2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
末考试数学试题
（满分 120 分，时间 120 分钟）
一、选择题（每题 3 分、共 30 分）
1 ．下列计算正确的是( ).
A ． B ．
C ． D ．一
2 ．下列根式中，属于最简二次根式的是( )
A ． ·、 B ． C ． D ．
3 ．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是( )
..
A ．8cm ，15cm ，17cm B ．3cm ， 5cm ， /34 cm
C ．0.3cm ， 0.4cm ，0.5cm D ． cm ， cm ， cm
4 ．下列选项中，y 不是 x 的函数的是( )
C．
B．
D．
A．
5 ．如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是( )
A ． 一 1 B ．I7 C ． + 1 D ．5
6 ．社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图 是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程(m) 与时间(min ) 的图象，观察图象得 到下列信息，其中正确的是( )
A ．小王实际骑行时间为6 min
B ．3 min 内，小王派送快递的平均速度是375 m / min
C ．3 - 6 min 小王骑行的平均速度比0 - 2 min 慢
D ．点P 表示小王出发6 min ，共骑行2000 m
7．下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形 是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂 直相等的四边形是正方形．其中正确的有（ ）个．
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
8 ．如图，将一个边长为 4 和 8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与A 点重合，则折痕 EF 的长是( )
A ． B ． C ． D ．2
9 ．如图，圆柱的高AB = 3 ，底面直径 BC = 2 ，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱侧面爬 到对角 C 处捕食．若 τ 取 3，则它爬行的最短路程是( )
A ．3 B ．2 C ．3 D ．3
10 ．如图，在边长为 1 的正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE ，将 △ABE 沿BE 对 折，A 点恰好落在对角线BD 上的点 F 处．延长AF ，与CD 边交于点 G，延长 FE ，与 BA 的延长线交于点 H，则下列说法：①△BFH 为等腰直角三角形；②△ADF ≌ VFHA ；③
上DFG = 60° ; ④ DE = 2 — ；⑤ S△AEF = S△DFG ．其中正确的说法有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
二、填空题（每题 3 分、共 21 分）
11 ．在 的取值范围为 ．
12 ．已知 x，y 是直角三角形的两边长，且满足 + (y — 3)2 = 0 ，则此直角三角形的第三
边长为 ．
13 ．化简： 的结果是 ．
14．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示， 甲、乙两选
手成绩的方差分别记为S 、S ，则S S ．（填“ > ”“ < ”或“= ”）
15 ．若一次函数y = (m2 —1)x + 5 — m不经过第二象限，则 m 的取值范围为 ．
16 ．正方形ABCD 的边长为4 ，E 为AD 边中点，连接BE ，F 为正方形边上一点， △BEF 是BE 为底边的等腰三角形，则 △DEF 的面积是 ．
17 ．在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的位置如图所示，其中点B 的坐标为(-1,1) ，第 1 次 将菱形 OABC 绕着点O 顺时针旋转90° ,同时扩大为原来的 2 倍得到菱形OA1B1C1 （即
OB1 = 2OB ）第 2 次将菱形OA1B1C1 绕着点O 顺时针旋转90° , 同时扩大为原来的 2 倍得到菱
形OA2B2 C2 （即 OB2 = 2OB1 ），第 3 次将菱形OA2B2 C2 绕着点O 顺时针旋转90° , 同时扩大为
原来的 2 倍得到菱形OA3B3C3 （即OB3 = 2OB2 ） ……依次类推，则点B2025 的坐标为 ．
三、解答题（共 69 分）
18 ．计算题
(1) (-2)2 - ( )-1 × + (1- )0
