高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.4 二面角导学案及答案

二面角

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一二面角

1.二面角的定义

平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个① 半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的② 棱，这两个半平面称为二面角的面.

如图所示，在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的③ 平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为④ 直二面角 .

2.二面角和两个平面相交所成角的范围

二面角及其平面角的大小不小于，不大于 .而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于且不大于9的角的大小.

要点二利用空间向量求二面角的大小

如图（1）（2）所示，可以看出或，特别地， ⑤  .

自主思考

1.作二面角的平面角时，所取一点的位置不同，得到的平面角的大小相同吗？为什么？

答案：提示相同.在棱上取的点虽然不同，但是得到的二面角的平面角的边都是对应平行的，由等角定理可以知道，这些角的大小都是相同的.

2.二面角的棱与平面是什么位置关系？

答案：提示垂直.

3.如图所示，若、分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线（垂足分别为、），则二面角的大小与的夹角有什么关系？

答案：提示 .

4.设二面角的平面角为，平面的法向量分别为，则与，有什么关系？

答案：提示 .

名师点睛

1.与二面角有关的面积运算

如图，设为二面角的半平面上的一点，当二面角是一个锐角时，其大小为，过点作半平面的垂线，过（或）作棱的垂线（或），连接（或），则 .

2.关于二面角大小的求法

（1）根据二面角的定义，需要在两个半平面内作棱的垂线，由此得到二面角的平面角，此时，可用两条垂线的方向向量的夹角来求二面角的大小；

（2）根据面积比来求，需要求出射影三角形和原三角形的面积，然后作商得到二面角的平面角的余弦值；

（3）利用二面角的两个半平面的法向量来求，需要求出两个半平面的法向量，然后根据它们之间的关系，结合图形判断二面角的大小.

3.利用向量法求空间角的注意事项

利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角的取值范围的区别，特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，具体情况要看二面角是锐角还是钝角.

互动探究·关键能力

探究点一几何法求二面角

精讲精练

例（1）（2021山东日照高二联考）第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根33.3米高的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为 (     )

A. B. C. D.

（2）（2020湖北荆州中学高二期末）如图，正方形沿对角线折叠之后，平面平面，则二面角的余弦值为(      )

A.2 B. C. D.

答案：（1）（2）

解析：（1）依题意得“斗冠”的高为60.3-33.3=27米，

如图，米，米，

为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，，

而，，且在上单调递增，

所以，

所以，故选C.

（2）设正方形的边长为，取的中点，连接，过作的平行线交于，连接 .

因为平面平面，平面平面，，所以平面，所以，又，，所以平面，所以，则二面角的平面角就是，因为，，所以，又，，所以，即，

所以，故选C.

解题感悟

利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明（或说明）所作角为什么是二面角的平面角，最后计算出二面角的平面角大小.作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）垂线法；（3）垂面法.

迁移应用

1.如图，正方体的棱长为1，分别为棱、的中点，则平面与底面所成角的余弦值为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：在正方体中，平面，

分别为棱的中点，所以，所以平面，

所以，，所以就是平面与底面所成角的平面角，所以 .

探究点二利用面积的比求二面角

精讲精练

例在正方体中，棱长为，，分别为棱，的中点，求平面与平面所成角的余弦值.

答案：如图，易知四边形为菱形.

平面，平面，平面，

正方形为菱形在平面内的射影.连接，，

易知，，， .

设平面与平面所成角的大小为，则，

即平面与平面所成角的余弦值为 .

解题感悟

利用射影面积与图形面积比求二面角时，公式的意义：为二面角的大小，为在二面角的一个面内的图形的面积，为图形在另一个面内的射影的面积.当二面角为钝角时，此时二面角的大小为 .

迁移应用

1.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为3，，分别是侧棱和上的点，且，，则截面与底面所成角的余弦值为 .

答案：

解析：如图，设，

由已知可得，在中，，即，解得 .

， .

设截面与底面所成角的大小为，则 .

截面与底面所成角的余弦值为 .

探究点三利用空间向量求二面角

精讲精练

例如图,四棱柱的所有棱长都相等,．

（1）证明：底面 ;

（2）若 ,求二面角的余弦值．

答案：（1）证明：易知四边形和四边形均为矩形,所以 ,

又所以

因为底面 ,所以底面 .

（2）因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形为菱形,所以 ,

又底面 ,所以两两垂直．

如图,以为坐标原点, , ,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．

设四棱柱的棱长为2,因为 ,所以 ,

所以 ,易知平面的一个法向量为 ,所以平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为 ,则由得 ,

取 ,则 ,所以 ,

所以 .

由图形可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为 .

解题感悟

利用向量法求二面角的解题步骤如下：

迁移应用

1.如图,直三棱柱中,分别是的中点, .

（1）证明：平面 ;

（2）求二面角的正弦值.

答案：（1）证明：连接 ,交于点 ,则为的中点,连接 ,如图,

因为为的中点,所以又因为平面平面

所以平面 .

（2）设 ,由得 ,则

所以 ,又因为三棱柱为直三棱柱,所以以点为坐标原点,分别以所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图,

则 ,

所以 ,

设平面的一个法向量为 ,则所以

则令 ,得平面的一个法向量为 ,

设平面的一个法向量为 ,则

所以则令 ,

则 ,则 ,所以 ,

所以二面角的正弦值为 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.三棱锥中,平面与平面的法向量分别为若 ,则二面角的大小为(     )

A. B.

C.或 D.或

答案：

2.在正方体中,点为的中点,则平面与平面的夹角的余弦值为(     )

A. B. C. D.

答案：

3.（2020陕西榆林绥德中学高二期末）如图,正三棱柱中,各棱长都相等,则二面角的平面角的正切值为(      )

A. B.

C.1D.

答案：

4.如图,在底面是一个直角梯形的四棱锥中, , ,平面 ,则平面与平面所成角的余弦值为 .

答案：

素养演练

逻辑推理、数学运算——与二面角有关的探索性问题

1.

如图,已知长方形中,为的中点.将沿折起,使得平面平面 .

（1）求证： ;

（2）在线段上是否存在点 ,使二面角的余弦值为？若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.

答案：（1）证明：在长方形中, ,为的中点,

.

平面平面 ,平面平面 ,

平面 ,

平面 ,平面 , .

（2）存在.理由：假设存在点 ,使二面角的余弦值为 .

取的中点 ,连接 ,则 ,

平面平面 ,平面 ,取的中点 ,连接 ,两两垂直.

以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

则

,

设 ,

设平面的一个法向量为 ,

则

即

得 ,取 ,则

所以 ,易知平面的一个法向量为 ,

所以 ,解得 ,所以为的中点时,二面角的余弦值为 .

素养探究：（1）本题为与二面角有关的探究性问题,解决此类问题的基本方法是假设结论成立或对象存在,然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,即存在,并可进一步证明;否则不成立,即不存在.

（2）利用空间向量的坐标运算,可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题．体现了逻辑推理和数学运算的核心素养．