2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市建华区下学期八年级期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市建华区下学期八年级期末数学检测试卷，共49页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初二数学试题一、选择题（每小题 3 分，满分 30 分）
1 ．下列各式中，一定是二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ． /6
2 ．下列各组数据中，能构成一个直角三角形三边的是( )
A ．2 ，4 ， B ．2 ，3 ， C ．5 ，7 ，9 D ． ， ，
23
3 ．若正比例函数y = (1- 2m)x 的图象经过点A (x1, y1 ) 和点B (x2, y2 ) ，当x1 > x2 时， y1 > y2 ，则 m 的取值范围是( )
A ．m < 0 B ．m > 0 C ． D ．
4 ．下列属于菱形具有而矩形不具有的性质是( )
A ．两组对边分别平行且相等 B ．两组对角分别相等
C ．对角线相互平分 D ．对角线相互垂直
5 ．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计 结果如下表所示：
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是( )
A ．众数是 5 B ．平均数是4.5
C ．中位数是 5 D ．众数和平均数相同
6 ．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离 分别为 400m ，600m ．他从家出发匀速步行 8min 到公园后，停留 4min，然后匀 速步行 6min 到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为 x（单 位：min），则下列表示 y 与 x 之间函数关系的图象中，正确的是( )
月用水量
（吨）
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
B．
A．
C．
D．
7 ．我们规定：对于任意的正数 m 、n 的运算“Φ ”为当m < n 时， 当m ≥ n 时 其他运算符号意义不变，按上述规定，计算
(3Φ2) - (8Φ12) 的结果为( )
A ． B ． C ． D ．
8 ．如图，在 △ABC 中，上ABC = 90° , AC = 9 ，BC = 7 ，D ，E 分别是AB ，AC 的 中点，连接DE ，BE ，点 M 在CB 的延长线上，连接DM ，若 上MDB = 上A ，则四 边形DMBE 的周为( )
A ．12 B ．14 C ．16 D ．20
9 ．小明同学对数据 22，22，36，4■ , 52 进行统计分析，发现其中一个两位数的 个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是( )
A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．以上都无关
10 ．如图，在正方形OABC 中，点A (4, 0) ，D 为AB 上一点，且BD = 1 ，连接OD ， 过点C 作CE 丄 OD 交OA 于点E ，过点D 作 MN∥CE ，交x 轴于点M ，交BC 于点N ， 则点M 的坐标为( )
A ．(çè , 0 B ． ç , 0 C ．(çè , 0 D ．(7, 0)
二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分）
11 ．若式子 有意义，则 x 的取值范围是 ．
12 ．已知。ABCD ，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加一个条件， ，使得
。ABCD 是菱形．
13 ．一组数据 1 、3 、4 、5 、x 、9 的众数和中位数相同，那么 x 的值是 ．
14 ．如图，在。ABCD 中，AD = 4, BD = 8 ．分别以点A, B 为圆心，以大于 AB 的长 为半径画弧，两弧交于点E 和点F ；作直线 EF ，交BD 于点G ，连接GA ．若GA 与AD 恰好垂直，则GA 的长为 ．
15 ．如图，一次函数y = kx + b 的图像与y 轴、x 轴分别交于点A，B，与正比例函 数y = x 的图像相交于点C ，则关于x 的不等式kx + b - x ≥ 0 的解集为 ．