(2) - (çè - + (2 - )2025 (2 + )2025
19 ．习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．” 为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了 40 名学生（已知两个年级学生 人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级
参加阅读人数
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
七年级
25
30
a
40
30
八年级
20
26
24
30
40
合计
45
56
59
70
70
(1)a ＝_____；
(2)八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为______；
(3)七年级学生参加阅读人数的众数为______；
(4)估计该校七、八年级共 1120 名学生中这五天平均每天参加阅读的人数．
20 ．项目化学习
项目背景：小明家最近购入一辆电动汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及电动汽车 充满电的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了以下两组实验．
实验一：探究电池充电时电动汽车仪表盘显示的电量e (%) 与充电时间t(min) 之间的关系，
数据记录如下表：
实验二：探究电动汽车充满电后行驶过程中仪表盘显示的电量e(%) 与行驶里程s(km) 之间的 关系，数据记录如图：
建立模型：观察可知表中数据是正比例函数模型，图中数据是一次函数模型．
充电时间
t / min
0
30
60
90
…
显示的电量 e / %
0
25
50
75
…
解决问题：
(1)直接写出e 关于t 的函数解析式；
(2)求e 关于s 的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）；
21．阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平 方．如 善于思考的小明进行了以下探索，若设
其中 a ，b ，m ，n 均为整数），则有
a = m2 + 2n2 ，b = 2mn ，这样小明就找到一种把式子 化为平方式的方法．请你依照 小明的方法探索并解决下列问题：
若 当 a ，b ，m ，n 均为整数时，用含 m ，n 的式子分别表示 a， b，得：a = ______ ，b = ______；
若 当 a ，m ，n 均为正整数时，求 a 的值；
22 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点A 作AE P BD ，且 ， 连接DE ．
(1)求证：四边形AODE 为矩形；
(2)连接BE ，若 AC = 2 ， ，则菱形 ABCD 的面积为___________．
23 ．在一条笔直的公路上依次有 A，B ，C 三地，甲车从A 地出发匀速驶向C 地，到达C 地 休息1h 后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B 地，甲车从A 地出发1.5h 后，乙车 从C 地出发匀速驶向A 地，两车同时到达目的地．两车距A 地路程ykm 与甲车行驶时间xh 之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是______ km / h ，乙车行驶的速度是______ km / h ．
(2)求图中线段MN 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围；
(3)乙车出发多少小时，两车距 A 地的距离的差是100km ？请直接写出答案．
24 ．在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】
（1）操作一：对折正方形纸片 ABCD ，使 AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；
操作二：在 BE 上选一点 H，沿CH折叠， 使点 B 落在EF 上的点 G 处，得到折痕CH ，把 纸片展平．根据以上操作，直接写出图①中上CGF 的度数为 ；
【拓展应用】
（2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②, 延长 HG交AD 于点 M，连接CM交EF 于点 N，试判断 △MGN 的形状，并说明理由；
【迁移探究】
（3）如图③, 已知正方形ABCD 的边长为 3，当点 H 是边AB 的三等分点时，把△BCH沿CH 翻折得 △GCH ，延长 HG交AD 于点 M，求线段DM 的长．
25 ．综合与探究
