小学六年级小升初数学专题复习（6）方程与等式（典例精析+拔高训练）

这是一份小学六年级小升初数学专题复习（6）方程与等式（典例精析+拔高训练），共17页。试卷主要包含了等式的意义，方程与等式的关系，方程的解和解方程等内容，欢迎下载使用。
¤ 知识归纳总结
一、等式的意义
知识归纳
1. 含有等号的式子叫做等式．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．
2. 等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．若a=b，那么a+c=b+c
性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．若a=b，那么有a•c=b•c，或a÷c=b÷c （c≠0）
性质3：等式具有传递性．若a1=a2，a2=a3，a3=a4，…am=an，那么a1=a2=a3=a4=…=an
等式的意义：
等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，去分母等．
运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义．
常考题型
例1：500+△=600+□，比较△和□大小，（ ）正确．
A、△＞□ B、△=□ C、△＜□
分析：依据等式的意义，即表示左右两边相等的式子，叫做等式，于是即可进行正确选择．
解：因为500+△=600+□，
且500＜600，
所以△＞□；
故选：A．
点评：此题主要考查等式的意义．
例2：等式两边同时乘或除以一个相同的数，所得的结果仍是一个等式． ．
分析：根据等式的性质，可知：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立．
解：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；需要限制相同的这个数，必须得0除外，因为0做除数无意义；
故答案为：×．
点评：此题考查等式的性质，即“方程的两边同加上或减去一个相同的数，同乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立”．
二、方程与等式的关系
知识归纳
1．方程：含有未知数的等式，即：方程中必须含有未知；方程式是等式，但等式不一定是方程．
2．方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”．
3．方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数．
常考题型
例：方程一定是等式，但等式不一定是方程． ．
分析：紧扣方程的定义，由此可以解决问题．
解：根据方程的定义可以知道，方程是含有未知数的等式，但是等式不一定都含有未知数，所以这个说法是正确的．
故答案为：√．
点评：此题考查了方程与等式的关系，应紧扣方程的定义，从而解决问题．
三、方程的解和解方程
知识归纳
1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
2. 求方程的解的过程，叫做解方程．
常考题型
例1：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做（ ）
A、方程 B、解方程 C、方程的解 D、方程的得数
分析：根据方程的解的意义进行选择即可．
解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
故选：C．
点评：此题主要考查方程的解的意义．
例2：x=4是方程（ ）的解．
A、8x÷2=16 B、20x-4=16 C、5x-0.05×40=0 D、5x-2x=18
分析：使方程的左右两边相等的未知数的值，是这个方程的解，把x=4代入下列方程中，看左右两边是否相等即可选择．
解：A、把x=4代入方程：左边=8×4÷2=16，右边=16；左边=右边，所以x=4是这个方程的解；
