人教B版高中数学必修4 第11章《立体几何初步》单元测试卷（含答案）

这是一份人教B版高中数学必修4 第11章《立体几何初步》单元测试卷（含答案），共10页。
《立体几何初步》单元测试 一、选择题 1.给出下列几个命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图,△A'B'O'是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知A'B'//y'轴,O'B'=4,且△ABO的面积为16,过A'作A'C'⊥x'轴于C',则A'C'的长为( ) A.2 B.4 C.2 D. 3.已知E,F,G,H是空间四点,命题甲:E,F,G,H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交,则甲是乙成立的( ) A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( ) A.不存在 B.只有1个 C.恰有4个 D.有无数多个 5.(全国卷I)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A. B. C. D. 6.下列说法正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 7.a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若a⊥b,a⊥α,则b//α;②若a//α,α⊥β,则a⊥β; ③a⊥β,α⊥β,则a//α;④若a⊥β,a⊂α,则α⊥β.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 9.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动,另一个端点N在正方体的底面ABCD内运动,则MN的中点P的轨迹的面积是( ) A.4π B.π C.2π D. 10.(广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,有下列四个命题: ①AF⊥GC;②BD与GC是异面直线且夹角为60°; ③BD//MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.如图,正四棱锥P-ABCD的底面边长为2cm,侧面积为8cm2,则它的体积为______cm3. 12.点P是矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,AB=3,AD=4,PA=5,则二面角P-BD-A的正切值为______. 13.如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4m,则圆锥底面圆的半径等于_________m. 三、解答题 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)证明:D1A//平面C1BD; (2)求异面直线D1A与BD所成的角. 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB//DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面PAC; (2)求证:平面PAB⊥平面PAC.  答案解析 1.答案:B 解析:本题考查了圆柱、正棱柱、棱台的结构特征,熟知不同几何体的定义和结构特征,是解决本题的关键. ①错误,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②正确;③错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.故正确命题的个数是1. 2.答案:C 解析:本题考查了斜二测画法,解决本题的关键是理解和掌握平面图形斜二测画法的特点.因为A'B'//y'轴,所以△ABO中,AB⊥OB.又因为△ABO的面积为16,所以AB·OB=16.因为OB=O'B'=4,所以AB=8,所以A'B'=4.因为A'C'⊥O'B'于C',所以A'C'=4sin45°=2. 3.答案:A 解析:本题考查空间中四点共面问题,关键是分析空间中线与线位置关系从而判断点、线、面位置关系.E,F,G,H四点不共面时,EF,GH一定不相交,否则,由于两条相交直线共面,则E,F,G,H四点共面,与已知矛盾,故甲可以推出乙;反之,EF,GH不相交,含有EF,GH平行和异面两种情况,当EF,GH平行时,E,F,G,H四点共面,故乙不能推出甲.即甲是乙的充分不必要条件. 4.答案:D 解析:本题考查了空间中的平行关系、截面问题,锻炼了学生对知识点之间相互关联的融会贯通. 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m,n,直线m,n确定了一个平面β,作与β平行的平面α,与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形,而这样的平面α有无数多个. 5.答案:C 解析:本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算. 设CD=a,PE=b,利用PO2=CD·PE得到关于a,b的方程,解方程即可得到答案. 如图,设CD=a,PE=b,则PO==, 由题意PO2=ab,即b2-=ab,化简得4()2-2·-1=0,解得=(负值舍去). 6.