如图，将矩形 OABC 放置在直角坐标系中，线段 OA ，OC 的长满足、/OA - 8+ | OC - 4 |= 0 ， 将矩形 OABC 沿对角线 OB 翻折，使点 C 落在点E 处， BE 交 AO 于点F ，点 G 是 OB 中点， 连接EG ．
(1)G 点的坐标为______；
(2)求BE 所在直线的解析式；
(3)在平面内存在一点M ，使以 B 、O 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 点M 的坐标；
(4)点N 是OB 上一动点，则AN + EN 的最小值是______．
1 ．C
【分析】根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断．
【详解】解：A ． 与 3 不能合并，故选项错误，不符合题意；
B ． 故选项错误，不符合题意；
C ． 故选项正确 ，符合题意；
D ．一 故选项错误，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的运算， 熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法 则和除法法则是解决问题的关键．
2 ．C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可．
解 故不是最简二次根式；
B ． ，故不是最简二次根式；
是最简二次根式；
D ． 故不是最简二次根式； 故选 C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的识别， 如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也 都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式．
3 ．D
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断 即可．
【详解】解：A 、∵ 82 +152 = 172 ，:能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、∵ 0.32 + 0.42 = 0.52 ，:能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
不能够成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
4 ．A
【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一 个变化过程中有两个变量 x 和y，并且对于变量 x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与它对 应，那么y 是 x 的函数”判断即可．
【详解】解：根据函数的定义，A 中y 不是 x 的函数，B 、C 、D 中y 是 x 的函数， :A 符合题意，B 、C 、D 不符合题意．
故选：A．
5 ．B
【分析】本题主要考查了尺规作图、数轴上两点之间的距离、勾股定理、数轴与实数等知识， 理解并掌握勾股定理的应用是解题关键．根据题意，可知AB = AC = 4 ，AO = 3 ，OA 丄 OC ， OM = OC ，利用勾股定理解得OC 的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
根据题意，可知AB = AC = 1- (-3) = 4 ，AO = 0 - (-3) = 3 ，OA 丄 OC ，
即点M在数轴上表示的数是、 ．
故选：B．
6 ．D
【分析】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项 判断即可．
【详解】解： 观察图象得：2 ~ 3min 期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止 状态，
因此实际骑行时间为6 -1 = 5 min ，故 A 选项错误，不符合题意；
3 min 内，小王派送快递的平均速度是 故 B 选项错误，不符合题意；
3 - 6 min 小王派送快递的平均速度是
0 - 2 min 小王派送快递的平均速度是 ， 因为
所以3 - 6 min 小王骑行的平均速度比0 - 2 min 快，故 C 选项错误，不符合题意； 点P 表示小王出发6 min ，共骑行2000 m ，故 D 选项正确，符合题意；
故选 D．
7 ．B
【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形， 掌握平行四边形、矩形、菱形的性质 和判断方法是正确判断的前提．根据菱形的判定方法，矩形、菱形的性质以及平行四边形的 性质逐项进行判断即可．
【详解】解：顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，故①正确； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②不正确；