B、把x=4代入方程：左边=20×4-4=76，右边=16；左边≠右边，所以x=4不是这个方程的解；
C、把x=4代入方程：左边=5×4-0.05×40=20-2=18，右边=0；左边≠右边，所以x=4不是这个方程的解；
D、把x=4代入方程：左边=5×4-2×4=12，右边=18；左边≠右边，所以x=4不是这个方程的解；
故选：A．
点评：将x的值代入方程中进行检验，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．
¤ 拔高训练备考
一．选择题（共6小题）
1．如果甲×1.1＝乙÷1.1（甲、乙≠0）那么（ ）
A．甲＝乙B．甲＞乙C．甲＜乙D．无法确定
2．x+1.8＝y+2.5，那么x（ ）y．
A．＞B．＜C．＝D．无法确定
3．以下说法正确的是（ ）
A．等式不一定是方程
B．等式的两边分别同时加、减、乘、除以同一个数，结果仍然是等式
C．方程3x＝1.8与x+1.56＝1.62中的X的值相同
4．根据如图，等量关系不成立的是（ ）
A．29+2x﹣x＝48B．29+x+2x＝48C．48﹣2x＝29﹣xD．48+x＝29+2x
5．165比x的6倍多87，列方程不正确的是（ ）
A．165﹣6x＝87B．6x+87＝165C．6x﹣87＝165D．6x＝165﹣87
6．方程3x﹣0.6＝9的解是（ ）
A．x＝2.8B．x＝3.2C．x＝3.6D．x＝3.75
二．填空题（共6小题）
7．a+b＝27，a+c＝29，b+c＝32，那么a+b+c＝ 。
8．如果mx﹣8＝22的解是x＝6，那么5m+8＝ 。
9．等式两边同时乘以或除以，所得结果仍然是等式．这是 的性质．
10．用方程表示下面的数量关系．
（1）一共11元．
方程：
（2）
方程：
（3）
方程：
（4）
方程： ．
11．把数量关系式补充完整．
（1）男生人数比女生少．
的人数×＝ 的人数
（2）去年产量是今年的．
的产量×＝ 的产量．
12．华氏温度＝摄氏温度×1.8+32，当一个人的体温为华氏温度97.7度时，其体温相当于摄氏温度 度．
三．判断题（共5小题）
13．36﹣x＝2.5，方程的两边同时加x，方程的解不变．
14．a、b、c是非0的自然数，a×＝b÷＝c×65%，那么b最大． ．
15．等式不一定是方程，方程一定是等式． ．
16．X＝2.8是方程5X+6＝20的解．
17．在3x+5＝11中，方程左边减去5，右边加上5，等式依然成立。
四．计算题（共1小题）
18．解方程。
五．操作题（共2小题）
19．下面的式子中，哪些是等式？哪些是方程？连一连。
20．想一想画一画．在左侧的什么位置放几个棋子才能保持竹竿平衡？共有几种方案呢？把你的方案画出来．
六．应用题（共5小题）
21．三个相邻的整数的和是270，这三个整数分别是多少？
22．学校组织五、六年级同学听抗疫英雄巡回演讲会，一共有972人。报告厅每排可以坐18人，五年级坐了26排，六年级坐了多少排？（列方程解答）
23．为防止疫情扩散，妈妈买来活性炭口罩和一次性口罩各20个。一共花了20.6元。（列方程解答）
24．甜甜心里想了一个数，用这个数加上14，再减去25，得26，甜甜想的这个数是多少？列方程解答。
25．甲、乙两车分别从东西两镇同时开车，相向而行。相遇时甲车行了全程的多28千米，乙车行了52千米。东西两镇相距多少千米？（用方程解）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【分析】因为甲×1.1＝乙÷1.1，即甲×1.1＝乙×，而1.1＞，所以甲＜乙；由此做出选择．
【解答】解：因为甲×1.1＝乙÷1.1，
即甲×1.1＝乙×，
而1.1＞，所以甲＜乙；
故选：C．
【点评】本题主要是灵活利用等式的意义解决问题．
2．【分析】在等式x+1.8＝y+2.5的左右两边同时减去1.8，再同时减去y，即可得解．
【解答】解：x+1.8＝y+2.5
x+1.8﹣1.8＝y+2.5﹣1.8
x﹣y＝y+0.7﹣y
x﹣y＝0.7
所以x＞y．
故选：A。