16 ．在矩形 ABCD 中，AD=5，AB=4，点 E，F 在直线 AD 上，且四边形 BCFE
为菱形，若线段 EF 的中点为点 M，则线段 AM的长为 ．
17 ．如图，矩形ABCO 的对角线AC 、OB 交于点A1 ，直线 AC 的解析式
,过点 A1 作A1O1 丄 OC 于O1 ，过点 A1 作A1B1 丄 BC 于B1 ，得到第二个矩 形A1B1CO1 ，A1C 、O1B1 交于点A2 ，过点A2 作A2 O2 丄 OC 于O2 ，过点A2 作A2B2 丄 BC 于 B2 ，得到第三个矩形A2B2 CO2 ，… , 依此类推，这样作的第n 个矩形对角线交点An 的坐标为 ．
三、解答题（本题共 6 道大题，共 69 分）
18 ．计算：
(1) 18 - 45 + 3 2 - 25
(3) (3 + 5)(3 - 5)
19．为切实加强中小学生交通安全教育．某中学开展了“交通安全进校园”培训活 动．为了解培训效果，该校组织学生进行了交通安全知识竞赛，将学生的百分制 成绩用 5 级记分法呈现：“ x < 60 ”记为 1 分，“ 60 ≤ x < 70 ”记为 2 分，“ 70 ≤ x < 80 ”记 为 3 分，“ 80 ≤ x < 90”记为 4 分，“ 90 ≤ x ≤ 100 ”记为 5 分．现随机将全校学生以 20 人为一组进行分组，并从中随机抽取了 3 个小组的学生成绩进行整理，绘制统计 图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第 2 小组得分扇形统计图中，“得分为 1 分”这一项所对应的圆心角为_____ 度；
②请补全第 1 小组得分条形统计图；
(2) a = _____ ，b = _____ ，c = _____；
(3)已知该校共有 3000 名学生，以这 3 个小组的学生成绩作为样本，请你估计该 校有多少名学生竞赛成绩不低于 90 分．
20 ．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE 丄 BC 于点E ， 延长BC 至F ，使 CF = BE ，连接DF ．
(1)求证：四边形AEFD 是矩形；
(2)若AC = 6 ，上ABC = 60° ,求矩形 AEFD 的面积．
平均 数
中位 数
众 数
第 1
小组
3.9
4
a
第 2
小组
b
3.5
5
第 3
小组
3.25
c
3
21 ．在一条公路上依次有 A ，B ，C 三地，甲车从A 地出发匀速驶向C 地，途经B 地时接到紧急任务立即原路原速返回A 地（调头时间忽略不计），乙车从 C 地出 发匀速行驶到达B 地休息，半小时后继续匀速驶往A 地，结果比甲车早半小时到 达A 地．如图是甲、乙两车距C 地的距离y (km) 与甲车行驶时间x (h ) 之间的函数 图像，结合图像回答下列问题：
(1) A 、B 两地的距离为是_____ km ，甲车的速度是_____ km / h ，乙车到达B 地之 前的速度是_____ km / h ；
(2)求图像中线段EF 的函数解析式；
(3)直接写出乙车到达B 地休息前，甲、乙两车出发多长时间， 两车与B 地的距离 相等．
22 ．综合与实践
在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． 【动手操作】
操作一：对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；
操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部的点M 处，把纸片 展平，连接PM ，BM ．
如图 1，若AB = 2 ，当点M 在EF 上时， 上PBC = _____度，延长PM 交 CD 于点Q ， 若点Q 恰好与点C 重合，BC = _____；
【迁移探究】
“奋斗小组”受到启发，将矩形纸片ABCD 更换为正方形纸片ABCD ，按操作一、 二进行操作．
（1）如图 2，当点M 在EF 上时，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ，上CBQ = _____ 度；
（2）如图 3，延长PM 交CD 于点Q，连接BQ，猜想MQ 与CQ 的数量关系为 _____，证明你的猜想；
（3）若正方形的边长为 4，改变点P 在边AD 上的位置，延长PM 交CD 于点Q ， 若FQ = 1，则 DP 的长为_____．