经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分，故③正确；
对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故④不正确；
则正确的有①③,共 2 个， 故选：B．
8 ．D
【详解】：根据折叠的性质知，四边形 AFEB 与四边形 FDCE 全等， 所以 EC=AF=AE，
由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即 42+（8 -AE）2=AE2， 解得，AE=AF=5，
所以 BE=3，
作 EG⊥AF 于点 G，则四边形 AGEB 是矩形， 所以 AG=3 ，GF=2 ，GE=AB=4，
由勾股定理得 ．
故选：D．
9 ．C
【分析】此题考查最短路径， 勾股定理，要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两 点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A ． C 的最短距离为线段AC 的长．
CD = AB = 3 ，AD = π ,
在 △ACD 中 ，上ADC = 90° ,
故选：C．
10 ．D
【分析】①根据对称及正方形的性质即可判断；②可证
上H = 上FDA = 45°, 上HFA = 上DAF ，AF 为公共边，根据AAS 可证明三角形全等；③可证
上DFG = 上AFB = 上 ，可判断③错误；④可证
有 可求出 ，进而求出 DE 的长，即可判 断；⑤过D 作DN丄 FG 于N ，另AF 交BE 于点M ，可证△DFN ≥ △FME ，而S△DFG = 2S△DFN ， S△AEF = 2S△FME ，则可判断S△AEF = S△DFG ．
【详解】解：①∵四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线， : EA 丄 AB ，上ABF = 上ADB = 上CDB = 45°
∵ △ABE 翻折之后为 △FBE ，
: △ABE ≥ △FBE ， : EF 丄 BF ，
又∵上ABF = 45° ,
:△BFH 为等腰直角三角形， 故①正确；
②∵△BFH 为等腰直角三角形，BD 为正方形ABCD 的对角线，
: 上H = 上FDA = 45° ,
∵ A 、F 关于BE 对称， : 上HFA = 上DAF
在△ADF 和VFHA 中，
:△ADF ≥△FHA (AAS)
故②正确；
③∵ A 、F 关于BE 对称，
: 上AFB = 上FAB ，
又∵上ABF = 45° ,
故③错误；
④∵ AE 丄 AB ， △AEB 与 △FEB 对称， : DF 丄 EF ，AE = EF ，
又∵上EDF = 45° ,
: △DEF 为等腰直角三角形，
有
: DE = AE = 2 - ， 故④正确；
⑤过D 作DN丄 FG 于N ，设 AF 交BE 于点M ，
∵ 上FDG = 45°, 上DFG = 67.5° ,
: 上DGF = 180° - 67.5° - 45° = 67.5° , : DF = DG ，S△DFG = 2S△DFN ，
在Rt△BEF 中，上上
上FEB = 90° - 22.5° = 67.5° , 在△DFN 和 △FME 中，
:△DFN ≥ △FME (AAS)， : S△EFM = S△FDN ，
而S△DFG = 2S△DFN ，S△AEF = 2S△FME ，
: S△AEF = S△DFG ．
故⑤正确．
正确的说法有①②④⑤ , 故选 D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质， 对称的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三 角形等知识，找到相应线段和角度的相等，并证明相应三角形全等是求解的关键．
11．x>-3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为 0 列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：2x+6>0，
解得：x>-3，
故答案为：x>-3．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件， 掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不 为 0 是解题的关键．
12 ．、 或 /13
【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理．首先利用非负数的性质求得
x = 2，y = 3 ，然后对 y = 3 分类讨论：分y = 3 是直角边和y = 3 是斜边两种情况，进行计算即 可得到答案．