【点评】解决此题也可以根据两个算式的“和”相等，一个加数大，另一个加数反而小，一个加数小，另一个加数反而大得解．
3．【分析】方程都是等式，但是等式不一定是方程，因为必须是含有未知数的等式才是方程；等式的两边分别同时加、减、乘、除以同一个数（0除外），所得结果仍然是等式；根据等式的性质可求得3x＝1.8与x+1.56＝1.62的解再比较即可；据此逐项分析判断即可得解．
【解答】解：A、方程都是等式，但是等式不一定是方程，所以原题说法正确；
B、等式的两边除以同一个数（0除外），所得结果仍然是等式，所以原题说法错误；
C、方程3x＝1.8的解是x＝0.6，
x+1.56＝1.62的解是x＝0.06，
X的值不相同，所以原题说法错误；
故选：A．
【点评】此题考查了对方程与等式的关系、等式的性质及解方程的方法的掌握．
4．【分析】由图可列出方程等量关系式，x+48＝29+2x，再把等量关系式进行移项变换。
【解答】解：由图列出方程等量关系式，x+48＝29+2x，
选项A：29+2x﹣x＝48，把左边的x移到右边，就变为29+2x＝x+48；
选项B：29+x+2x＝48，把左边的x移到右边，就变为29+2x＝48﹣x，与题意不符；
选项C：48﹣2x＝29﹣x，把左边的2x移到右边，右边x移到左边，就变为29+2x＝x+48；
选项D：48+x＝29+2x，与等量关系式相等。
故选：B。
【点评】本题的关键是先求出等量关系方程式，再把它移项变换进行对比。
5．【分析】根据165比x的6倍多87，可以列式为165﹣6x＝87，6x+87＝165，6x＝165﹣87即可解答。
【解答】解：165比x的6倍多87，可以列式为165﹣6x＝87，6x+87＝165，6x＝165﹣87。
故选：C。
【点评】本题主要考查165比x的6倍多87的正确列式。
6．【分析】利用等式的性质，将方程3x﹣0.6＝9求解，在选项中找出正确答案即可。
【解答】解：3x﹣0.6＝9
3x﹣0.6+0.6＝9+0.6
3x＝9.6
3x÷3＝9.6÷3
x＝3.2
故选：B。
【点评】本题考查利用等式的性质解方程。注意计算的准确性。
二．填空题（共6小题）
7．【分析】a+b＝27，a+c＝29，b+c＝32，把这三个算式加起来就是a+b+c的2倍，即用27、32、29的和再除以2即可求出a+b+c的和。
【解答】解：a+b＝27，a+c＝29，b+c＝32把这三个算式相加可得：
a+b+b+c+a+c＝27+32+29
（a+b+c）×2＝88
那么a+b+c＝88÷2＝44
故答案为：44。
【点评】解决本题注意观察算式的特点，找出a+b+c和的2倍，从而解决问题。
8．【分析】mx﹣8＝22的解是x＝6，可得方程6m﹣8＝22；
根据等式的基本性质“等式的两边同时加、减去、乘、除以（除数不为0）相同的数，左右两边仍然相等”，求出方程的解；
把m的值代入到5m+8中，计算出5m+8的值。
【解答】解：6m﹣8＝22
6m﹣8+8＝22+8
6m÷6＝30÷6
m＝5
5m+8＝5×5+8＝33
故答案为：33。
【点评】本题关键是根据等式的基本性质求方程的解。
9．【分析】根据等式的性质，可得等式的两边同时乘或除以一个相同的数（除数不能为0），所得的结果仍然是等式．据此解答即可．
【解答】解：等式的两边同时乘或除以一个相同的数（除数不能为0），所得的结果仍然是等式．
这是等式的性质．
故答案为：等式．
【点评】此题主要考查了等式的性质，以及解方程的依据，要熟练掌握．
10．【分析】（1）由题意可知：2x+7＝11，据此列式即可；
（2）根据：小强的体重+小强和爸爸相差的体重＝爸爸的体重，据此列式即可；
（3）由图可得：2b+15＝100，据此列式即可；
（4）设这个数为x，则由题意可得：4x+6﹣3＝78，由此列出方程即可．
【解答】答：（1）2x+7＝11；
（2）x+21＝175；
（3）2b+15＝100；
（4）设这个数是x，则4x+6﹣3＝78；
故答案为：2x+7＝11，x+21＝175，2b+15＝100，4x+6﹣3＝78．
【点评】解决关键是找准数量之间的相等关系，进而列方程即可；要注意：在列方程时，未知数一般不单独存在于方程的一边．