23 ．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA, OC 分别落在x 轴，y 轴上，且OA = 8 ， OC = 5 ，点N 是线段OA 的中点，MN 丄 OA 交CB 于点M ，G 在MN 上，且OG = OC ， 射线OE 平分上GOC ，交 CM 于点E ，连接EG ．
(1)求点G 的坐标，
(2)求直线OE 的解析式；
(3)若直线y = mx + n 平行于直线OG ，且与矩形 ABMN 的边有 2 个公共点，则n 的 取值范围是_____；
(4)若点P 为线段OE 上一动点，过点P 作PQ 丄 OG于点Q ，连接PG, F 在BC 边上， 且EF 的长度是PG +PQ 的最小值，在矩形OABC 的边上存在一点D ，使 △EFD 是等 腰三角形，直接写出D 点坐标．
1 ．D
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义，逐一分析即可解答．
【详解】解：选项 A： ，根指数为 2，但被开方数 x 的符号不确定．当x < 0 时， 、无 意义，因此不一定是二次根式．
选项 B： 3/5 是立方根，不符合二次根式根指数为 2 的要求，直接排除．
选项 C： 、/1- m ，根指数为 2，但被开方数1- m 的符号取决于 m 的取值．当 m > 1 时， 1- m < 0 ，此时式子无意义，因此不一定是二次根式．
选项 D： 、/6 ，根指数为 2，被开方数 6 恒为正数，无论何种情况都满足二次根式的条件， 因此一定是二次根式．
故选 D．
2 ．B
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边 的平方，最后看看是否相等即可．
解
:2 ，4 ， ·、 不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
:2 ，3 ， ·、13 可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C 、∵ 52 + 72 = 25 + 49 = 74 ≠ 92 ，
:5 ，7 ，9 不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
: · , , ·、23 不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
故选：D．
3 ．C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．准确理解一次函数图象的性质，确定y 随x 的变化情况是解题的关键．由题目所给信息“当x1 > x2 时 y1 > y2 ”可以知道，y 随x 的增
大而增大，则由一次函数性质可得1- 2m > 0 ，即可求解．
【详解】解： Q 正比例函数y = (1- 2m)x 的图象经过点A(x1, y1 ) 和点B(x2, y2 ) ，当x1 > x2 时， y1 > y2 ，
: 1- 2m > 0 ， 解得：
故选：C．
4 ．D
【分析】此题考查了菱形和矩形的性质，
菱形和矩形均为平行四边形，具备平行四边形的共同性质．菱形特有的性质是对角线互相垂 直，而矩形的对角线相等但不垂直．
【详解】A：两组对边平行且相等是平行四边形的共同性质，菱形和矩形均满足，排除．
B：两组对角相等是平行四边形的共同性质，菱形和矩形均满足，排除．
C：对角线互相平分是平行四边形的共同性质，菱形和矩形均满足，排除．
D：菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线仅相等且平分，不垂直．此性质为菱形独有， 符合题意．
故选：D．
5 ．A
【分析】本题主要考查了求众数、平均数、中位数等知识点， 熟练掌握求众数、平均数、中 位数的方法是解题的关键．
根据众数、平均数、中位数的定义逐项判定即可解答．
【详解】解： A．众数是出现次数最多的数据，用水量 5 吨的户数最多（8 户），故众数为 5 吨，选项 A 正确，符合题意；
B ．平均数为(3 × 4 + 4 × 6 + 5 × 8 + 6 × 2) ÷ 20 = 4.4 吨，选项 B 错误，不符合题意；
C ．中位数是数据从小到大排列后，第 10 和第 11 个数据分别为 4 吨和 5 吨，中位数为 吨，选项 C 错误，不符合题意；
D ．众数为 5 吨，平均数为 4.4 吨，两者不同，选项 D 错误，不符合题意． 故选 A．
6 ．C
【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．
