九年级人教版数学上册预习 专题13二次函数与实际问题（6大类型精准练+过关检测）（解析版）

这是一份九年级人教版数学上册预习 专题13二次函数与实际问题（6大类型精准练+过关检测）（解析版），共45页。试卷主要包含了二次函数的实际应用，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点一、二次函数的实际应用
1.利用二次函数解实际问题的步骤
(1)阅读并理解题意；
(2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；
(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
(4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解；
(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍，
2.二次函数的应用的常见类型
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【课前热身】
1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（ ）
A．最大值为5万元B．最大值为7万元
C．最小值为5万元D．最大值为6万元
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
（万元）；
故选：B．
2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，据此根据矩形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，．
故选：D．
3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．水位上升1米，则水面宽度变为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
根据题意构建平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，进而求解即可．
【详解】解：由题意可得如图所示平面直角坐标系：
该拱形的顶点为，与x轴的交点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，则有：，解得：，
∴此时水面宽为：，
故选：B．
4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：设的速度为a，
根据题意可得：的面积为，
∴最大值为：，
故选：C．
5．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润．
【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
【详解】解：根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为：6250，
此时售价为：元，
答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元．
6．（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少?
(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
【答案】(1)4s；
(2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．
【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值．
（2）将函数解析式配方成顶点式可得最值；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：（不合题意舍去），，
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s．
（2）解：，
当时，取得最大值m；
答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（22-23九年级上·广东东莞·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)喷头离地面的高度是多少？
(2)水流喷出的最大高度是多少？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？
【答案】(1)
(2)
(3)当米时，水流不落在池外
【分析】（1）喷头离地面的高度是二次函数与的交点，由此即可求解；
（2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解；
（3）水池的半径是当二次函数时，自变量的值，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，当时，，
∴喷头离地面的高度是米．
（2）解：，
∴二次函数的顶点坐标是，
∴水流喷出的最大高度是米．
（3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，，
∵，
∴，即当米时，水流不落在池外．
【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键．

【类型1】二次函数的应用：投球问题
1．（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论；
①该男生推铅球出手时，铅球的高度为；
②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为；
③铅球落地时的水平距离为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可．
【详解】解：将代入，
得，
解得，，
∴这名男生铅球推出的水平距离为，
故③正确，符合题意；
∵，
∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为，
故②正确，符合题意；
当时，，
故①错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解．
【详解】解：将代入，
，
解得：（舍去）
又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为，
∴该运动员投掷标枪的水平距离为米
故答案为：．
3．（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键．
（1）根据石块在空中飞行的最大高度为 10 米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为；
（2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为25米、垂直距离为 5米，得到点的横坐标为27，当时，，得到石块能飞越防御墙．
【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为，
．
石块运行的函数解析式为．
把代入解析式，得，
解得：．
．
（2）解：石块能飞越防御墙．
理由如下：
点与点的水平距离为，墙宽，
点的横坐标为．
把代入，
得
点与点的垂直距离为与轴平行，
点与点的垂直距离也为．
，
该石块能飞越防御墙．
4．（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米．
(1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）；
(2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？
【答案】(1)
(2)前移动
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可；
（2）求出时，即可解得．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为．
故可设抛物线的解析式为，
又抛物线过，
，
，
解析式为；
（2）当时，
即
（舍），，
，
应将布幔向前移动．
5．（2025·河南商丘·二模）如图，小明在距篮筐处跳起投篮，篮球的运动路径为抛物线，球在小明头顶上方处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，并且球被投中．以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求球离地面的高度和距原点的水平距离之间的函数解析式；
(2)已知小刚跳离地面时，最高能摸到，则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时，小刚在小明的右边且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球？
【答案】(1)
(2)小刚在小明的右边且与小明的距离在米之内能在空中截住球
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）当代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，
∴顶点坐标为，
∴设抛物线的解析为，把代入得，
，
解得．
∴函数解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴小刚在小明的右边且与小明的距离在米之内能在空中截住球．
【类型2】二次函数的应用：销售问题
