2024-2025学年山东省青岛市莱西市八年级下学期7月期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年山东省青岛市莱西市八年级下学期7月期末数学检测试卷，共33页。
初三数学试题
（考试时间：120 分钟 满分：120 分）说明：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 24 题．第Ⅰ卷为选择题，共 8 小题，24 分；
第Ⅱ卷为填空题和解答题，共 16 小题，96 分．
2 ．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共 24 分）一、选择题（本题满分 24 分，共 8 小题，每小题 3 分）
1 ．实数 ·、 的倒数是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列运算结果正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
3 ．下列方程有实数根的是( )
A ． B ．
C ．x2 - x +1 = 0 D ．
4 ．某种品牌运动服经过两次降价，每件的零售价由 400 元降为 288 元，已知第 二次降价的百分率是第一次的 2 倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百 分率为 x，下面所列的方程中正确的是( )
A ．400(1- x)2 = 288 B ．400(1- 3x) = 288
C ．400(1- 3x)2 = 288 D ．400(1- x)(1- 2x) = 288
5 ．已知下列图中的虚线均为平行线，则线段a ，b ，c ，d 的数量关系为ab = cd 的 是( )
A ． B ．
C．
D．
6 ．如图，已知上1 = 上2 ，添加下列各选项中的条件后，不能判定 △ABC∽△ADE 的 是( )
A ．上B = 上ADE B ．上C = 上E C ． D ．
7 ．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 v (m/s) 是载重后总质量m (kg ) 的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的 是( )
A ．函数表达式为v = (m > 0)
B ．已知机器狗无载重时的最快移动速度为9m/s ，则机器狗的质量为40kg
C ．机器狗的质量越大，其移动速度越快
D ．要使机器狗的最快移动速度v 不低于5m/s ，其载重后总质量不能大于72kg
8．反比例函数 和一次函数y = -kx + 3在同一平面直角坐标系中的大致图象可 能是( )
B．
A．
C ． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本题满分 18 分，共 6 小题，每小题
3 分）
9 ．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 ．
10 ．已知关于 x 的一元二次方程3x2 = 4 ，则它的解为 ．
11 ．对于任意正实数 a ，b，定义一种新的运算： 如 请你计算3 ② 6 = ．
12 ．下表列出了反比例函数y = k < 0) 三对 x 与y 的对应值：
则y1 ，y2 ，y3 的大小顺序是 ．（用 “ 0 时，x 的取值范围；
(3)点 P 在线段AB 上，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，交反比例函数y2 的图象
于点 Q，若△POQ 面积为 3，求点 P 的坐标．
24 ．如图， 已知四边形 ABCD 中， 上BAD = 上ABC = 90° , AD = 1cm，AB = BC = 4cm ， 动点 P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为4cm/s ；同时，动点 Q 从点 C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为5cm/s ．QE 丄 BC 于点E．设运动时间为ts (0 < t < 1)， 解答下列问题：
(1)当PQ ∥ BC 时，求 t 的值；
(2)当 t 为何值时，以 A，D ，P 为顶点的三角形与△CQE 相似？
(3)是否存在某一时刻 t ，使PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分？若存在， 求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
(4)是否存在某一时刻 t，使DP 丄 PE ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理 由．
1 ．A
【分析】本题考查了倒数， 二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据倒数 的定义，乘积为 1 的两个数互为倒数，然后将√5 的倒数进行分母有理化即可得出答案．
【详解】解： 的倒数为 ， 故选：A．
2 ．B
【分析】本题考查了化简二次根式， 二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则与二次 根式的化简逐一分析各选项即可．
解 选项计算错误，不符合题意；
B 、 选项计算正确，符合题意；
C 、 选项计算错误，不符合题意；
D 、 选项计算错误，不符合题意； 故选：B．
