第07讲 基本不等式 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

这是一份第07讲 基本不等式 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版），共9页。试卷主要包含了理解基本不等式的证明过程；等内容，欢迎下载使用。

1.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；
2.理解基本不等式的证明过程；
3.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最值，证明简单的不等式；
4.会应用基本不等式模型解决一些简单实际问题.
1 基本不等式
若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.
② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2 基本不等式及其变形
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)
(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① a+b≥2ab，积定求和；
② ab≤a+b22，和定求积：
③ a2+b2≥a+b22 (联系了a+b与平方和a2+b2)
④ ab≤a2+b22 (联系了ab与平方和a2+b2)
【题型一】对基本不等式的证明
【典题1】 代数法证明：若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).

变式练习
1. 几何法证明：若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
【题型二】对基本不等式的理解
相关知识点讲解
若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.
② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
【典题1】 (多选)下列各式能用基本不等式直接求得最大(小)值的是( )
A．x+12xB．x2+1+1x2+1C．x+1xD．x1-x
【典题2】下列不等式中等号可以取到的是( )
A．x2+5+1x2+5≥2B．x2+2+1x2+2≥2
C．x2+1x2≥2D．|x|+3+1|x|+3≥2

变式练习
1.下列条件中能使ba+ab≥2成立的条件是
①ab>0； ②ab0，b>0 ④a0,3x+2y=1，则8x+4y的最小值为( )
A．2B．22C．32D．42
方法2 凑项法
【典题1】 已知实数x，y满足x>3，且xy+2x-3y=12，则x+y的最小值为( )
A．1+26B．8C．62D．1+23
变式练习
1. 已知x>-1，则x+2x+1的最小值为( )
A．22B．2C．22-1D．22+1
2.函数y=x2+1x2-5x2>5的最小值为( )
A．2B．5C．6D．7
3.已知00，2x+y=xy，则2x+y的最小值为( )
A．8B．4C．82D．42
5.已知x>1，则2x+2x-1的最小值是 .
方法3 巧“1”法
【典题1】 若x>0，y>0且x+2y=1，则1x+xy的最小值是( )
A．1+22B．32+2C．2D．32
【典题2】若00，b>0，2a+b-3=0，则12a+1+1b的最小值为( )
A．2B．1C．32D．34
【题型四】利用基本不等式处理恒成立问题
【典题1】 若正实数x、y满足(x-1)(y-4)=4，且x+y4≥a2-3a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a|-1m恒成立．则实数m的取值范围是( )
A．-∞,4+62B．6+42,+∞
C．-∞,7+43D．8+43,+∞
3.若不等式a2+b22+3≥xa+b对任意正数a,b恒成立，则实数x的最大值为( )
A．2B．2C．3D．1
4.(2023·广东湛江·二模)当x，y∈0,+∞时，4x4+17x2y+4y2x4+2x2y+y25若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
【B组---提高题】
1.(2024·江西·一模)已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y2y+2恒成立，则实数a的取值范围是 ．