6．（24-25九年级上·青海西宁·期中）某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键．先求出日销售量为件，再根据利润（售价支付厂家和其他的费用）日销售量即可得．
【详解】解：设每件产品售价为（元），则日销售量为件，
∵每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，
∴，
故选：D．
7．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答．
【详解】解：设，
把代入中得：，
；
设，
把代入中得：
，
解得：，
；
设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，
由题意得：
，
，
当时，，
，
当时，，
能获取的最大总利润是万元，
故选：D．
8．（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为．
(1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润；
(2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润．
【答案】(1)当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元
(2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
（1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解；
（2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
元，
答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；
（2）设销售利润为，根据题意得出
∵,
∴当时，利润最大，最大为：
答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元．
9．（24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件．
①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元．
②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元．
经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表：
(1)求与的函数关系；
(2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)总利润能达到1050元，购进A，B两种纪念品各150件
【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、二次函数的应用，找到等量关系是解答本题的关键．
（1）根据题意利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出二元一次方程组解出A商品的进货单价为8元，B商品的进货单价为2元，求出总利润为元，即可求解．
【详解】（1）解：设与的函数关系为，
根据表格可得：，
解得，
与的函数关系为；
（2）解：能达到，方案如下：设A商品的进货单价为元，B商品的进货单价为元，
根题意可得：，
解得：，
，
，抛物线开口向上，
，
当时，有最大值，最大值刚好为元，
购进A，B两种纪念品各150件，总利润能达到1050元．
10．（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示．
(1)每件商品在第50天出售时的利润是______元；
(2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式；
(3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？
【答案】(1)100
(2)
(3)从开始销售的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用．
（1）当时，设y与的函数关系式为，图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后将求得y的值，然后依据利润售价成本求解即可；
（2）当时，设y与的函数关系式为．图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与的关系式；
（3）抛物线的顶点坐标为，设商品的成本与时间的关系式为，然后可求得的解析式，然后由得到与的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为．
由题意得：，
解得：，，
，
当时，，
．
故答案为：100；
（2）解：由（1）知，当时，
当时，设与的函数关系式为．
由题意得：，
解得，，
与的关系式为．
综上所述，与之间的函数关系式为；
（3）解：设商品的成本与时间的关系式为．
将代入得：，
，
，
当时，取最大值为100，
元．
答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元．
【类型3】二次函数的应用：面积问题
11．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设，花圃面积为，则，
根据题意，，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为32，
故这个花圃的最大面积是，
故选：C．
12．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式．
设的长度为，则，即可得出．
【详解】解：设的长度为，则，
由题意得，，
故答案为：．
13．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m．
(1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______．
(2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）根据线段的和差关系求出，过A作于H，证明四边形是矩形，得出，，求出，根据等角对等边得出，再根据线段的和差关系求出，最后根据梯形的面积公式求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵新建墙总长15m，的长为，
∴的长为，
过A作于H，
∵，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）可知：
∵ 抛物线开口向下
抛物线的对称轴为
∴ 当时，储料场的面积最大．
14．（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米．
(1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
(2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？
【答案】(1)
(2)能，
(3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解；
（2）由题意易得，然后进行求解方程即可；
（3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：依题意得：，整理得：，
解得：；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
∴当时，围成的菜地面积为81平方米．
（3）解：∵墙的最大可用长度为15米，
∴，即，
解得，
根据题意得：，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为105，
∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米．
【类型4】二次函数的应用：拱桥问题
15．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，
则：O为原点，，，
设函数解析式为，把A点坐标代入得，
∴抛物线解析式为，
当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，
把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
∴此时的水面宽度为，
故选：C．
16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米．
【答案】40
【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，则可知点、的横坐标，从而可得的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
米，
故答案为：40．
17．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行）
【答案】(1)
(2)6米
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是：
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：当时，，
解得，，
∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞．
18．（2025·陕西西安·三模）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）．
(1)求a的值和抛物线的对称轴；