3 ．B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、 一元二次方程根的判别式、解分式方程， 解决本 题的关键是逐一分析各选项方程是否有实数根，结合平方根的非负性、二次方程判别式及分 式方程的解进行判断．
【详解】解：A 选项：Q 二次根式是非负数，
没有实数根， 故 A 选项没有实数根；
B 选项：一元二次方程 中，
a = 3 ，
: 一元二次方程有两个相等的实数根， 故 B 选项有实数根；
C 选项：一元二次方程x2 - x +1 = 0 中， a = 1 ，b = -1 ，c = 1，
:Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4× 1 × 1 = 1- 4 = -3 < 0 ， :x2 - x +1 = 0 没有实数根，
故 C 选项没有实数根；
D 选项：解方程 ，
可得：x = 1，
检验：当x =1 时， x -1 = 1-1 = 0 ，
:x = 1是原分式方程的增根，
: 原分式方程无解，
故 D 选项没有实数根． 故选：B．
4 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为 2x，根据两次降价后的价格关系， 建立方程即可求解．
【详解】解：根据题意，两次降价后的价格为 288 元，因此方程为：
400 (1- x)(1- 2x) = 288 ， 故选：D．
5 ．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例， 掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．用 平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【详解】解：A、由图知， ，即 ad = bc ，故选项不符合题意；
B、由图知， ，即 ad = bc ，故选项不符合题意；
C、由图知， ，即ab = cd ，故选项符合题意；
D、由图知， ，即 ac = bd ，故选项不符合题意；
故选：C．
6 ．D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键．
判定两个三角形相似的方法有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似．
【详解】解：: 上1= 上2 ，
: 上1+ 上DAC = 上2 + 上DAC ，即 上BAC = 上DAE ，
选项 A，添加 上B = 上ADE ，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证 △ABC∽△ADE ． 选项 B，添加 上C = 上E ，用两角分别相等的两个三角形相似，可证 △ABC∽△ADE ．
选项C，添加 ，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证 △ABC∽△ADE ． 选项 D ，添加 ，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定 △ABC∽△ADE ． 故选：D．
7 ．C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是根据函数图象中的数值求出反比 例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断．
【详解】解：A 选项：设v 与m 的函数关系式是 ，
由图可知，当m = 60 时，v = 6 ， 可得： ，
解得：k = 360 ，
: v 与m 的函数关系式是 故 A 选项正确；
B 选项：当v =9 时，
可得： ，
解得：m = 40 ，
:机器狗的质量为40kg ， 故 B 选项正确；
C 选项：Q360 > 0 ，
在第一象限内v 随着m 的增大而减小，
:机器狗的质量越大，其移动速度越慢， 故 C 选项错误；
D 选项：Q机器狗的最快移动速度v 不低于5m/s ，
解得：m ≤ 72 ，
:要使机器狗的最快移动速度v 不低于5m/s ，其载重后总质量不能大于72kg ， 故 D 选项正确．
故选：C．
8 ．A
【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的图象，掌握 一次函数与反比例函数的系数与图象的关系是解题关键．根据k > 0 和k < 0 两种情况判断函 数图象，即可得到答案．
【详解】解：当 k > 0 时，则-k < 0 ，
反比例函数 的图象在第一、三象限，一次函数y= -kx + 3 的图象在第一、二、四象限， 即 B 、C 选项错误；
当k < 0 时，则-k > 0 ，
反比例函数 的图象在第二、四象限，一次函数y= -kx + 3 的图象在第一、二、三象限， 即 A 选项正确，B 选项错误；
故选：A
9 ．x ≤ 2 且x ≠ -3
【分析】本题考查代数式有意义的条件， 根据二次根式的有意义的条件，分式有意义的条件 进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：2 - x ≥ 0 ，3 + x ≠ 0 ， ∴ x ≤ 2 且x ≠ -3；
故答案为：x ≤ 2 且x ≠ -3
10 ．
【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可．
【详解】解：3x2 = 4 ，
故答案为
11 ．
【分析】本题考查了新定义的二次根式运算． 直接根据新定义计算即可．
解
故答案为： ．