【详解】解：Q x，y 是直角三角形的两边，且满足
:x - 2 = 0，y - 3 = 0 ，
:x = 2，y = 3，
当y = 3 是直角边时，第三边为
当y = 3 是斜边时，第三边为 ，
综上所述，此直角三角形的第三边长为： /5 或 /13 ，
故答案为： ·、 或 /13 ．
13 ．
【分析】本题考查了二次根式的性质， 熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键，这里需注 意a 是负数．根据二次根式的性质计算即可得解．
解
故答案为：- ．
14 ．>
【分析】本题主要考查平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解答本题的关键． 分别求出平均数，再利用方差的计算公式计算甲、乙的方差，进行比较即可．
【详解】解：根据折线统计图中数据，
x甲 = (5 +10 + 9 + 3 + 8) ÷ 5 = 7 ，x乙 = (8 + 6 + 8 + 6 + 7) ÷ 5 = 7 ，
: S = × (5 - 7)2 + (10 - 7)2 + (9 - 7)2 + (3 - 7)2 + (8 - 7)2 = 6.8 ， S = × (8 - 7)2 + (6 - 7)2 + (8 - 7)2 + (6 - 7)2 + (7 - 7)2 = 0.8 ，
: S > S ，
故答案为：>．
15 ．m ≥ 5
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数y = kx + b (k ≠ 0) ，k > 0 ，
b > 0 Û y = kx + b 的图象在一、二、三象限； k > 0 ，b < 0 Û y = kx + b 的图象在一、三、四象限； k < 0 ，b > 0 Û y = kx + b 的图象在一、二、四象限；k < 0 ，b < 0 Û y = kx + b 的图象在二、三、 四象限．根据题意得到关于m 的不等式组，求解即可．
ìm2 - 1 > 0
【详解】解：由题意得， í ,
l5 - m ≤ 0
解得：m ≥ 5 ，
故答案为：m ≥ 5 ．
16 ． 或
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形，勾股定理等知识，根据题意，分两种情况： 当点F 在AB 上时，当点F 在CD 上时，利用勾股定理即可求解．理解题意，作出图形，分 类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD = 4 ， 上A = 上ABC = 上BCD = 上ADC = 90° ,
: E 为AD 边中点，
: AE = DE = 2 ，
当点F 在AB 上时，
∵ △BEF 是BE 为底边的等腰三角形，
: BF = EF ，则 BF = EF = AB - AF ，
在Rt△AEF 中，AF2 + AE2 = EF2 ，即 AF2 + 22 = (4 - AF)2 ， 解得：
: △DEF 的面积
当点F 在CD 上时，
∵ △BEF 是BE 为底边的等腰三角形， : BF = EF ，
在Rt△DEF 中，DF2 + DE2 = EF2 ，即 DF2 + 22 = EF2 ，
在Rt△BCF 中，BC2 + CF2 = BF2 ，即 42 + (4 - DF)2 = BF2 ， : DF2 + 22 = 42 + (4 - DF)2 ，
解得：
: △DEF 的面积
综上， △DEF 的面积为 或 ．
17 ．(22025 , 22025 )
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的旋转、图形的位似变换以及规律探究， 熟练掌 握旋转对坐标象限（符号）的影响和位似对坐标数值的变化规律，以及循环规律的运用是解 题的关键．
先确定点B 初始坐标，分析每次旋转和扩大操作后点的坐标变化规律，包括旋转导致的象限 （坐标符号）变化以及扩大导致的坐标数值变化，利用循环规律确定B2025 的坐标．
【详解】解：∵ B (-1,1)，原点 (0, 0) ，
: OB = = ．
点B 在第二象限，横负纵正．
第1次变换：旋转90° 顺时针，B1 在第一象限，OB1 = 2OB = 2 ，坐标为 (2, 2)（因为旋转 后横纵变为正，且长度扩大2 倍 ）．
第2 次变换：再旋转90° 顺时针，B2 在第四象限，OB2 = 2OB1 = 22 ，坐标为 (4, -4) （旋 转后横正纵负，长度再扩大2 倍 ）．
第3 次变换：又旋转90° 顺时针，B3 在第三象限，OB3 = 2OB2 = 23 ，坐标为 (-8, -8) （旋 转后横负纵负，长度继续扩大2 倍 ）．
第4 次变换：再旋转90° 顺时针，B4 在第二象限，OB4 = 2OB3 = 24 ，坐标为(-16,16)（旋 转后横负纵正，回到类似初始B 的象限，长度又扩大2 倍 ）．
由此可得规律：每4 次旋转为一个循环，回到初始象限类型；且OBn = 2n . OB = 2n . ，坐 标数值上，Bn 横、纵坐标绝对值为2n ．