11．【分析】（1）把女生人数看作单位“1”，它的对应的具体的数量是男生比女生少的人数；等量关系式为：男生比女生少的人数＝女生的人数×；
（2）把今年的产量看作单位“1”，它的对应的具体的数量是去年的产量；等量关系式为：今年的产量×＝去年的产量．
【解答】解：（1）把女生人数看作单位“1”，
女生人数×＝男生比女生的人数；
（2）把今年的产量看作单位“1”，
今年的产量×＝去年的产量．
故答案为：女生，男生比女生少，今年，去年．
【点评】解决此题关键是找准单位“1”的量，进而确定分率对应的具体的数量，从而找出等量关系式即可．
12．【分析】根据华氏温度＝摄氏温度×1.8+32，可得摄氏温度＝（华氏温度﹣32）÷1.8，进而代数计算得解．
【解答】解：当华氏温度是97.7度时，
摄氏温度＝（97.7﹣32）÷1.8
＝65.7÷1.8
＝36.5（度）
答：其体温相当于摄氏温度36.5度．
故答案为：36.5．
【点评】解答此题根据给出的等式，直接代数计算得解．
三．判断题（共5小题）
13．【分析】依据等式的性质，方程两边同时加上x，方程的解不变．
【解答】解：由分析知：解方程36﹣x＝2.5时，方程的两边可以同时加x，方程的解不变，说法正确；
故答案为：√．
【点评】依据等式的性质解方程，是本题考查知识点，解方程时注意对齐等号．
14．【分析】把a×＝b÷＝c×65%改写成a×＝b×＝c×，再逆用比例性质，求出a、b、c三个数的连比，进而求得谁最大．
【解答】解：a×＝b÷＝c×65%，
a×＝b×＝c×，
因为a×＝b×，
所以a：b＝：＝25：12＝325：156；
b×＝c×，
所以b：c＝＝13：25＝156：300；
所以a：b：c＝325：156：300，那么a最大；
故判断为：错误．
【点评】解决此题关键是逆用比例的性质，求出a、b、c三个数的连比，进而得解．
15．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以等式包含方程，方程只是等式的一部分．
【解答】解：等式不一定是方程，方程一定是等式的说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程．
16．【分析】根据等式的性质，两边同时减去6，再同时除以5，即可求出方程5X+6＝20的解即可．
【解答】解：5X+6＝20
5X+6﹣6＝20﹣6
5X＝14
5X÷5＝14÷5
X＝2.8
X＝2.8是方程5X+6＝20的解，
所以题中说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘以或同时除以一个数（0除外），两边仍相等．
17．【分析】根据等式的性质，进行解答即可。
【解答】解：在3x+5＝11中，方程左边减去5，右边也要减去5，等式依然成立。原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查解方程的方法，利用等式的性质求方程的解。
四．计算题（共1小题）
18．【分析】根据等式的性质解方程。
求方程40%x+＝的解，方程两边同时减去，再同时除以40%，即可求出方程的解；
求方程x÷4＝的解，方程两边同时乘4，再同时除以，即可求出方程的解；
求方程3.6×﹣2x＝0.6的解，先计算（3.6×），方程两边同时加上2x，交换方程左右两边的位置，方程两边同时减去0.6，再同时除以2，即可求出方程的解。
【解答】解：40%x+＝
40%x+﹣＝﹣
40%x＝
40%x÷40%＝÷40%
x＝
x÷4＝
x÷4×4＝×4
x＝
x÷＝÷
x＝
3.6×﹣2x＝0.6
0.9﹣2x＝0.6
0.9﹣2x+2x＝0.6+2x
0.6+2x＝0.9
0.6+2x﹣0.6＝0.9﹣0.6
2x÷2＝0.3÷2
x＝0.15
【点评】本题考查根据等式的性质求方程的解。注意计算的准确性。
五．操作题（共2小题）
19．【分析】等式是含有等号的式子。方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。