【详解】解：吴老师家出发匀速步行 8min 到公园，表示从(0 ，400)运动到(8 ，0)； 在公园，停留 4min，然后匀速步行 6min 到学校，表示从(12 ，0)运动到(18 ，600)；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的图象， 解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程 对应的函数图象．
7 ．A
【分析】本题考查了新定义下的实数运算， 涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运 算的法则是解题的关键．根据定义的新运算法则，分别计算3Φ2 和8Φ12 的值，再进行相减。
解：∵当m ≥ n 时
∵当m < n 时
则(3Φ2) - (8Φ12) = (2 - )- (4 + 2) = -5 ．
故选：A．
8 ．C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性 质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．根据三角形中位线的性质可得
根据平行线的性质可得上ADE = 上ABC = 上DBM = 90° ,利用 ASA 可证明 △ 可得 即可证明四边形DMBE 是 平行四边形，进而可得四边形DMBE 的周长，即可得答案．
【详解】解：∵ AC = 9 ，BC = 7 ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点， : DE Ⅱ ∵ 上ABC = 90° ,
: 上ADE = 上ABC = 上DBM = 90° ,
在 △ADE 和△DBM 中 ∴ △ADE ≌△DBM ，
∴四边形DMBE 是平行四边形，
∴四边形DMBE 的周长为 故选：C．
9 ．B
【分析】本题考查平均数、中位数、方差， 根据平均数、中位数、方差的定义， 分析被污染 数字对各统计量的影响即可．
【详解】解： 平均数：所有数据之和除以数据个数，被污染数字会影响总和，从而影响平均 数；
中位数：将数据从小到大排列后，中间位置的数即为中位数．原数据为 22 ，22 ，36 ，4■
（40-49），52，无论 4■的个位数字如何，排序后均为 22 ，22 ，36 ，4■ , 52，第三个数始终 为 36，因此中位数固定为 36，与被污染数字无关；
方差：基于数据与平均数的差的平方计算，若平均数改变，方差也会随之改变，因此与被污 染数字有关；
综上可知，统计量与被污染数字无关的是中位数，有关的是平均数、方差， 故选 B．
10 ．B
【分析】本题考查正方形与一次函数综合应用，解题的关键是求出E 的坐标，从而得出直线 CE 的解析式． 由 OABC 是正方形， A (4, 0) ，得 OA = OC = AB = 4 ， ÐAOC = ÐOAB = 90° , 又BD = 1，知 AD = 3 ，D(4,3)，根据CE 丄 OD ，可证明 △COE≌△OAD (ASA ) ，即知
OE = AD = 3 ，E (3, 0) ，设直线CE 为y = kx + b ，用待定系数法可得直线CE 为 ， 根据MN ⅡCE 设直线 可得直线 令y = 0 即可得
【详解】解：QOABC 是正方形，A (4, 0) ， : OA = OC = AB = 4 ， ÐAOC = ÐOAB = 90° , Q BD = 1 ，
: AD = 3 ，D(4,3)， Q CE 丄 OD ，
:ÐDOE = 90° - ÐCEO = ÐOCE ， 在 △COE 和△OAD 中，
:△COE≌△OAD (ASA ) ，
: OE = AD = 3 ，
:E (3, 0) ，
设直线CE 为y = kx + b ，把C(0,4) ，E (3, 0) 代入得：
解得
:直线CE 为
由MN ⅡCE 设直线 把D(4,3)代入得 解得
:直线MN 为
解得
故选：B．
11 ．x ≥ -2 且x ≠ 0
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据分
式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式即可． 解：∵式子 有意义，
: í
ìx + 2 ≥ 0
lx ≠ 0 ，
解得：x ≥ -2 且x ≠ 0 ．
故答案为：x ≥ -2 且x ≠ 0 ．
12 ．AD = DC （答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定， 熟悉菱形的判定是解题的关键；根据菱形的判定添加条件 邻边相等或对角线相互垂直等，即可求解，因此答案不唯一．