(2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计）
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得，再利用待定系数法求出函数解析式即可求出a的值，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可；
（2）求出当时的函数值，即可得到A和B的坐标，进而求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，
把代入到中得，解得．
∴抛物线的函数关系式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：令，得，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴．
∵，
∴，
即自动检票通道的总宽度为．
【类型5】二次函数的应用：喷水问题
19．（2025·甘肃天水·一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ）

A．4米B．3米C．2米D．1米
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可．
【详解】解：当时，解得或，
∴水喷出的最远水平距离是米，
故选：A．
20．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键．
【详解】解：选图中第一象限的抛物线，
由题意得，抛物线顶点坐标为，过点，
设抛物线解析式为，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
故选：．
21．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离．
(1)求水流所在抛物线的函数表达式；
(2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑．
①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到；
②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？
【答案】(1)
(2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会．
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可；
（2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，，
将其分别代入得：
，解得，
水流所在抛物线的函数表达式为：；
（2）解：①令，则，
解得，，
高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；
②令，则，
，
不会被水流直接喷到．
22．（2025·陕西西安·模拟预测）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不会喷射到护栏上，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键；
（1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解；
（2）将得出，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式为，
该抛物线经过原点，
，解得．
该抛物线的函数表达式为
（2）水柱不会喷射到护栏上
理由如下：
当时，
，
水柱不会喷射到护栏上
【类型6】二次函数的应用：动点问题
23．（24-25九年级上·天津河西·期中）如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．
①当时，的面积为
②有两个不同的值，都使的面积为
③面积的最大值为：
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③
【详解】解：①由题意得：根据题意得：，，
∴，
∴
，
当时，故①正确；
当时，
，
解得：，，
∵，
∴出发时间有两个不同的值满足的面积为，故②正确；
∵
∴当时，的面积最大，且最大值为，故③错误
故选：C．
24．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，等边的边长为是上一点，过点作的垂线，交于，用表示线段的长度，显然，的面积是线段的二次函数，则这个函数顶点式是 ．
【答案】
【分析】根据题意可知，，根据面积公式即可得到函数解析式，因为点是上一点，可列关于的一元一次不等式求出范围即可．
【详解】解：∵正三角形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴，
∴
∴，
∵是上一点，
∴，即：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形性质，含直角三角形三边关系，勾股定理，利用三角形面积公式列函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点．
25．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围；
(2)几秒时的面积等于？
【答案】(1)
(2)3秒
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质．
（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）把代入（1）的函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，；．
∴，
，
∴S关于t的函数解析式为；
（2）解：当时，，
整理得，即，
解得或（舍去），
答：3秒时，的面积等于．
26．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
(1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)1
(2)2或1.5
(3)点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理：
（1）根据题意可得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得到关于t的方程，即可求解；
（3）根据四边形的面积为，进而求出四边形的面积最小值．
【详解】（1）解： 根据题意得：，
∵P、Q两点的距离为，且，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）；，
即当t为1时，P、Q两点的距离为；
（2）解：根据题意得：，
∵的面积为
∴，
解得：或1.5，
即当t为2或1.5时，的面积为；
（3）解：根据题意得：，
∴的面积为，
∴四边形的面积为，
∵，
∴当时，四边形的面积取得最大值，最大值为．
即点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是．
一、单选题
1．（23-24九年级上·四川南充·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（ ）秒才能停下来？
A．10B．15C．20D．30
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解．
【详解】解：∵，
又∵，
∴当时，有最大值，
即飞机着陆后滑行20秒才能停下来．
故选：C．
2．（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确．
【详解】解：将代入，
得，
解得，，
∴这名男生铅球推出的水平距离为，
故①正确，符合题意；
∵，
∴铅球到达最高点时的高度为，
故②错误，不符合题意；
当时，，
解得，，
故③错误，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为多少米？
A．3.5B．1.5C．D．3.05
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意，将代入抛物线表达式求解即可．
【详解】（米）
∵抛物线的表达式为
∴将代入得，．
∴篮圈中心到地面的距离为3.05米．
故选：D．
4．（24-25九年级上·广西钦州·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（ ）
A．平方米B．108平方米C．平方米D．平方米
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用；设苗圃的一边长为米，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：设苗圃的一边长为米，面积为，
根据题意得，
∵墙最大可用长度为米
∴，即
当时，随的增大而减小，
∴当时，最大为平方米
故选：D．
5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数，二次函数．根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，，
∴y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
6．（2025·河南周口·一模）如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为．
①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为；
②若水面由位置l下降，水面宽度为；
