第05讲 全称量词与存在量词 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第05讲 全称量词与存在量词 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共19页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.理解全称量词、全称量词命题的定义，存在量词、存在量词命题的定义；
2.会判断一个命题的全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假；
3.正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1 全称量词与全称量词命题
（1）全称量词
短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．
(2) 全称量词命题
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记作∀ x∈M , p(x)．
2 命题的否定
(1) 命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或p的否定；
（2）全称命题的否定
一般地，全称量词命题“∀ x∈M , p(x)”的否定是存在量词：∃ x∈M , ¬ p(x).
（3）存在量词的否定
一般地，全称量词命题“∃ x∈M , p(x)”的否定是存在量词：∀ x∈M ,¬ p(x).
（4）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是命题。
（5）常见的正面词语的否定

【题型一】 全称量词命题与存在量词的判断
相关知识点讲解
1 全称量词与全称量词命题
（1）全称量词
短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．
(2) 全称量词命题
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记作∀ x∈M , p(x)．
2 存在量词与存在量词命题
（1）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，记作∃ x∈M , p(x).

【典题1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)正方形的四条边相等；
(2)至少有一个正整数是偶数；
(3)正数的平方根不等于0；
(4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
【答案】(1)全称量词命题
(2)存在量词命题
(3)全称量词命题
(4)全称量词命题
【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可
【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题；
（2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题；
（3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题；
（4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题.

变式练习
1.下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数B．至少有一个整数x，使得x2+3x是质数
C．每个四边形的内角和都是360°D．∃x∈R，x2=x
【答案】C
【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解.
【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“∃”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题.
故选：C.
2.(多选)下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x∈R，使x2+2x+1=0成立
B．对任意的x∈R，都有x2+2x+1=0成立
C．对所有的x∈R，都有x2+2x+1=0不成立
D．存在x∈R，使x2+2x+1=0成立
【答案】BC
【分析】利用全称量词命题的定义逐项判断可得出结论.
【详解】由全称量词命题的否定可知，BC选项中的命题为全称量词命题，AD选项中的命题不是全称量词命题.
故选：BC.
3.现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②∃a∈R,|a|=1；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 .
【答案】2
【分析】根据全称量词和存在量词即可求解.
【详解】①和④是全称量词命题，②和③是存在量词命题.,
故答案为：2
【题型二】 全称量词命题与存在量词命题的真假
【典题1】 (多选)下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A．∀x∈R，x+1x≥2B．∃x∈R，x+1x≥2
C．∃x∈R，x+10
【答案】ACD
【分析】当x=-1时可判断A，D；当x=2时，可判断B；判断∀x∈R，x+1≥0为真命题可判断C；进而可得正确选项.
【详解】当x=-1时，x+1x=-2，显然x+1x≥2不成立，故选项A是假命题；
当x=2时，x+1x=2+12>2，故选项B是真命题；
对∀x∈R，x+1≥0恒成立，所以∃x∈R，x+10不成立，故选项D是假命题．
故选：ACD．
【典题2】 (多选)下列选项错误的是（ ）
A．命题“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边都不平行”
B．不存在整数n，使得n2+1是4的倍数
C．∃a,b∈Z，使得2a+4b=3
D．∃a,b∈R，a-2+b+12≤0
【答案】AC
【分析】根据题意，依次判断选项是否正确.
【详解】对于A，命题“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边不都平行”，故A错误；
对于B，当n=2k,k∈Z时，n2+1=4k2+1不是4的倍数；
当n=2k+1,k∈Z时，n2+1=4(k2+k)+2不是4的倍数，
所以不存在整数n，使得n2+1是4的倍数，故B正确；
对于C，因为a,b∈Z，则2a,4b为偶数，所以2a+4b为偶数，
所以不存在a,b∈Z，使得2a+4b=3，故C错误.
对于D，当a=2,b=-1时，a-2+b+12=0，故D正确.
故选：AC.
变式练习
1. (多选)下列命题是真命题的是（ ）
A．∀x∈Z，x2的个位数字不等于3B．∀x∈{yy是无理数}，x3是无理数
C．∃x∈N，x2+1∈ND．∃x∈Z，x2+1是4的倍数
【答案】AC
【分析】∀x∈Z，平方后个位数字为0,1,4,5,6,9，故A正确；令y=32即可判断B 错误；令x=0即可判断C正确；分x是奇数和偶数两种情况说明即可判断.
【详解】解：对于A选项，∀x∈Z，其个位数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，平方后个位数字为0,1,4,5,6,9，不能为3，故正确；
对于B选项，令y=32，则y3=323=2是有理数，故错误；
对于C选项，令x=0，则x2+1=1∈N，故正确；
对于D选项，当x是奇数时，不妨设x=2k+1,k∈Z，则x2+1=4k2+4k+2=4k2+k+12，由于k∈Z，故k2+k+12∉Z，故x2+1=4k2+4k+2=4k2+k+12不是4的倍数，当x是偶数时，x2+1是奇数，不是4的倍数，故错误.
故选：AC
2.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A．至少有一个x∈Z，使得x20；②∀x∈N,x2≥1；③∃x∈Z,x30 所以①正确；
对于②，当x=0时，021，b>1是ab>1的必要不充分条件
B．“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件
C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+11，b>1时，ab>1，但是当ab>1时，a>1，b>1不一定成立，比如a=-2,b=-3,故a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件，故A错误；
对于B，当x=1时可得x2=1, 当x2=1时不能得到x=1,
“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件,故B正确；
对于C, 命题“∃x0∈R，使得x02+x0+10
【答案】C
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，再结合全称命题和存在性命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，命题 p:能被3整除的整数是奇数，则¬p:存在一个能被3整除的整数不是奇数，
例如：实数12不是奇数，但能被3整除，所以¬p是真命题；
对于B中，命题 p:每一个四边形的四个顶点共圆，则 ¬p:存在一个四边形的四个顶点不共圆，其中命题p为假命题，所以¬p是真命题；
对于C中，命题 p:有的三角形为正三角形，则 ¬p:所有的三角形不都是正三角形，其中命题p为真命题，所以¬p是假命题；
对于D中，命题 p:∃x∈R,x2+2x+2≤0，则 ¬p:∀x∈R，都有x2+2x+2>0，
由不等式x2+2x+2=(x+1)2+1>0，所以命题p为假命题，所以¬p是真命题.
故选：C.
【点睛】对于全称命题和存在性命题的改写与真假判定的策略：
1、全称命题与存在性命题的否定改写：
（1）改写量词：确定命题所含有的量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
（2）否定结论：对原命题的结论进行否定.
2.全称命题与存在性命题的真假判断方法：