【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， :当AD = DC 时，。ABCD 为菱形；
故答案为：AD = DC （答案不唯一）．
13 ．4
【详解】解：数据共有 6 个，中位数应是从小到大排列后的第 3 个和第 4 个数据的平均数， 由题意知，第 4 个数可能是 4 或 5，当是 4 时，中位数是 4，当是 5 时，中位数是 4.5，
由题意知，x 只能是 4 时，才能满足题意．
故填 4．
14 ．3
【分析】由题意可得，EF 是AB 的垂直平分线，所以GA = BG ，根据勾股定理即可求解答 案．
【详解】解：由题意可得，EF 是AB 的垂直平分线， : GA = BG
设GA = BG = x ，则 DG = 8 - x ，
∵ GA 与AD 垂直，
: GA2 + AD2 = DG2 ，
即42 + x2 = (8 - x)2 ， 解方程得：x = 3 ， : GA = 3 ；
故答案为：3 ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质， 根据线段垂直平分线的 性质求出GA = BG 是解决本题的关键．
15 ．x ≤ 2
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握根据函数图象求解不 等式解集的方法是解题的关键．将不等式变形，结合函数图象，找出一次函数y = kx + b 图
象在正比例函数 图象上方（包括交点）时x 的取值范围．
【详解】解：不等式 可变形为
从函数图象角度看，就是一次函数y = kx + b 的函数值不小于正比例函数的函数值时 x 的取值．
∵两函数图象交点C 的横坐标为2 （由图象中C 点横坐标是2 ），
:当x ≤ 2 时，一次函数y = kx + b 的图象在 图象上方（包括交点），此时 成 立
: 不等式kx + b - x ≥ 0 的解集是x ≤ 2 ．
故答案为：x ≤ 2 ．
16 ．5.5 或 0.5．
【分析】两种情况： ①由矩形的性质得出 CD=AB=4，BC=AD=5 ，∠ADB=∠CDF=90°, 由菱 形的性质得出 CF=EF=BE=BC=5，由勾股定理求出 DF，得出 MF，即可求出 AM；②同① 得出 AE=3，求出 ME，即可得出 AM 的长．
【详解】解：分两种情况：①如图 1 所示：
∵四边形 ABCD 是矩形，
:CD=AB=4 ，BC=AD=5 ，∠ADC=∠CDF=90° , ∵四边形 BCFE 为菱形，
:CF=EF=BE=BC=5，
:AF=AD+DF=8 ， ∵M 是 EF 的中点，
:AM=AF -DF=8 -2.5=5.5；
②如图 2 所示：同①得：AE=3，
∵M 是 EF 的中点， :ME=2.5，
:AM=AE -ME=0.5；
综上所述：线段 AM的长为： 5.5，或 0.5；
故答案为 5.5 或 0.5．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，熟练分运用矩形与菱形的性质解题是关键.
17 ．
【分析】由矩形的性质和一次函数的性质，先求出OA = ，OC = 1 ，然后矩形的性质和三 角形的中位线定理，求出O1C 和A1O1 ，根据规律，即可得到On C 和AnOn ，从而求出点 An 的 坐标．
【详解】解：根据题意，
∵直线AC 的解析式为y = - x + ， 令 x=0，则 y = 、 ；令 y=0，则 x = 1 ，
: OA = 、 ，OC = 1 ，
由矩形的性质，则点
同理可求 ，A2 O2 = A1O1 = = · ()2 ；
……
:点An 的坐标为 故答案为
【点睛】本题考查了矩形的性质， 一次函数的性质，三角形的中位线定理，坐标与图形的规 律，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点的规律进行解题．
18 ．(1) -、
(3)13
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，二次根式的加减法，乘除法，利用二次根式的 性质化简，理解相关知识是解答关键．
（1）先结合求一个数得绝对值化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解；
（2）根据二次根式乘除法的运算法则求解；
（3）根据平方差公式进行计算求解；
【详解】（1）解：原式 = 3 2 - 3 + 2 - 3
