给抛物线以数学描述？如何“定性”“定量”地描述抛物线是学生关注的问题,也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,发现其几何性质,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心理是学生学好本节课的情感基础.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.抛物线及其标准方程
2.抛物线的几何性质
【教学目标设计】
1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程及其几何性质.
2.掌握用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程.
3.掌握抛物线的简单几何性质及其应用.
【教学策略设计】
本节课是在学生学习了椭圆、双曲线之后进行,因此在教学中,要时时注意与前两种曲线进行对比,求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了的,充分调动学生已有的知识,引导学生把新旧知识有机融合,掌握知识的系统结构.在教学过程中,教师需要不断为学生提供思考及合作的探究性活动,让学生充分发挥他们的聪明才智,通过恰当的问题设置,启发学生参与其中进行思考探究,使学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题,从而培养学生的创新精神和实践能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.抛物线的定义及其标准方程.
2.抛物线几何性质的运用.
难点
1.运用标准方程解决相关问题.
2.解决与抛物线性质有关的实际应用问题.
【教学材料准备】
1.常规教材:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:以下图形的截面图是什么曲线？
【情境设置】
生活中的抛物线
生:抛物线.
师:生活中处处有抛物线,我们如何画出抛物线呢？到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？它有什么几何特征呢？这就是本节将要探究的问题.
【设计意图】
利用多媒体,展示学生常见的抛物线形状的物品,让学生从感性上认识抛物线.通过展示图片,让学生感受现实生活中处处有抛物线,激发学生的学习兴趣.同时,进一步感受探究圆锥曲线的经历:定义—表示(标准方程)—划分(按照建系方式不同)—性质(曲线中的要素及关系)—特例—联系(应用).
教学精讲
探究1 抛物线的定义
师:我们首先进行下面的活动.
把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.
还可以在画板上画一条直线l,使l与画板左侧的边线平行;再在直线l外画一个定点F.取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿,丁字尺和直线l垂直且相交于点P,在丁字尺的另一端取一点Q,将一条长度等于|PQ|的细绳,一端固定在点Q,另一端固定在点F,用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳,然后上下平移丁字尺,笔尖作出了一条曲线.
【以学定教】
在“做”中学,通过画抛物线的实验操作,经历概念的形成过程,积累感性经验,同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力,引导学生自主合作探究,变被动为主动.
【学生动手实践后,直观得到一条抛物线】
师:这条曲线很显然是我们课前演示的图形——抛物线,通过作图你能发现这条曲线上的点有什么特征？或者说,在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
生:笔尖到定点F和笔尖到直线l的距离相等.
师:在活动的描述中为什么加上条件“l不经过F”？
【活动学习】
学生思考交流,教师提出定义中容易产生混淆的知识点引发学生的思考,以达到形成概念的目的,变讲解知识为学生思考自己获得知识.
【学生动手实践后得出结论】
生:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.
师:抛物线的图形是双曲线的一支吗？
生:不是.
师:为什么？
【师生共同讨论,教师总结】
师:不是.当抛物线上的点趋向于无穷远时,图像的切线近于和x轴平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时,图像的切线接近于与渐近线平行.抛物线没有渐近线;虽然它们的图像有点相似,但是定义完全不同.
师:你能自己归纳抛物线的定义吗？
【学生观察分析、归纳定义,教师补充概括】
生:动点到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线(定点不在定直线上).
师:回答正确！下面请看抛物线的定义.
【概括理解能力】
对抛物线定义概括是在教师引导下,学生自主学习过程中形成的,其中一些关键点(也就是容易混淆点)让学生通过辨析,自主地思考、研究,来体会定义的形成过程,以达到提升概括理解能力的目标.
【要点知识】
抛物线的定义
一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.
【情境学习】
通过学生观察、思考、讨论,概括出抛物线的定义,让学生全程参与概念的探究过程,加深理解,提高数学语言的表达能力.
师:焦点为F,准线为l的抛物线上任一点M,有什么性质？
生:设抛物线上任一点为M,则有.
师:抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,即一个动点、一个定点、一条定直线、一个定值.
探究2 抛物线的标准方程
师:回顾求椭圆或双曲线方程的基本方法——坐标法,以及它的解题步骤.
【教师提问,针对学生回答情况做一总结】
生:(1)建系、设点;(2)写出点的集合;(3)列式;(4)化简.
师:(1)利用坐标法如何推导抛物线的标准方程呢？
(2)如何建系,才能使求出的方程最简洁呢？
【由学生自主提出建立坐标系的不同方法,教师根据学生提出的“建系”方式,把学生分成若干组,分别按不同的建系的方法推导方程,进行比较】
【以学论教】
通过问题思考,从几何方面探究确定抛物线的条件.通过动手实践和数据的变化,使学生体会确定抛物线条件的过程.
师:同学们你会选择以下图中三种情况中的哪一种？
生:我选择第二种,理由是:设x轴与准线l的交点为K,取线段KF的垂直平分线为y轴,这样点K和F在x轴上的坐标关于原点左、右对称.
【师生共同求解抛物线方程】
师:过抛物线的焦点F作其准线l的垂线,记垂足为K,设|KF|=p(即F到准线l的距离为p,其中p>0).
(1)建系:以直线KF为x轴,线段KF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
(2)设点:设M(x,y)是抛物线上任意一点.
(3)写点的集合:由抛物线的定义,抛物线就是集合.
(4)列式:,即.
(5)化简:上式两边平方,整理可得y2=2px(p>0).①
师:从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标都满足方程①,以方程①的解(x,y)为坐标的点有无穷多组,这无穷多组解对应的点组成了抛物线.我们把它叫做抛物线的标准方程.