答案:C 解析:本题是一道考查面面平行的判定试题,考查了学生对空间中面面平行的定义、判定定理的熟练掌握情况.如果两条相交直线都在某一个平面内,那么这两条直线与这个平面所成的角为0°,则A错误;若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面有可能相交,则B错误;若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行,C正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面有可能相交. 7.答案:B 解析:本题考查了空间中线面、面面垂直的判定与性质,解决本题的关键是要全面理解和掌握线面、面面垂直的判定定理、性质定理和结论,解决本题可举出反例证明结论不成立. 对于①,有b⊂α的可能,所以①错误;对于②,有a//β的情况,所以②错误;对于③,有a⊂α的情况,所以③错误;对于④,由面面垂直的判定定理可知④正确. 8.答案:D 解析:本题考查了求解异面直线所成角,考查了线面垂直的性质与判定的综合应用能力. 由长方体的性质可得DC⊥MN,又∠CMN=90°,所以MN⊥MC,由DC∩MC=C,所以MN⊥平面DCM,因为DM⊂平面DCM,所以MN⊥DM,因为MN//AD1,所以AD1⊥DM,所以异面直线AD1和DM所成角为90°. 9.答案:D 解析:本题考查了立体几何中动点轨迹问题,关键是分析运动变化中不变的关系,并将立体问题转化为平面问题解决.连接DN(图略),则△MDN为直角三角形,在Rt△MDN中,MN=2,P为MN的中点,连接DP,则DP=1,所以点P在以D为球心,半径R=1的球面上,又因为点P只能落在正方体上或其内部,所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的,故所求面积S=×4πR2=. 10.答案:B 解析:本题是一道考查空间线面位置关系的综合题,考查了空间中线线、线面位置关系. 将平面展开图还原成正方体(如图所示). 对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确; 对于②,BD与GC显然是异面直线.如图,连接EB,ED,则EB//GC,所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边△BDE中,∠EBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确; 对于③,BD与MN为异面垂直,故③错误; 对于④,由题意得,GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误.综上可得①②正确. 11.答案:4 解析:本题考查了四棱锥的侧面积、体积计算,关键是将问题转化到平面三角形中进行计算. 记正四棱锥P-ABCD的底面中心为点O,棱AB的中点为H,连接PO,HO,PH,则PO⊥平面ABCD,因为正四棱锥的侧面积为8cm2, 所以8=4××2×PH,解得PH=2,在Rt△PHO中,HO=,所以PO=1,所以VP-ABCD=·S正方形ABCD⋅PO=4cm3. 12.答案: 解析:本题考查了二面角的平面角的求解,求解关于二面角的平面角的问题时,关键在于先作出平面角,再证明,最后再求解计算,即“一找(作),二证明,三计算”. 过A作AE⊥BD于E,连接PE,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,又PA∩AE=A,∴BD⊥平面PAE,∴BD⊥PE,∴∠PEA为二面角P-BD-A的平面角.在Rt△ABD中,AE==,又AP=5,故tan∠PEA==. 13.答案: 解析:本题考查了平面展开图中的最短路径问题,求解立体图形最短路径可以通过展开成为平面内的问题解决,圆锥的侧面展开图为扇形. 把圆锥侧面沿过点P的母线展开,其图形为如图所示的扇形,由题意OP=4,PP'=4,则cos∠POP'==-,所以∠POP'=.设底面圆的半径为r,则2πr=×4,所以r=. 14.答案:见解析 解析:(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=C1D1,AB//C1D1,所以四边形D1ABC1为平行四边形,所以D1A//BC1,又因为BC1⊂平面C1BD,D1A⊄平面C1BD,所以D1A//平面C1BD. (2)解:由(1)可知AD1//BC1,所以异面直线D1A与BD所成的角即为BC1与BD所成的角,即∠DBC1或∠DBC1的补角,因为DC1,DB,BC1均为正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线,所以DC1=DB=BC1,所以△DBC1为等边三角形,∠DBC1=60°为锐角,所以异面直线D1A与BD所成的角为60°. 点拨:本题考查了线面平行的判定定理,两条异面直线所成的角的计算,考查了学生对空间线面位置关系的应用能力. 15.答案:见解析 解析:(1)∵PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,∴PC⊥DC,∵DC⊥AC,PC∩AC=C, ∴DC⊥平面PAC. (2)∵AB//DC,DC⊥平面PAC,∴AB⊥平面PAC,∵AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAC. 点拨:本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理,面面垂直的判定定理及空间中平行与垂直关系的相互转化.