2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区八年级（下）期末数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子为最简二次根式的是( )
A. 3B. 4C. 8D. 12
2.已知一组数据：9，8，8，6，9，5，7，则这组数据的中位数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
3.关于正比例函数y=−3x，下列结论正确的是( )
A. 图象不经过原点B. y随x的增大而增大
C. 图象经过第二、四象限D. 当x=12时，y=1
4.下列说法正确的是( )
A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是矩形，则这个四边形定是菱形
5.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 67.5°
D. 77.5°
6.“古诗⋅送郎从军：送郎一路雨飞池，十里江亭折柳枝；离人远影疾行去，归来梦醒度相思．”中，如果用纵轴y表示从军者与送别者行进中离原地的距离，用横轴x表示送别进行的时间，从军者的图象为O→A→B→C，送别者的图象为O→A→B→D，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是( )
A. B.
C. D.
7.点A在直线y=x+1上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，当3≤x≤4时，线段BD长的最小值为( )
A. 4B. 5C. 2 5D. 7
8.若x≤0，则化简|1−x|− x2的结果是( )
A. 1−2xB. 2x−1C. −1D. 1
9.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如右图)，∠ACB=90°，AC=BC，从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方是( )
A. 20013cm2B. 15013cm2
C. 10013cm2D. 5013cm2
10.如图所示，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y=−ax，y随x的增大而减小；②函数y=ax−d不经过第四象限；③不等式ax−d≥cx−b的解集是x≥4.其中正确的是( )
A. ①②②B. ①③C. ②③D. ①②
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.使式子(x−3)0 x+1有意义，则x的值为______．
12.数据x1，x2，x3，x1，x2，x3，x4的平均数是4，方差是3，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差是______．
13.将直线y=−2x−3向上平移4个单位长度得到的直线的解析式为______．
14.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为____．
15.已知(a+6)2+ b2−2b−3=0，则2b2−4b−a的值为______．
16.若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE=6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为______．
17.如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1，A1，A2，⋯，…，An在x轴上，点B1，B2，…，B1，B2，⋯，Bn在直线y=x上，若OA2=2，则点B2021的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
(1)计算：15 3+ 27− 48；
(2)化简：23 9x+6 x4−x 1x．
19.(本小题5分)
已知a=2+ 3，b=2− 3，求代数式a2b−ab2的值．
20.(本小题8分)
4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，中国“太空出差三人组”成员平安回到了祖国大地．星空浩瀚无限，探索永无止境，我们都是“追梦人”，为了庆祝我国航天事业的发展，某校举行航空航天作品展，为了解学生上交作品情况，随机调查了部分学生上交作品件数，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)补全两幅统计图；
(2)求所抽取学生上交作品件数的众数与中位数；
(3)求所抽取学生上交作品件数的平均数，若该校共有1200名学生，请估计上交的作品一共有多少件？
21.(本小题10分)
如图1，已知AD//BC，AB//DC，∠B=∠C．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN=2.若∠BNC=2∠DCM，求BC的长．
22.(本小题10分)
甲、乙两车在连通A，B，C三地的公路上行驶，甲、乙两车同时从A地匀速出发，甲车到达C地后装货1小时，再以原速原路返回A地，乙车到达B地后装货1小时，再以原速前往C地，结果甲、乙两车同时到达目的地.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距A地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：小时)之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)直接写出甲、乙两车的速度
(2)求乙车从B地到C地的过程中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)两车经过多长时间相距120千米？请直接写出答案．
23.(本小题12分)
把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD(如图).有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．
(1)将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时(如图1)，通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
(2)在旋转过程中四边形AECF的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；
(3)若将(1)中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A、C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如图3)，那么PE、PF之间又有什么数量关系？并证明你的结论．
24.(本小题14分)
综合与探究
如图1，已知直线l1：y=nx−5n交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y=x−15n交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E．
(1)求点A的坐标；
(2)若点B为线段AE的中点，求S△AEC；