确定B2025 的位置和坐标
计算2025÷ 4 = 506……1，即经过 506 个完整循环后，第2025 次变换相当于新循环的第1次 变换．
: B2025 在第一象限，横、纵坐标均为正，且OB2025 = 22025 . ，到原点的距离为 22025 ，即 B2025 (22025 , 22025 ) ．
故答案为：(22025 , 22025 ) ．
(2) - + 3、 3 3
18 ．(1) 3 5 、
【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
（1）利用乘方、负整数指数幂、二次根式的乘法和零指数幂计算即可；
（2）利用二次根式的性质化简后再进行加减法即可． 【详解】（1）解：(-2)2 - (y2 )-1 × v8 + (1- ·、)0
= 4 - 2 +1
= 3
19 ．(1)35 (2)24
(3)30 (4)840
【分析】（1）根据统计表中数据，利用 59-24 即可求解；
（2）根据折线统计图中数据，将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可求解；
（3）根据统计表中数据，结合众数的定义即可求解；
（4）用 1120 乘以七、八年级阅读人数的占比即可求解． 【详解】（1）a = 59 - 24 = 35
故答案为：35
（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间从小到大排列为：15, 20, 24, 30,30 则中位数为24
故答案为：24
（3）七年级的阅读人数分别为25,30, 35, 40,30 众数为 30
故答案为：30
（4）该校七、八年级共 1120 名学生中这五天平均每天参加阅读的人数为
【点睛】本题考查了统计表， 折线统计图，中位数，众数，平均数，样本估计总体，掌握基 本统计知识是解题的关键．
(2)关于s 的函数解析式为e = - s + 100 ．
【分析】本题主要考查了正比例函数与一次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求函 数解析式是解题的关键．
（1）因为已知是正比例函数模型，所以设e = mt （ m 为常数），利用表格中一组非零数据代 入可求出m ，进而得到函数解析式．
（2）由于是一次函数模型，设e = ms + n （ m 、n 为常数），选取图像上两个点的坐标代入， 解方程组求出m 和n ，得到函数解析式．
【详解】（1）解：设e 关于t 的函数解析式为e = mt ， 把t = 30 ，e = 25 代入e = kt ，得 25 = 30m ，
解得 ，
所以e 关于t 的函数解析式为 ．
（2）解：设e 关于s 的函数解析式为e = ks + b(k ≠ 0) ．
将(0,100),(80,80) 代入， 得
解得
:关于s 的函数解析式为e = - s + 100 ．
21 ．(1) m2 + 5n2 ，2mn ；
(2)13 或 7 ．
【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．
（1）仿照例题计算即可得；
（2）仿照例题计算，得出 a = m2 + 3n2 ，mn = 2 ，根据 m ，n 均为正整数确定 m 和 n 的值，
代入a = m2 + 3n2 即可求解；
解
: a = m2 + 5n2 ，b = 2mn ，
故答案为：m2 + 5n2 ，2mn ；
: a = m2 + 3n2 ，2mn = 4 ，
: mn = 2 ，
Q m ，n 均为正整数，
: m = 1 ， n = 2 ，或 m = 2 ， n = 1 ，
当m = 1 ，n = 2 时，a = 12 + 3× 22 = 13， 当m = 2 ，n = 1 时，a = 22 + 3× 12 = 7 ， 综上可知，a 的值为 13 或 7；
22 ．(1)见解析 (2) 4
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理， 熟练掌握以上知识点并灵 活运用是解此题的关键．
（1）由菱形的性质得出AC ^ BD ， ，结合题意得出AE = OD ，从而推出四边形 AODE 为平行四边形，结合上AOD = 90° ,即可得证；
（2）由菱形的性质得出 由矩形的性质得出DE = AO = 1， 上BDE = 90° ,由勾股定理得出 BD = 4 ，最后再由菱形的面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
: 上AOD = 90° ,
: AE = OD ， ∵ AE P BD ，
:四边形AODE 为平行四边形， ∵ 上AOD = 90° ,
:四边形AODE 为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∵四边形AODE 为矩形，