变式练习
1.已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则¬p为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
【答案】A
【分析】
存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】
因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以¬p为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，
故选：A
2.命题“∀x≥0,x2-x+1≥0”的否定是（ ）
A．∃x≥0, x2-x+14”，
故选：BCD.
【典题2】已知集合A=x-3≤x≤10 ，B=x2m+1≤x≤3m-2，且B≠∅．
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)3≤m≤4
(2)3≤m≤92
【分析】（1）由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，通过关系解决.
【详解】（1）由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A，
又B≠∅，所以2m+1≤3m-22m+1≥-33m-2≤10 ，解得3≤m≤4．
（2）因为B≠∅，所以2m+1≤3m-2，得m≥3．
因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，
所以-3≤2m+1≤10，或-3≤3m-2≤10，得-2≤m≤92．
综上，3≤m≤92．

变式练习
1. 命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a,+∞)，则实数a的值是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】由题意知命题的否定是真命题，结合二次函数性质求解参数范围即可.
【详解】命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0” 是假命题，
命题的否定：“∀x∈R，有x2+2x+m>0”是真命题．
由Δ=4-4m1，
由已知m的取值范围是(a,+∞)，所以a=1.
故选：B.
2.命题p:ax2+2x+1=0有实数根，若¬p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a1}D．以上都不对
【答案】B
【分析】¬p是假命题，则p为真命题，即ax2+2x+1=0有实数根，分类讨论a=0与a≠0时的情况即可.
【详解】当a=0时，即2x+1=0有实数根，解得x=12，故符合要求；
当a≠0时，即有Δ=4-4a≥0，解得a≤1且a≠0；
综上所述，a≤1.
故选：B.
3.若“∃x0∈R,x02+2x0+2=m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】1,+∞
【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“∃x0∈R,x02+2x0+2=m”是真命题，再利用存在量词命题为真得关于x的方程x2+2x+2-m=0有实根，最后利用判别式计算得结论．
【详解】因为“∃x0∈R,x02+2x0+2=m”的否定是假命题，
所以“∃x0∈R,x02+2x0+2=m”是真命题，
因此关于x的方程x2+2x+2-m=0有实根，
所以Δ=22-4×1×(2-m)≥0，解得m≥1．
因此实数m的取值范围是m≥1．
故答案为：1,+∞．
4.已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】0,4
【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】因为命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”是假命题，
所以其否定“任意∀x∈R，ax2-ax+1>0”是真命题，
即ax2-ax+1>0在R上恒成立，
当a=0时，不等式化为1>0恒成立，
当a≠0时，若ax2-ax+1>0在R上恒成立，
则a>0Δ=-a2-4a