12 ．y2 < y3 < y1
【分析】本题考查了反比例函数的性质.根据反比例函数图像的性质，判断即可． 【详解】解：Q k < 0 ，
:反比例函数的图像在二、四象限，并且在每一个象限内y 随x 的增大而增大， Q -1< 0 ，
:y1 > 0 ，
Q 0 < 2 < 3 ，
: (2, y2 ) 、(3, y3 ) 在第四象限，
:y2 < y3 < 0 ，
: y2 < y3 < y1 ．
故答案为：y2 < y3 < y1 ．
13 ．4.5
【分析】本题是相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定与性质，证明
△OAB ∽△OCD ，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得实像的高度． 【详解】解：由题意得：AB ⅡCD ，
:上A = 上ACD，上D = 上ABD ，
: △OAB ∽△OCD ，
（相似三角形对应边上的高之比等于相似比）， Q BE、CE 分别为8cm、6cm ，AB 的高为6cm ，
: CD = 4.5 ，
:实像CD 的高度为4.5cm ， 故答案为：4.5 ．
14 ．3cm 和2cm
【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程．
设PN = x cm ，则 根据等面积法计算即可．
【详解】解：设 PN = x cm ， :矩形MNPQ 的面积为6 cm2 ，
: S△ABC = S△APN + S△BPQ + S△CNM + S矩形PQMN
整理得：x2 - 6x + 9 = 0 ，
解得：
故答案为：3cm 和2cm ．
15 ．
(2) -、/2
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键：
（1）先化简，进行除法运算，再进行加减运算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．
解：原式
（2）
= - +4-4+2
= 3-/2 - 6 + 6 - 4 -/2
16 ．(1) x1 = 3 ，x2 = 2
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）将方程转化为一般式，利用公式法解方程即可． 【详解】（1）x2 - 9 = 5(x - 3) ；
解：(x + 3)(x - 3) - 5(x - 3) = 0
(x - 3)[(x + 3) - 5] = 0 即(x + 3)(x - 2) = 0 : x - 3 = 0 或 x - 2 = 0
: x1 = 3 ，x2 = 2 ．
（2）(x + 1)(x - 3) = 2 ．
解：原方程可化为x2 - 2x - 5 = 0 ，
Δ = 22 -4×(-5) = 24，

17 ．(1)(-6,1)
(2)图见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键：
（1）根据位似图形的位似中心为对应点所连线段所在直线的交点上，确定点P 的坐标即可；
（2）根据位似图形的性质，画出△OA2B2 即可． 【详解】（1）解：由题意，点 P 的位置如图所示，
由图可知：P(-6,1) ；
（2）由题意， △OA2B2 画图如下：
18 ．x2 + x = 1
【分析】本题考查二次根式的混合运算，代数式求值，把x = -1 代入代数式进行求解即可． 2
解：将 代入x2 + x ，得
= 1．
19 ．液面的宽度为9cm
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质． 如图，作BE ^ DE 于E ，则 上BED = 90° ,由题意知，
BD = 15，BC = 6，BE = 10，上C = 90°, ABⅡDE ， AC Ⅱ BD ， 则 上CAB = 上DBA = 上BDE ，
AB BC AB 6
证明 △CAB∽△EDB ，则 = ，即 = ，计算求解即可．
BD BE 15 10
【详解】解：如图，作 BE ^ DE 于E ，则 上BED = 90° ,
由题意知，BD = 15，BC = 6，BE = 10，上C = 90°, ABⅡDE ，AC Ⅱ BD ，
: 上CAB = 上DBA = 上BDE ， 又: 上C = 上BED = 90° ,
: △CAB∽△EDB ，
即 ， 解得，AB = 9 ，
答：液面的宽度为9cm ．
20 ．(1) m < 3
(2) m = 1
【分析】本题考查根的判别式， 方程的解，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题 的关键：
（1）根据方程有 2 个不相等的实数根，得到判别式大于0，进行求解即可；
（2）把 x =2 代入方程，得到关于m 的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意，得 Δ =4(m-1)2 -4(m2 -5)>0，
解得m < 3 ．
（2）:2 是方程的一个根，
: 22 -2(m-1)×2+m2 -5 = 0．
: m2 - 4m + 3 = 0 ．
: m1 = 3 ，m2 = 1．
: m < 3 ，
: m = 1．
21 ．这个旅行团的人数为 30 人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这个旅行团的人数为x 人，则人均旅游费用为 (1500 - 20x) 元，利用总旅游费用= 人均旅游费用× 人数，列出一元二次方程，解之取其符合 题意的值即可．