: DE = AO = 1 ，上BDE = 90° , : BD = = 4 ，
:菱形ABCD 的面积为
23 ．(1)120 ，80；
(2) y = -80x + 480(1.5 ≤ x ≤ 6) ；
(3) 0.4h 或1.4h ．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用-行程问题、一元 一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义．
（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可；
（2）设y 与x 之间的函数解析式为y = kx + b ，把(1.5,360) ，(3, 240) 代入，解方程组求出k 、 b 的值即可得答案；
（3）先求出乙车出发时，两车的距离，然后分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得D(3,360) ，即甲出发 3 时后与A 地相距， :甲车行驶速度为360 ÷ 3 = 120 km / h ；
由题意可得，MN 过M (1.5,360) ，(3, 240) ，
:乙车出发3 -1.5 = 1.5h ，行驶360 - 240 = 120km ， :乙车行驶速度为120 ÷ 1.5 = 80 km / h ，
故答案为：120 ，80
（2）解：设y 与x 之间的函数解析式为y = kx + b ， 把(1.5,360) ，(3, 240) 代入得 ，
= -80
= 480
ìk
lb
解得： í
,
: 360 ÷ 80 = 4.5 ，4.5 +1.5 = 6 ，
:1.5 ≤ x ≤ 6 ，
: y 与x 之间的函数解析式为y = -80x + 480(1.5 ≤ x ≤ 6) ， （3）解：设乙车出发th 时，两车之间的距离是100km ， : 360 -120 × 1.5 = 180km ，
:乙车出发时，两车相距180km ，
当两车相遇前相距100km 时，(120 + 80)t = 180 一100 ， 解得：t = 0.4 ，即乙车出发 0.4h 时，两车相距100km ， 当两车相遇后相距100km 时，(120 + 80)t = 180 +100 ，
解得：t = 1.46 ，故不符合题意，舍去，
综上所述：乙车出发0.4h 或1.4h 时，两车相距100km ．
24 ．（1）30°
（2） △MGN 是等边三角形，理由见解析 （3） 或
【分析】（1）由折叠的性质可得 从而可得上CGF = 30° ;
（2）由折叠可得 上HGC = 上B = 90° , BC = CG ，证明Rt△CMG≌Rt△CMD (HL)，可得
上CMG = 上CMD ，然后求出上AMG = 上MGN = 60° , 进而可得上CMG = 上CMD = 60° , 因此
△MGN 为等边三角形；
（3）由点 H 是边AB 的三等分点得到BH = 1或BH = 2 ，分两种情况讨论：①当BH = 1时， AH = 2 ，HG = BH = 1 ，易证Rt△CMG≌Rt△CMD (HL)，从而设 DM = GM = x ，则
AM = 3 一 x ，HM = 1+ x ，在Rt△AHM 中，根据勾股定理有22 + (3 一 x )2 = (1+ x )2 ，求解即可； ②当BH = 2 时，同①思路即可解答．
【详解】解：（1）:四边形ABCD 为正方形，
: AB = BC = CD ，上B = 上BCF = 90° ,
根据折叠的性质可得 上CFG = 上DFG = 90° ,
: 上CGF = 30° ;
故答案为：30° ;
（2）解： △MGN 为等边三角形．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形， : 上B = 上D = 90° , BC = CD ，
由折叠可得上HGC = 上B = 90° , BC = CG ， : 上MGC = 90° = 上D ，CG = CD ，
又∵ CM = CM ，
: Rt △CMG≌Rt△CMD (HL)， : 上CMG = 上CMD ，
由折叠得上CFE = 上DFE = 90° , : 上D = 上CFE = 90° ,
: EF Ⅱ AD ，
由（1）知 上CGF = 30° ,
: 上MGN = 60° ,
: 上AMG = 上MGN = 60° ,
: △MGN 为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（3）连接CM ；
∵点 H 是边AB 的三等分点，
①当BH = 1时， AH = AB - BH = 3 -1 = 2 ，HG = BH = 1 ，
∵ 上CGM = 上D = 90° , CG = CB = CD ，CM = CM ， : Rt △CMG≌Rt△CMD (HL)，
: DM = GM ，
设DM = GM = x ，
则AM = AD 一 DM = 3 一 x ，HM = HG + GM = 1+ x ， ∵在正方形ABCD 中，上A = 90° ,
