第06讲 等式性质与不等式性质 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第06讲 等式性质与不等式性质 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共21页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；’
2.掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。
1等式的性质
(1)如果a=b，那么b=a；
(2)如果a=b，b=c，那么a=c；
(3)如果a=b，那么a±c=b±c；
(4)如果a=b，那么ac=bc；
(5)如果a=b，c≠0，那么ac=bc.
2 不等式的性质
(1) 传递性：a>b , b>c⇒ a>c；
(2) 加法法则：a>b ⇒ a+c>b+c , a>b , c>d ⇒ a+c>b+d；
(3) 乘法法则：a>b , c>0 ⇒ ac>bc , a>b , c0 ⇒1ab>0⇒ an>bn (n∈ N* 且 n>1).
3 比较两个实数(或代数式)大小
(1) 作差法( a-b与0的比较)
a-b>0→ a>b ; a-b=0→ a=b ; a-b0→ a>b ; ab>1 , bc.
【题型一】利用不等式的性质判断命题的真假
相关知识点讲解
不等式的性质
(1) 传递性：a>b , b>c⇒ a>c；
(2) 加法法则：a>b ⇒ a+c>b+c , a>b , c>d ⇒ a+c>b+d；
(3) 乘法法则：a>b , c>0 ⇒ ac>bc , a>b , c0 ⇒1ab>0⇒ an>bn (n∈ N* 且 n>1).
解释 加法法则a>b , c>d ⇒ a+c>b+d中，但不能得到a-c>b-d；
倒数法则a>b , ab>0 ⇒1ab不能得到1a0的限制；
乘方法则：a>b>0⇒ an>bn (n∈ N* 且 n>1)中，要注意a,b均为正数的限制.
【典题1】 (多选)若a>b>0，c>d>0，则( )
A．a-c>b-d B．aa+c>bb+d
C．da+d0，c>d>0，则a+c>b+d，则有aa+c>bb+d，故B正确；
对C：由a>b>0，c>d>0，则ac>bd，且da+dbd，即C正确；
对D：由a>b>0，c>d>0，则b+db+c=b+c+d-cb+c=1+d-cb+c，
a+da+c=a+c+d-ca+c=1+d-ca+c，即b+db+cb，故D正确.
故选：BCD.
【典题2】(2024·北京丰台·二模)若a,b∈R，且a>b，则( )
A．1a2+1ab2
C．a2>ab>b2D．a>a+b2>b
【答案】D
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由于a>b，取a=1,b=-1，1a2+1=1b2+1=12，a2b=ab2=1，无法得到1a2+1ab2，故AB错误，
取a=0,b=-2,则a2=0,ab=0,b2=4，无法得到a2>ab>b2，C错误，
由于a>b，则2a>b+a>2b，所以a>a+b2>b，
故选：D

变式练习
1.下列命题为真命题的是( )
A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a>b,c>d，则a-d>b-c；
C．若a-c，因为a>b，所以a-d>b-c，故B正确；
对于C：当a=-2，b=-1时，则a2=4，ab=2，b2=1，
则a2>ab>b2，故C错误；
对于D：当a=1,b=-1时，1a-b=12，1a=1，则1a-bb,c>d，则ac>bdB．若a>b，则a2>b2
C．若a-bc2>0，则a>bD．若1b>1a，则a>b
【答案】BC
【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C.
【详解】对于A，取a=0>b=-1,c=1>d=0，但ac=0,bd=0，故A错误；
对于B，若a>b，对不等式两边同时平方则a2>b2，故B正确；
对于C，若a-bc2>0，则a-b>0，所以a>b，故C正确；
对于D，若1b>1a，取b=1,a=-2，则ab，cc，a-b>0,b-c>0，a-b-b-c=a+c-2b=-3b，
当b>0时，00，则1a-bb>c，
所以-a+12c2=0不成立，故-a+12c2b ; a-b=0→ a=b ; a-b0→ a>b ; ab>1 , bc.