【发现创新能力】
积极鼓励学生用不同建系方法,通过比较,得出最简洁的方案,而不是被动地接受教材或教师强加给的方法.提升发现创新能力.
【要点知识】
抛物线的标准方程
方程叫做抛物线的标准方程,焦点在x轴上,焦点是,准线是.
【猜想探究能力】
明确求曲线的方程的大致步骤,避免推导过程中思维的盲目性;明确如何建立适当的直角坐标系,引导学生学会建立恰当的直角坐标系,提升学生的猜想探究能力.
师:如果建立的平面直角坐标系分别如图(1)(2)(3)所示,其他条件不变,则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？此时能否通过①得到抛物线的标准方程具体的形式呢？
生:焦点坐标和准线方程均有变化:(1)y2=−2px(p>0);(2)x2=2py(p>0);(3)x2=−2py(p>0).
师:下面请大家共同填写一下抛物线的四种标准方程.
【归纳总结】
抛物线的标准方程
【深度学习】
以抛物线的标准方程的推导为载体,引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法,深化学生对曲线与方程的关系的理解.
【自主学习】
师生合作学习、学生在已有的知识基础上独立探究,然后交流学习成果,在教师的指导下自然地构建了焦点在其他位置的抛物线的标准方程的架构,符合知识形成过程的科学性,培养了学生的自学能力,又强化了知识的记忆与归纳.
师:我们根据抛物线的标准方程,总结一下抛物线标准方程的几何特征.
【师生共同研究总结】
师:抛物线方程的特征如下:
(1)抛物线标准方程形式不同于椭圆、双曲线方程中x,y对称出现,因此,曲线不会关于原点对称.
(2)p>0不可少,体会p的几何意义,如果不特别声明,以后p>0.
(3)抛物线焦点的位置由标准方程中一次项和其系数正负确定.
师:下面我们根据所学巩固练习.
【概括理解能力】
师生共同探究抛物线四种标准方程的规律,增强学生对抛物线标准方程的理解,提升概括理解能力.
【巩固练习】
抛物线的标准方程
1.判断:
(1)抛物线的焦点到准线的距离是p.( )
(2)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
2.二次函数的图像是抛物线,那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗？
3.二次函数的图像是抛物线吗？它的焦点坐标、准线方程分别是什么？
生1:(1)√ (2)×
生2:抛物线对应的方程不一定是二次函数.例如,y2=4x的图像是抛物线,但它不是函数,更不是二次函数.
生3:是抛物线:焦点坐标是;准线方程是.
师:下面请看例题.
【少教精教】
通过思考,学生明确抛物线方程的特征,加深对抛物线定义及标准方程的理解.
【典型例题】
求抛物线的标准方程和准线方程
例1 分别根据下列条件,求抛物线的标准方程和准线方程:
(1)抛物线的焦点到准线的距离是3,而且焦点在x轴的正半轴上;
(2)抛物线的焦点是F(−3,0).
【学生独立做题,师生共同总结求抛物线标准方程的步骤】
生解:(1)根据题意可知,抛物线的标准方程具有的形式,而且p=3,因此所求标准方程为,准线方程为.
(2)因为抛物线的焦点坐标是(−3,0),所以抛物线的标准方程具有的形式,而且,因此p=6,从而所求抛物线的标准方程是,准线方程为x=3.
师:根据例题,请总结求抛物线标准方程的步骤.
【分析计算能力】
例1训练学生能根据抛物线的定义求标准方程,由条件推方程;又从抛物线标准方程找出准线,即由方程求条件.提升学生分析计算能力.
【归纳总结】
求抛物线标准方程的步骤
1.“定位”:确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上,在正半轴还是在负半轴上.
2.“定量”:确定p的具体数值.
3.确定抛物线的标准方程.
师:下面我们继续研究例题.
【典型例题】
求抛物线的焦点坐标和标准方程
例2 分别根据下列条件,求抛物线的焦点坐标和标准方程:
(1)抛物线的焦点到x轴的距离是2,而且焦点在y轴的正半轴上;
(2)抛物线的焦点是双曲线的焦点之一.
【学生独立做题,教师进行个别指导】
生解:(1)由已知可得焦点坐标为(0,2),因此抛物线的标准方程具有x2=2py的形式,且p=4,从而所求抛物线的标准方程是x2=8y.
(2)因为双曲线中,,又因为双曲线的焦点在y轴上,所以焦点坐标为(0,−5)或(0,5).
如果抛物线的焦点坐标为(0,−5),则抛物线的标准方程具有x2=−2py的形式,且p=10,此时抛物线的标准方程是x2=−20y;
如果抛物线的焦点坐标为(0,5),则抛物线的标准方程具有x2=2py的形式,且p=10,此时抛物线的标准方程是x2=20y.
师:通过例2,我们知道了求抛物线标准方程时明确焦点位置的重要性,下面继续研究例题.
【先学后教】
通过研究焦点在x轴正半轴的抛物线的标准方程类比研究焦点在y轴的抛物线的标准方程,化解难点,突出重点,强化推理方法.
【典型例题】
与抛物线相关的动点轨迹
例3 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
【分析计算能力】
用绝对值来表示距离,学生经常在此出错,同时,提醒学生分类讨论是分解难点的重要方法,在解题中要注意认清分类的标准.在解决例3的过程中提升学生的分析计算能力.
师分析:设点P的坐标为(x,y),则有,化简即得动点P的轨迹方程,此解法用了求谁设谁的思路,即直接法.
还可以这样分析,结合题意动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,因此分情况讨论.
当x