:在Rt△AHM 中，AH2 + AM2 = HM 2 ，
: 22 + (3 一 x )2 = (1+ x )2 ， 解得： ，
②当BH = 2 时，AH = AB 一 BH = 3 一 2 = 1 ，HG = BH = 2 ，
∵ 上CGM = 上D = 90° , CG = CB = CD ，CM = CM ， : Rt △CMG≌Rt△CMD (HL)，
: DM = GM ，
设DM = GM = y ，
则AM = AD 一 DM = 3 一y ，HM = HG + GM = 2 + y ， ∵在正方形ABCD 中，上A = 90° ,
:在Rt△AHM 中，AH2 + AM2 = HM 2 ，
: 12 + (3 一 y )2 = (2 + y)2 ， 解得： ，
综上所述，MD 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查轴对称的性质， 正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的 判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握各个知识，运用分类讨论思想，方程思想是解题的 关键．
25 ．(1)(-4, 2) ；
(3)M (-13，4) 或M (-3, 4) 或M (3, -4) ； (4) 4 ．
【分析】（1）利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均为非负数，若和为0 则各自为0 ） 求出OA 、OC 的长度，确定矩形顶点坐标，再根据中点坐标公式（若有两点(x1, y1 ) 、
(x2, y2 ) ，则其中点坐标为 计算G 点坐标．
（2）先由矩形翻折的性质得到全等关系，结合平行线的性质推出BF = OF ，设未知数利用 勾股定理（直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 ）求出F 点坐标，再用待定系 数法（设直线解析式为y = kx + b ，代入两点坐标求解k 、b ）求 BE 所在直线的解析式．
（3）分三种情况，依据平行四边形对边平行且相等的性质，通过坐标平移或中点坐标公式 来确定M 点的坐标．
（4）利用轴对称的性质（E 与C 关于OB 对称 ），将 AN + EN 转化为AN + CN ，根据两点 之间线段最短，结合勾股定理求出最小值．
【详解】（1）解：Q · + OC - 4 = 0 ，且 ·、 ≥ 0 ，
OC - 4 ≥ 0
: OA - 8 = 0 ，OC - 4 = 0
: OA = 8 ，OC = 4
:矩形OABC 中，A (-8, 0) ，B (-8, 4) ，O (0, 0)
QG 是OB 中点，根据中点坐标公式可得G 点坐标为 即(-4, 2) ， 故答案为：(-4, 2) ；
（2）解：Q矩形OABC 沿OB 翻折，
:BC = BE = 8 ，OC = OE = 4 ， Ð BCO = Ð BEO = 90 ，上CBO = 上EBO 又Q BC Ⅱ OA ，
: Ð CBO = Ð FOB ，
: Ð EBO = Ð FOB ，
:BF = OF
设OF = x ，则 BF = x ，AF = 8 - x
在Rt△ABF 中，AB = 4 ，由勾股定理得 AB2 + AF2 = BF2 ，即 42 + (8 - x)2 = x2
16 + 64 -16x + x2 = x2
80 -16x = 0
x = 5
:F(-5, 0)
设BE 所在直线解析式为y = kx + b ，把B(-8, 4) ，F (-5, 0) 代入
两式相减得：3k = -4 ，
把 代入-5k + b = 0 ，得
:BE 所在直线解析式为
（3）解：已知B(-8, 4) ，O (0, 0) ，F (-5, 0)
情况一：当以OB 为平行四边形的对角线时，M1 的坐标为(-8 + 0 +5, 4 + 0 - 0) 即(-3, 4)； 情况二：当BF 为平行四边形的对角线时，M2 的坐标为(-8 - 5 - 0, 4+ 0 - 0) 即(-13, 4) 情况三：当OF 为平行四边形的对角线时，M3 的坐标为(0 - 5 +8, 0 + 0 - 4) 即(3, -4)
综上，M 点坐标为(-3, 4) 或(3, -4) 或(-13, 4)
（4）连接 AC ，NE ，NC ，NA，
Q将矩形OABC 沿对角线OB 翻折，使点C 落在点E 处，
: CN = EN
: AN + EN = CN + AN ，根据两点之间线段最短，当C 、N 、E 共线时，AN + EN 取得最小 值，即AC 的长
: AN + EN 的最小值是4
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换、 一次函数解析式的求解、平行四边 形的存在性以及利用轴对称求最短路径等知识，熟练掌握矩形的性质、翻折的性质、函数解 析式的求法和平行四边形的判定是解题的关键．