= - ·、 ；
解：原式
= -2 ；
解：原式
= 63 - 50 = 13 ；
19 ．(1)①18 @见解析
(2)5 ，3.5 ，3
(3)900 名
【分析】（1）①先算出“得分为 1 分”所占扇形统计图的百分比，再用360乘该百分比得到 圆心角度数．@根据第 1 小组总人数为20 人，结合已知各分数人数，求出得 4 分的人数， 进而补全条形统计图．
（2）a 是第 1 小组众数，找出现次数最多的分数；b 是第 2 小组平均数，用各分数乘以对 应百分比再求和；c 是第 3 小组中位数，将数据排序后找中间位置的数．
（3）先算出 3 个小组中成绩不低于 90 分（即 5 分）的总人数占抽取总人数的比例，再用该 校总人数乘该比例估算．
【详解】（1）解：① Q扇形统计图百分比和为1，各分数百分比分别为 40% （5 分）、 10% （4 分）、 15% （3 分）、 30% （2 分）
:“得分为 1 分”的百分比为1- 40% -10% -15% - 30% = 5%
: 圆心角为360 × 5% = 18 故答案为：18；
@ Q第 1 小组共20 人，得 1 分1人，2 分2 人，3 分3 人，5 分8 人
:得 4 分的人数为20 -1- 2 - 3 - 8 = 6 人 补图如下：
（2）解：第 1 小组中 5 分出现8 次，次数最多，
: a = 5
b = 1 × 5% + 2 × 30% + 3 × 15% + 4 × 10% + 5 × 40%
= 0.05 + 0.6 + 0.45 + 0.4 + 2
= 3.5
第 3 小组共20 人，将得分排序后，第 10 、11 个数据的平均数为中位数，由折线图可知数据 分布，中位数是3 ，
:c = 3 ，
故答案为：5 ，3.5 ，3；
解 （名），
答：估计该校 3000 名学生中大约有 900 名学生竞赛成绩不低于 90 分．
【点睛】本题主要考查了统计的相关知识， 包括扇形统计图、条形统计图、折线统计图的应 用，以及平均数、中位数、众数的计算和用样本估计总体， 熟练掌握统计图表的分析方法和 统计量的计算是解题的关键．
20 ．(1)见解析
S 矩形
【分析】（1）先利用菱形对边平行且相等的性质，结合CF = BE 推出AD 与EF 平行且相等， 证得四边形AEFD 是平行四边形，再依据AE 丄 BC 得到一个直角，从而证明它是矩形．
（2）根据菱形性质和 7ABC = 60判定VABC 是等边三角形，结合AC = 6 求出BC 、BE 、AE 的长度，再利用矩形对边相等得出AD （即 BC ）和 AE 的长度，进而计算矩形面积．
【详解】（1）证明：Q 四边形 ABCD 是菱形， \AD ⅡBC ，AD = BC ，
Q CF = BE ，
:BE + CE = CF + CE ，即 BC = EF ，
: AD = EF ，
又Q AD Ⅱ EF ，
: 四边形 AEFD 是平行四边形， Q AE 丄 BC ，
:ÐAEF = 90° ,
: 四边形 AEFD 是矩形
（2）解：Q 四边形ABCD 是菱形，
:AB = BC
Q 上ABC = 60° ,
:△ABC 是等边三角形， : EF = BC = AC = 6
Q AE 丄 BC ，
: 上AEB = 90 ° ,
: 上BAE = 90° - 60° = 30° ,
: S矩形AEFD = 6 × 3 = 18
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质， 熟练 掌握菱形和矩形的性质，以及等边三角形的判定是解题的关键．
21 ．(1)120 ，40 ，30
(2) y = 80x - 215 (4 ≤ x ≤ 5.5)
小时或 小时或 5h
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图 象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．
（1）由甲车的图象可知 A 地到 C 地路程为225km ，B 地到 C 地路程为105km ，则 A 地到 B 地路程为225 -105 = 120(km) ，甲车到达 B 地路程为120km ，到达后返回，所用时间为 6h ， 根据速度= 距离 ÷ 时间即可求得甲车的速度；根据乙车的图象可知，乙车到达 B 地之前的路 程为105km ，所用时间为 3.5h ，根据速度= 距离 ÷ 时间即可求得乙车到达B 地之前的速度；
（2）由题意和图象结合已知条件可知E(4,105) 和点F(5.5, 225) ，再利用待定系数法求出 y 与x 的关系式即可得答案；