【典题1】 设0aB．c>a>b
C．b>c>aD．a>c>b
【答案】B
【分析】作差即可判断.
【详解】0b.
故选：B.
【典题2】试比较下列组式子的大小：
(1)x+1-x与x-x-1，其中x>1；
(2)M=a1+a+b1+b与N=b1+a+a1+b，其中a>0，b>0；
(3)a2-b2a2+b2与a-ba+b，a>b>0．
【答案】(1)x+1-xa-ba+b.
【分析】(1)通过比较1x+1+x与1x+x-1的大小来确定x+1-x与x-x-1的大小；
(2)通过作差法来比较M,N的大小；
(3) 通过作差法或作商法比较a2-b2a2+b2与a-ba+b的大小.
【详解】(1)解：x+1-x=1x+1+x，x-x-1=1x+x-1，
因为x+1+x>x+x-1>0，
所以1x+1+x0，所以1+a1+b>0，-a-b2≤0，
所以M-N≤0，
即M≤N；
(3)方法一(作差法)a2-b2a2+b2-a-ba+b=a+ba2-b2-a2+b2a-ba2+b2a+b
=a-ba+b2-a2+b2a2+b2a+b=2aba-ba2+b2a+b．
因为a>b>0，所以a+b>0，a-b>0，2ab>0，a2+b2>0．
所以2aba-ba2+b2a+b>0，
所以a2-b2a2+b2>a-ba+b．
方法二(作商法) 因为a>b>0，所以a2-b2a2+b2>0，a-ba+b>0，2ab>0，
所以a2-b2a2+b2a-ba+b=a+b2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b2>1，
所以a2-b2a2+b2>a-ba+b．
变式练习
1.设a，b，m都是正数，且ayB．x=y
C．x0,b>0,m>0，且a0，
可得x-y=a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，即x>y，
故选：A.
2.设a,b∈-∞,0，则“a>b”是“a-1a>b-1b”成立的( ).
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先通过解分式不等式化简条件“a-1a>b-1b”，再利用充要条件的定义判断出“a>b”是“a-1a>b-1b”成立的什么条件.
【详解】由a-1a>b-1b⇒a-b+1b-1a>0⇒(a-b)1+1ab>0，因为a,b∈-∞,0，所以a>b⇔a-1a>b-1b.
故选:C.
3.已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c-1，则x，y之间的大小关系是( )
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【答案】C
【分析】应用作商法比较xy,1的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又xy=c+1-cc-c-1=c+c-1c+1+cb，则ac2+1>bc2+1B．若a>b>c>0，则bab>0，则a+1a>b+1bD．若a>b>0，则a+1b>b+1a
【答案】AD
【分析】A项由不等式同乘正数性质可得；B项作差比较法或特值验证法可得；C项，特值验证；D项，由同向不等式可加性可得.
【详解】选项A，若a>b，由c2+1>0，
则有a(c2+1)>b(c2+1)，故A正确；
选项B，法一：当a=3,b=2,c=1时，
ba=23,b-ca-c=12,ba>b-ca-c，故B错误；
法二：由a>b>c>0，则a-c>0，a-b>0
由ba-b-ca-c=b(a-c)-(b-c)aa(a-c)=-bc+caa(a-c)=c(a-b)a(a-c)>0，
则ba>b-ca-c，故B错误；
选项C，当a=1,b=12时，
a+1a=2,b+1b=52，a+1ab>0，得1b>1a，
则a+1b>b+1a，故D正确.
故选：AD.
5. (1)若x≥0，试比较5x2-1和3x2+3x+1的大小；
(2)若a>b>0，试比较aabb和(ab)a+b2的大小；
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)两式作差整理，分别讨论x>2，x=2，0≤x2时，5x2-1>3x2+3x+1；
当x=2时，5x2-1=3x2+3x+1；
当0≤x0，∴ab>1，且a-b>0，
∴aabb(ab)a+b2=aba-b2>1，因此aabb>(ab)a+b2.

【题型三】求代数式的取值范围
【典题1】 (多选)已知-1