(3)在(2)的条件下，若点M在直线l2上，N是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如图2，已知P(0,t)，将线段PA绕点P逆时针方向旋转90°至PF，连接AF，OF，则OF+AF的最小值是______．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.C
7.A
8.D
9.A
10.B
11.x≥0且x≠3
12.3
13.y=−2x+1
14.4 2dm
15.12
16.245
17.(22020,22020)
18.解：(1)15 3+ 27− 48
=15 3+3 3−4 3
=14 3；
(2)23 9x+6 x4−x 1x
=2 x+3 x− x
=4 x．
19.解：∵a=2+ 3，b=2− 3，
∴a−b=2 3，ab=1，
原式=ab(a−b)=1×2 3=2 3．
20.解：(1)本次调查共抽取的学生有4÷10%=40(人)．
上交作品2件的人数为40−4−8−12−6=10(人)．
上交作品2件的人数所占的百分比1040×100%=25%，
补全两幅统计图如图：

(2)所抽取学生上交作品件数的众数为3，
所抽取学生上交作品件数的中位数为2+22=2；
(3)所抽取学生上交作品件数的平均数140×(4×0+8×1+10×2+12×3+6×4)=2.2，
1200×2.2=2640(件)，
答：估计上交的作品一共有2640件．
21.(1)证明：∵AD//BC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)解：如图2，延长BA、CM交于点E，
∵M为AD的中点，N为AB的中点，BN=2．
∴AM=DM，AN=BN=2，
∴AB=2BN=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，
∵AB//CD，
∴∠E=∠DCM，
又∵∠AME=∠DMC，
∴△AEM≌△DCM(AAS)，
∴AE=DC=4，
∵∠BNC=∠E+∠NCE=2∠DCM，
∴∠NCE=∠E，
∴CN=EN=AE+AN=4+2=6，
∴BC= CN2−BN2= 62−22=4 2．
22.解：(1)由函数图象可得：A、C两地之间的距离为600km，甲到达C点用时(11−1)÷2=5ℎ，乙到达C点用时11−1=10ℎ，
∴甲的速度为600÷5=120km/ℎ，乙的速度为600÷10=60km/ℎ；
(2)由函数图象可得乙机从B地到C地行驶过程对应函数图象为EF，点E(5,240)，F(11,600)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
则240=5k+b600=11k+b，
解得：k=60b=−60，
∴y与x的函数关系式为y=60x−60(5≤x≤11)；
(3)如图，

①当甲车到达C地前时，由函数图象可得G(5,600)，D(4,240)，
由待定系数法同理可得：OG的解析式为：y=120x；OD的解析式为：；y=60x，
由两车相距120米，则：120x−60x=120，
解得x=2，
②当甲车到达C地返回，乙从B到C过程中相距120米，
由函数图象可得：H(6,600)，I(11,0)，
由待定系数法同理可得：y=−120x+1320，
由(2)可得直线EF的解析式为：y=60x−60，
∴|−120x+1320−(60x−60)|=120，
解得：x=7或253，
综上，两车经过2ℎ或7ℎ或253ℎ相距120米．
23.(1)AE=AF．
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF(ASA)．
∴AE=AF．
(2)解：周长是变化的．
由△ABE≌△ACF(ASA)得到BE=CF，所以CF+CE=BC，
当AE、AF最短时，即AE⊥BC、AF⊥CD，周长最小，
周长最小值为4+4 3；
(3)证明：
过点P作PM⊥BC、PN⊥CD，垂足分别为M、N．
∴∠PME=∠PNF=90°，∵在菱形ABCD中，
CA平分∠BCD，∴PM=PN，
∵∠BCD=120°，∠EPF=60°，
∴∠PEC+∠PFC=360°−(120°+60°)
=180°，
∵∠PFN+∠PFC=180°，
∴∠PEC=∠PFN，
又∵∠PME=∠PNF，PM=PN，∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．
24.解：(1)令y=0得nx−5n=0，
解得x=5，
∴A(5,0)；
(2)如图1.1，作EH⊥y轴于H，EK⊥x轴于K，
设E(a,b)，
令x=0得y=0−5n=−5n，
∴OB=−5n，
∵点B为线段AE的中点，
∴BE=AE，
在△EHB和△AOB中，
∠EHB=∠AOB=90°,∠EBH=∠ABOBE=AE，
∴△EHB≌△AOB(AAS)，
∴EH=OA=5，BH=OB=−5n，
∴a=−5，b=OB+BH=2×(−5n)=−10n，
将a=−5，b=−10n代入l2：y=x−15n得：−10n=−5−15n，
∴n=−1，
∴直线l2：y=x+15，
令y=0得x+15=0，
解得x=−15，
∴C(−15,0)，
∴AC=CO+OA=15+5=20，EK=10，
∴S△AEC=12⋅AC⋅EK=12×20×10=100；
(3)存在，理由如下：
由(2)知，n=−1，
∴b=−10n=10，
∴E(−5,10)，
∴KO=5，EK=10，
∴CK=CO−BK=15−5=10=EK，KA=KO+AO=5+5=10=KE，
又∵∠EKC=∠EKA=90°，
∴△EKC和△EKA都为等腰直角三角形，
∴∠CEK=∠AEK=45°，
∴∠AEC=∠CEK+∠AEK=90°，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴以A，E，M，N为顶点的正方形，共有下列两种情况，
①如图1.2，过N1作N1F⊥x轴交x轴于点F，
∵∠FAN1=180°−∠EAK−90°=180°−45°−90°=45°，
∴∠AN1F=90°−∠FAN1=90°−45°=45°=∠FAN1，
∴AF=FN1，
∵AE=AN1，∠EAK=∠AEK=∠FAN1=∠AN1F=45°，
∴△AEK≌△AN1F(ASA)，
∴N1F=EK=10，AK=AF=5+5=10，
∴OF=AF+AO=10+5=15，
∴N1(15,10)；
②如图1.3，
∵四边形AEM1N为正方形，
∴点E和点N关于x轴对轴，E(−5,10)，
∴N2(−5,−10)，
综上，存在以A，E，M，N为顶点的正方形；所有满足条件的N点坐标为N1(15,10)或N2(−5,−10)；
(4)如图2所示，过点F作FG⊥x轴交x轴于点G，
∵线段PA绕点P逆时针方向旋转90°至PF，
∴∠APF=90°，PA=PF，
∴∠APO+∠FPG=90°，
∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠FPG=∠PAO，
∵∠FGP=∠POA=90°，
∴△FGP≌△POA(AAS)，
∴GP=OA=5，OP=FG=t，
∴F(t,t+5)，
∴F点在直线y=x+5上运动，
∴令x=0得，y=5，令y=0得x=−5，
∴Q(−5,0)，R(0,5)，
作A点关于直线y=x+5的对称点A′，连A′O，
∵AO=RO=5，OR=OQ=5，∠AOR=90°，
∴∠ARO=45°，∠RQO=∠QRO=45°，
∴∠ARQ=∠ARO+∠ORQ=90°，
∴线段AA′过点R，
∴AR=A′R，
∴AQ=A′Q=5+5=10，
∵∠AQR=45°
∴∠AQR=∠A′QR=45°，
∴∠A′QA=∠A′QR+∠AQR=45°+45°=90°，即A′Q⊥AQ
∴A′(−5,10)，
∵AF+OF=A′F+OF≥OA′，
∴AF+OF最小值即为OA′的长，
∴OA′= 52+102=5 5，