（3）分两车到达 B 地之前和甲车到达B 地时立即原路原速返回A 地后、乙货车休息半小时 后继续驶往A 地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x 的值即可得答案．
【详解】（1）解：由甲车的图象可知 A 地到 C 地路程为225km ，B 地到 C 地路程为105km ， 则 A 地到 B 地路程为225 -105 = 120(km) ，
甲车的速度为(225 -105) ÷ (6 ÷ 2) = 40(km / h) ，
根据乙车的图象可知，乙车到达 B 地之前的速度是105 ÷ 3.5 = 30(km / h) ，
故答案为：120; 40;30 ．
（2）解：6 - 0.5 = 5.5h ，3.5 + 0.5 = 4h ，
根据题意和图象可知E(4,105) 和点F(5.5, 225) ， 设yEF = kx + b(4 ≤ x ≤ 5.5) ，
解得：
:线段EF 的函数解析式y = 80x - 215(4 ≤ x ≤ 5.5) ．
（3）解：设甲车出发 xh ，甲、乙两车与 B 地的距离相等，
①两车到达B 地之前：105 - 30x = 120 - 40x ，
解得： ，
②甲车到达B 地时开始返回，乙车未到达B 地：105 - 30x = 40x -120 ， 解得： ，
③甲车在B 地休息后驶往 A 地时：80x - 215 -105 = 40x -120 ，
解得：x = 5 ，
答：经过 或 或 5h 甲、乙两车与B 地的距离相等．
22 ．动手操作: 60 ， ；迁移探究: （1）15° ；(2)MQ = CQ ，理由见解析；（3）
【分析】动手操作： 利用矩形对折后EF 是中垂线，结合折叠性质得到线段相等，再通过等 边三角形的判定及性质的关系推导角度．依据折叠性质确定线段相等关系，结合矩形对边相 等，利用勾股定理列方程求解．
迁移探究：
（1）利用正方形对折和折叠性质，结合等腰三角形及角的和差关系，推导Ð CBQ 度数．
（2）通过折叠得 AB = MB ，正方形中 AB = BC ，转化为MB = BC ，再用“HL ”证明 Rt △BMQ≌Rt△BCQ，得出MQ 与CQ 数量关系．
（3）设DP 为未知数，根据折叠性质表示相关线段，结合勾股定理与FQ 长度分情况列方程 求解．
【详解】动手操作：连接 AM ，
由操作一，对折矩形 ABCD 使AD 与BC 重合，折痕EF 是矩形中垂线， : AE = EB （AB = 2 ，则 BE = 1 ）．EM 丄 AB ，
: AM = BM
操作二沿BP 折叠，AB = MB = AM = 2 ，上ABP = 上PBM : △ABM 是等边三角形，
: 上ABM = 60° , 上ABP = 上上ABM = 30° .
: Ð ABC = 90° ,
: Ð PBC = 90° - 30° = 60° .
延长PM 交CD 于Q 且Q 与C 重合，
: 上ABC = 90°, 上ABP = 上PBM = 30° ,
: 上MBC = 90° - 30° - 30° = 30上 = 上PBM ，
由折叠可得上BMP = 上BAP = 90° = 180° - 90° = 上BMC，BM = AB = 2 ，
解得 ．
故答案为：60° , ;
迁移探究：
（1）连接 AM ，
由操作一，对折正 ABCD 使AD 与BC 重合，折痕EF 是中垂线， : AE = EB ．EM 丄 AB ，
: AM = BM
操作二沿BP 折叠，AB = MB = AM = BC ，上ABP = 上PBM : △ABM 是等边三角形，
: 上MBC = 90° - 60° = 30° ,
: BM = BC ，BQ = BQ ， Ð BMP = Ð BCQ = 90° , : Rt △BMQ≌Rt△BCQ (HL)，
（2）结论：MQ = CQ ，理由如下： Q 沿BP 折叠，
: AB = MB ， Ð A = Ð BMP = 90° （折叠性质 ）． Q 四边形ABCD 是正方形，
: AB = BC ，上A = Ð C = 90° = 180° - 90° = Ð BMQ （正方形性质 ）．
:MB = BC ，．
又QBQ = BQ （公共边 ），
:Rt△BMQ≌Rt△BCQ (HL) ．
:MQ = CQ （全等三角形对应边相等 ）．
（3）设 DP = x ，则 AP = 4 - x ，由折叠得PM = AP = 4 - x ，AB = BM = 4 ． 操作一得EF 为 CF 的中垂线
QFQ = 1 ，
: CQ = CF ± FQ ，即CQ = 3 或CQ = 1．
情况一：CQ = 3