【解答】解：连线如下：
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
20．【分析】根据杠杆平衡原理，两边放的棋子的个数和离0点的距离相等，竹竿就平衡．据此作图即可．
（1）设竹竿右侧放x枚棋子，依据竹竿左侧放棋子的数量和位置可列算式3×2，假设棋子放在3的位置，依据平衡原理可列方程：2×3＝3x，依据等式的性质即可解答，
（2）设竹竿右侧放x枚棋子，依据竹竿左侧放棋子的数量和位置可列算式4×4，假设棋子放在4的位置，依据平衡原理可列方程：4×4＝4x，依据等式的性质即可解答，
（3）设竹竿右侧放x枚棋子，依据竹竿左侧放棋子的数量和位置可列算式4×5，假设棋子放在4的位置，依据平衡原理可列方程：4×5＝4x，依据等式的性质即可解答．
【解答】解：（1）设竹竿右侧放x枚棋子，假设棋子放在3的位置，依据平衡原理可列方程：
2×3＝3x
3x＝6
x＝2
答：2个棋子放在3的位置．
（2）设竹竿右侧放x枚棋子，假设棋子放在4的位置，
4×4＝4x
4x＝16
x＝4
答：4个棋子放在4的位置．
（3）设竹竿右侧放x枚棋子，假设棋子放在4的位置，
4×5＝4x
4x＝20
x＝5
答：5个棋子放在4的位置．
【点评】本题属于开放题，只要设定棋子放的位置，再根据天平秤平衡原理列方程，依据等式的性质即可解答．
六．应用题（共5小题）
21．【分析】首先根据题意，设三个相邻的整数中间的一个是x，则较小的一个是x﹣1，较大的一个是x+1，然后根据：三个相邻的整数的和是270，列出方程，求出x的值是多少，进而求出其它的两个整数分别是多少即可．
【解答】解：设三个相邻的整数中间的一个是x，则较小的一个是x﹣1，较大的一个是x+1，
（x﹣1）+x+（x+1）＝270
3x＝270
3x÷3＝270÷3
x＝90
90﹣1＝89
90+1＝91
答：这三个整数分别是89、90、91．
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，以及整数的特征和应用，要熟练掌握，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
22．【分析】根据题意，设六年级坐了x排；根据题意可得：（五年级坐的排数+六年级坐的排数）×每排坐的人数＝总人数，据此列出方程进行解答。
【解答】解：设六年级坐了x排，根据题意可得：
（26+x）×18＝972
（26+x）×18÷18＝972÷18
26+x＝54
26+x﹣26＝54﹣26
x＝28
答：六年级坐了28排。
【点评】列方程解决实际问题，关健是根据题意设出未知数，找出等量关系，然后再列出方程进行解答。
23．【分析】设每一个一次性口罩x元，根据等量关系：“20个活性炭口罩花的钱数+20个一次性口罩花的钱数＝20.6”列方程解答即可。
【解答】解：20×0.65+20x＝20.6
20×0.65+20x﹣13＝20.6﹣13
20x＝7.6
20x÷20＝7.6÷20
x＝0.38
答：每一个一次性口罩0.38元。
【点评】明确题中的等量关系：“20个活性炭口罩花的钱数+20个一次性口罩花的钱数＝20.6”是解题的关键。
24．【分析】设这个数为x，按题意列式：x+14﹣25＝26；根据等式的基本性质，等式的两边同时加、减去、乘、除以（除数不为0）相同的数，左右两边仍然相等；两边同时加上25，再两边同时减去14。
【解答】解：设这个数为x，
x+14﹣25＝26
x+14﹣25+25＝26+25
x+14﹣14＝51﹣14
x＝37
答：这个数是37。
【点评】根据等式的基本性质求方程的解是解方程的常用方法。
25．【分析】设东西两镇相距x千米，甲车行驶的路程加上乙车行驶的路程等于东西两镇的距离，据此列方程解答即可。
【解答】解：设东西两镇相距x千米。
x+28+52＝x
x+80﹣x＝x﹣x
x＝80
×x＝80×
x＝120
答：东西两镇相距120千米。
【点评】本题考查列方程解决实际问题，明确等量关系：甲车行驶的路程加上乙车行驶的路程等于东西两镇的距离是解题的关键。