【详解】解： 设这个旅行团的人数为x 人，则人均旅游费用为：1000 - 20(x - 25) = (1500 - 20x) （元) ，
由题意得：x(1500 - 20x) = 27000 ，
整理得：x2 - 75x +1350 = 0 ，
解得：x1 = 30 ，x2 = 45 ．
当x = 30 时，1500 - 20x = 1500 - 20 × 30 = 900 > 700 ，符合题意；
当x = 45 时，1500 - 20x = 1500 - 20 × 45 = 600 < 700 ，不合题意，舍去； 答：这个旅行团的人数为 30 人．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．
（1）先证明 △BAC∽△BB1D1 ，设正方形CC1B1D1 边长为 x，求出 即可求出
（2）同（1）方法证明即可；
（3）找出规律作答即可．
【详解】（1）解：∵正方形CC1B1D1 ，
: CC1 Ⅱ B1D1 ，
: △BAC∽△BB1D1 ，
设正方形CC1B1D1 边长为 x，则BD1 = 2 - x
即 解得
解：同 可知 设正方形C1C2B2D2 边长为y，则 ， 即 ，
解得
解
……
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式 是解题的关键；
（1）将 A 点坐标代入即可得出反比例函数 ，求得函数的解析式，进而求得 B 的坐标，再将A 、B 两点坐标分别代入y1 = kx + b ，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意即求 y1 > y2 的x 的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次 函数值的x 的取值范围；
（3）由题意，设P(p,-2p + 9) 且 则 求得 根据三角 形面积公式得到S△ 解得即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点A(4,1) ，
:m = 4,
:反比例函数的解析式为 把B(a, 8) 代入 得 :点B 坐标为
∵一次函数解析式y1 = kx + b ，经过 A(4,1) ，B (çè ,8 ， 故得
解得 ，
:一次函数解析式为y1 = -2x + 9 ；
（2）由 y1 - y2 > 0 ，
: y1 > y2 ，即反比例函数值小于一次函数值． 由图象可得
（3）由题意，设P(p,-2p + 9) 且
解得
(3)不存在，见解析
存在
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定， 矩形的性质与判定，平行线分线段成比 例定理，解一元二次方程，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1），过 D 作DF 丄 BC 于点 E，则四边形 ABFD是矩形，可得
BF = AD = 1cm ，DF = AB = 4cm ，由勾股定理可得CD = 5cm ；证明AD∥BC∥PQ ，由平行 线分线段成比例定理得到 即 则
（2）证明△QEC∽△DFC ，由相似三角形的性质得到QE = 4t ，EC = 3t ．再分
△PDA∽△CQE 和△DPA∽△CQE 两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）
S梯形ABCD = (AD + BC) . AB = 10 ．
S四边形PBCQ = S梯形ABCD + S△ 则2t 2 - 2t + 1 = 0 ，据此利用判 别式求解即可；
（4）可证明 △APD∽△BEP ，得到 即 解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过 D 作DF 丄 BC 于点 E，
: 上BAD = 上ABC = ∠DFB = 90° , :四边形ABFD是矩形，
: BF = AD = 1cm ，DF = AB = 4cm ，
: CF = BC - BF = 4 - 1 = 3cm
: 上BAD = 上ABC = 90° ,
: 上BAD + 上ABC = 180° ,
: ADⅡBC
:当PQ ∥ BC 时，则AD∥BC∥PQ ， 即 = ，
（2）解：:QE 丄 BC ，DF 丄 BC ， :QE∥DF ，
:△QEC∽△DFC ，
即 = = ， : QE = 4t ，EC = 3t ．
当△PDA∽△CQE 时，
已检验，符合题意）．
当△DPA∽△CQE 时，
即 =
: t = （已检验，符合题意）．
:当或 时，以 A ，D ，P 为顶点的三角形与△CQE 相似．
（3）解：不存在某一时刻 t，使PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，理由如下：
S四边形PBCQ = S梯形ABCD + S△QEC
: 2t 2 - 2t + 1 = 0 ．
: Δ = 22 - 4 × 2 = 4 - 8 = -4 < 0 ， :方程无实根．
:不存在某一时刻 t，使PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分．
（4）解：: 上BAD = 上ABC = 90° ,
当DP 丄 PE 时，则上APD + 上BPE = 90° , : 上BAD = 上ABC = 90° ,
: 上APD + 上ADP = 90° ,
: 上BPE = 上ADP ， : △APD∽△BEP ，
即 ， :16t 2 - 19t + 4 = 0 ，
解得 已检验）．