由（2）知MQ = CQ = 3 ，
:PQ = PM +MQ = (4 - x)+ 3 = 7 - x ．DQ = CD - CQ = 4 - 3 = 1， 在Rt△PDQ 中，根据勾股定理：
PQ2 = PD2 + DQ2 ，即 (7 - x)2 = x2 +12 ．
解得 ．
情况二：CQ = 1
由（2）知MQ = CQ = 1，
:PQ = PM +MQ = (4 - x)+1 = 5 - x ．DQ = CD - CQ = 4 -1 = 3 ，
在Rt△PDQ 中，根据勾股定理：PQ2 = PD2 + DQ2 ，即 (5 - x)2 = x2 + 32
解得 ．
【点睛】本题主要考查图形折叠性质、矩形与正方形性质、全等三角形判定（ HL ）与性 质、勾股定理．解题的关键是抓住“折叠前后对应边相等、对应角相等”，结合矩形或正方形 边与角的特性，通过全等三角形建立边的等量关系，或用勾股定理列方程求解，核心是利用 不变量（如折叠产生的相等线段、角 ）转化问题．
23 ．(1) (4, 3)
(2) y = 2x
(3) -6 < n < 2
【分析】（1）由勾股定理直接求解；
（2）可证明△OCE≌△OGE(SAS) ，则设CE = EG = x ，那么 EM = 4 - x ，MG = 5 - 3 = 2 在Rt△EMG 中，由勾股定理得(4 - x)2 + 22 = x2 ，解得： 则 再由待定系数 法求解即可；
（3）先求直线OG 解析式，由平行得到直线 再分别求出直线y = x + n 经过点 A, M 时所对应的n 的值，即可求解取值范围；
（4）过点 P ，G 作PH 丄 y 轴，GK 丄 y 轴，垂足为H, K ，则PF = PQ ，那么
PG +PQ = PG + PH ≥ GK ，故当点 G, P, H 三点共线且H, K 重合时， PG +PQ 取得最小值， 即为GK ，则GK = ON = 4 = EF ，再分三种情况讨论，利用勾股定理以及等腰三角形的性质 求解．
【详解】（1）解：∵ OA = 8 ，点 N 是线段OA 的中点，
: ON = 4 ，
∵ OC = OG = 5 ， ∵ MN 丄 OA ，
: G (4,3) ；
（2）解：∵射线OE 平分上GOC ， : 上COE = 上GOE
∵ OC = OG ，OE = OE ， :△OCE≌△OGE(SAS) ，
: CE = EG ，
设CE = EG = x ，
∵矩形AOCB ，MN 丄 OA
: 上C = 上AOC = 上ONM = 90° : CONM 为矩形，
: ON = CM = 4, OC = MN = 5 ，上EMG = 90° , : EM = 4 - x ，MG = 5 - 3 = 2
:在Rt△EMG 中，由勾股定理得EM2 + MG2 = EG2 ， : (4 - x)2 + 22 = x2 ，
解得： ，
设直线OE : y = px ， 则 p = 5 ，
则 p = 2 ，
:直线OE : y = 2x ；
（3）解：设直线OG : y = kx (k ≠ 0) ， 则代入G(4, 3) ，得 4k = 3 ，
解得： ，
:直线 ，
:直线y = mx + n 平行于直线OG ，
:直线y = mx + n 为 :矩形OABC ，MN 丄 OA ，
: M (4, 5)，
当直线 经过点M(4, 5) 时， 则
解得：n = 2 ；
当直线 经过点A(8,0) 时， 则
解得：n = -6 ，
:直线y = mx + n 与矩形ABMN的边有 2 个公共点，则n 的取值范围是-6 < n < 2 ；
（4）解：过点 P ，G 作PH 丄 y 轴，GK 丄 y 轴，垂足为H, K ，
:射线OE 平分上GOC ，PQ 丄 OG : PF = PQ ，
:PG +PQ = PG + PH ≥ GK ，
:当点G, P, H 三点共线且H, K 重合时，PG +PQ 取得最小值，即为GK ， : 上COA = 上MNO = 上GKO = 90° ,
:四边形OKGH 为矩形， : GK = ON = 4 = EF ，
当EF = ED = 4 时，此时D 在边CO 上，
当EF = FD = 4 时，此时点D 在边AB 上，
当DE = DF 时，此时点D 在边OA 上， 则点为EF 的垂直平分线与OA 的交点，
: EF 的中点为
综上：当 △EFD 是等腰三角形，则 或 或
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形 的定义，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵 活运用是解题的关键．