第04讲 充分条件与必要条件 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第04讲 充分条件与必要条件 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共21页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；
2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题；
4.能对充分条件进行证明.
1 命题的定义
(1)命题的定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.
(2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.
2 充分条件与必要条件
(1) 一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2) 一般地，”若p，则q”为假命题，是指以p为已知条件不能通过推理可以得出q.
这时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
3 充要条件
(1)充要条件的定义
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均为真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，
就记作p⇔q，此时p即是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.
(2)充要条件的含义
若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同.
(3)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成是p是q等价.
【题型一】判断充分条件与必要条件
相关知识点讲解
概念
一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，
② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若p⇒q则充分，若p⇏q则不充分；
从右到左，若q⇒p则必要，若q⇏p则不必要.
【例】帅哥是男人的____________条件.
解析 从左到右，显然若A是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
(1) 命题p、q对应集合A、B，
若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p⇏q，即p 不是q的充分条件.
注 若A⊆B，则称A为小范围，B为大范围.
【例】帅哥是男人的____________条件.
解析 设集合A={帅哥}，集合B={男人}，显然A⊆B，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
(2) 结论
① 若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；② 若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；
③ 若p是q的充分条件，则A⊆B； ④ 若p是q的必要条件，则B⊆A.
【典题1】 (多选)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是( )
A．对角线相等的菱形
B．邻边相等的矩形
C．对角线相等的平行四边形
D．有一个角是直角的菱形
【答案】ABD
【分析】根据四边形的性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】对选项A：对角线相等的菱形是正方形，正确；
对选项B：邻边相等的矩形是正方形，正确；
对选项C：对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
对选项D：有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
故选：ABD
【典题2】(2024·天津·二模)已知a,b∈R，则“a=b=0”是“a+b=0”的( )．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
【详解】若a=b=0，则a+b=0，即充分性成立；
若a+b=0，例如a=1,b=-1，满足条件，但a=b=0不成立，即必要性不成立；
综上所述：“a=b=0”是“a+b=0”的充分不必要条件.
故选：A.
【典题3】设x∈R，则“x2-5x0不成立，即必要性不成立，
故“a>b>0”是“a2>b2”的是充分不必要条件.
故选：B
4.“x=1”是“x4-5x2+4=0”的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解x4-5x2+4=0方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可.
【详解】由x4-5x2+4=0，得x2-4x2-1=0，解得x=±2或x=±1,
所以x=1时x4-5x2+4=0，具有充分性；
而x4-5x2+4=0时，x=±2或x=±1，不具有必要性.
故选：B
5.有限集合M中元素的个数记作cardM，若A,B都为有限集合,则“A∩B=A”是“cardA≤cardB”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合新定义以及集合交集、子集的含义即可判断.
【详解】因为A∩B=A，所以A⊆B，又因为A,B都为有限集合，
所以cardA≤cardB，则正向可以推出，
若cardA≤cardB，举例A=1,2，B=3,4,5，但A∩B≠A，则反向无法推出，
则“A∩B=A”是“cardA≤cardB”的充分不必要条件.
故选：A.
6.“(x+y)20>x”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由充分必要条件的定义判断.
【详解】若(x+y)2x，或x>0>y，
所以“(x+y)20>x”的充分条件；
若y>0>x，则xyx”的必要不充分条件.
故选：B
7.(23-24高一上·广东东莞·期中)设x∈R，则“x