高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册二面角教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册二面角教学设计，共10页。
教学研讨
同直线与平面的夹角一样,二面角的本质也是转化为直线与直线的夹角来处理的,因此根据二面角的定义来看的话完全可以将其放在一个直角三角形中来进行求解（若二面角的平面角是钝角或直角时可考虑其补角）,因此教材介绍了三垂线定理法.鉴于二面角的平面角的两边都与二面角的棱垂直,教师可根据实际情况进行拓展补充面积射影法.教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情境引入
同学们,在日常生活中,很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象.如在建造大坝时,为了加固大坝,大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；很多屋顶都是二面角的形象等.
你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角度呢？
教师出示教材第47页“阅读与思考”栏目,学生思考、举例.
通过情境让学生直观感受二面角,为后续介绍概念做好铺垫.
知识探究
1.二面角及其度量
（1）定义
平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
（2）二面角的平面角
如图所示,在二面角的棱上任取一点,以为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线和,则射线和所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.
（3）二面角的范围
我们约定,二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°.而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0°且不大于90°的角的大小.
（4）二面角的计算
例1如图（1）所示,已知二面角的棱上有,两个点,,,,若,,,求二面角的大小.
证明 如图（2）所示,在平面内过点作的平行线,且使得,连接.
因为四边形是一个矩形，是二面角的一个平面角,且面,所以面,从而

.
在中,由余弦定理可知
=,
因此.
即所求二面角的大小为.
（5）如图,设为二面角的半平面上的一点,过点作半平面的垂线,设为棱上一点.
在图中,如果二面角的大小为,则可以看出与在AB边上的高之比为,因此这两个三角形的面积之比也为.
这种方法不妨称之为三垂线定理法
例2 如图（1）所示三棱锥中,面面,,且,求二面角的大小.
解 设分别为的中点,连接,如图（2）所示.
因为,所以,又因为面面,所以面,因此在平面内的射影为OE.又因为为的中位线,,所以,从而由三垂线定理可知,因此为二面角的一个平面角.
由且可知
又因为
.
而且,从而可知45°,即所求二面角的大小为45°.
2.用空间向量求二面角的大小.
如果分别是平面的个法向量,设与所成角的大小为,则=
或.特别地,,如下图所示.
例3 如图所示,已知四棱锥中,面,为直角梯形,=90°,且,求平面与所成角的正弦值.
证明依题意,两两互相垂直.以为原点,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,的长为单位长度,建立如上图所示的空间直角坐标系.则
,,,所以
,
显然,是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为,则
令,可得,,此时
.
因为
,
所以可知所求角的正弦值为.
例4 如图所示,已知直三棱柱中,=90°, ,,且是的中点,求平面与平面所成角的大小.
证明 依题意,,两两互相垂直,以为原点,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立如上图所示的空间直角坐标系,则
,
所以
,,,.
设平面的一个法向量为,则
令,则得,,此时 .
设平面的一个法向量为,则
令,则,,此时
因为
.
所以=90°,从而可知平面与平面所成角的大小为90°,也就是说,这两个平面是互相垂直的.
教师介绍二面角的相关概念,并通过多媒体展示一些常见的几何体如正方体、正四面体等,让学生找出给定两个半平面的二面角,并约定二面角的平面角的范围.
学生结合多媒体图形及自制的几何实物模型或几何画板课件,直观理解二面角的含义.
教师出示例1,让学生思考、并独立完成,教师对学困生进行指导.
师生共同总结例1的解题思路,得出用定义法解决二面角问题的通性通法.
教师出示教材第49页“尝试与发现”,引导学生独立完成.
学生根据问题独立思考,得出结论： （1）若,则由三垂线定理的逆定理可知；反之,若,则由三垂线定理可知.
因此是的充要条件.
（2）
教师出示例2,先请1~2名学生分析题意,提出解题思路,其他同学进行补充,在确定解题思路正确的前提下,请回答问题的学生进行板演,其他同学在练习本上完成.
教师引导学生通过类比前面学习的用向量法求直线与平面所成的角,尝试用向量法来解决求二面角问题可设计如下问题：
（1）你能根据上面的内容及例题概括一下求二面角的夹角问题的般步骤吗？
（2）通过前面的学习,我们可以借助向量来研究直线与平面的夹角,那么你能借助两个半平面的法向量来研究二面角吗？
学生先回忆用向量法研究直线与平面的夹角的思路,然后尝试完成教材第50页“尝试与发现”栏目,教师巡视课堂,适时点拨,提醒学生注意两平面的法向量的夹角与二面角两者之间的关系.
师生一起梳理结论：根据法向量与法向量方向的不同,可分为两种情况.
教师请3~4名学生板演例3、例4,教师对学困生进行指导、点拨学生根据问题利用定义法或向量法来板演例3、例4,其他学生在练习本上完成学生之间对板演结果进行点评、补充,并对比向量法和定义法的优缺点.
教师对学生的结果进行评价,规范解答过程,并同学生一起总结向量法和定义法的优缺点,总结利用向量法求二面角的一般步骤.
介绍二面角的相关内容,通过自制模型等载体帮助学生理解概念,突破重点.
通过例1使学生进一步理解二面角的概念,积累利用定义法求二面角的解题经验.
让学生通过探究活动,使学生更好地理解二面角的概念及三垂线定理法求二面角,提升学生的数学抽象与逻辑推理核心素养.
梳理两个半平面的法向量的夹角与二面角间的关系,为利用向量解决求二面角问题打好理论基础.
通过例题使学生感受求二面角的不同处理手段,提升逻辑推理和数学运算核心素养.
归纳小结
1.二面角及其度量.
2.二面角的求法：
（1）定义法；
（2）三垂线定理法；
（3）向量法
教师引导学生分组回答,小组评价.
锻炼学生归纳总结、合作学习的能力.
布置作业
教材第52页练习A第1,2,3题
学生课后完成.
巩固所学知识
1.2.4二面角
1.二面角及其度量
（1）定义
平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
（2）二面角的平面角
如图,在二面角的棱上任取一点,以为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线和,则射线和所成的角称为二面角的平面角.
（3）二面角的范围
（4）二面角的计算
例1
（5）三垂线定理法
例2
2.用空间向量求二面角的大小.
如果分别是平面的个法向量,设与所成角的大小为,则=或.特别地,.
例3
例4