③若水面由位置l下降，水面宽度增加．
以上结论正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解．
【详解】解：由题意可设二次函数关系式为，把点代入得：，
∴该二次函数的解析式为；故①正确；
②根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：，
解得：，
此时水面宽为；故②错误；
③根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：，
解得：，
∴水面宽度为，
∴水面宽度增加；故③正确；
综上所述：正确的个数有①③两个；
故选B．
7．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表：
①y与x之间的函数关系式为；
②当售价为72元时，月销售利润为7296元；
③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元；
④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案．
【详解】解：设y与x之间的函数关系式为,
把代入到中得：，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为,故①正确；
当时，，则此时利润为元，故②正确；
设月销售利润为元，
∴，
∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元，
∴（千克），即月销售量不超过千克，
∴当时，即，
解得：，
∴（元），故③错误；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确．
∴正确的有3个，
故选：C。
8．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ）
A．假山上的点B到水平地面的距离为
B．水平方向上的长度为
C．
D．抛物线与的对称轴相同
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项．
【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为，
当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为；
当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确；
由题意得，解得：，可知选项C正确；
由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题
9．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m．
【答案】6．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的关键．
根据题意得到，解方程即可得到结论．
【详解】解：，
当时，即，
解得，（不合题意，舍去），
该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米．
故答案为：6．
10．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，由剪去小正方形的边长，可得出折叠成的盒子的底面长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式
【详解】解：∵剪去小正方形的边长为，
∴折叠成的盒子的底面长为，宽为，
根据题意得：．
故答案为：．
11．（19-20九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．
【详解】解：在中，，，，
，
设运动时间为，则，，
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故答案为：15．
12．（24-25九年级上·吉林松原·期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为 米．
【答案】20
【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，将解析式化简为顶点式，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解．
【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴倒影点的坐标为，
∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为（米），
故答案为：．
13．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某电商以每件40元的价格购进某款T侐，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T侐在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T侐的定价为 元．
【答案】52
【分析】设销售单价为x元，获利为w元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键．
【详解】解：设销售单价为x元，获利为w元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得．
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，且距离对称轴远的函数值越小，
∵按照物价部门规定销售利润率不高于，即售价不能超过元，
∴，
∴当时，w取得最大值，
故答案为：52．
三、解答题
14．（24-25九年级上·新疆和田·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．
(1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
(3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？
【答案】(1)，；
(2)当，时面积等于；
(3)当x为时，矩形的面积最大，最大值为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，得出，根据面积公式列式计算，即可作答．
（2）把代入进行计算，即可作答．
（3）结合二次函数的图象性质，因为，则函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，∵，且篱笆长为以及宽建造一扇门，
∴，
∴，
∵墙的长度不超过44，
∴，
即；
（2）解：依题意，，
，（舍）
当，时面积等于；
（3）解：∵，
∴函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，
则在取值范围之内，
把代入，解得，
答：当x为时，最大值为．
15．（24-25九年级上·河北唐山·期末）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求抛物线的解析式：
(2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度；
(3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）．
【答案】(1)
(2)
(3)能
【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答．
（2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答．
（3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论．
【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为，
，O为AB的中点，，
点A，B的坐标分别为，
把代入，
得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度，
点M的横坐标为，点N的横坐标为5，
当时，，
照明灯距地面的高度为；
（3）能满足安装设计要求，理由如下：
依题意，电子显示屏是矩形，
∴（米）， （米），
如图：延长交抛物线于一点，设，
∵电子显示屏，为确保行车安全，
距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，
∴令，
则，
把代入中，
，
∴点F到地面距离为 (米)，
∵，
∴满足安装设计要求．
16．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题．
(1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）；
(2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由；
(3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？
【答案】(1)
(2)小球飞行高度能达到，此时秒．
(3)当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是．
【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令，解一元二次方程，即可求解；
（3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可设关于的二次函数关系式为，
将代入得
∴，
解得：．
∴关于的二次函数关系式为．
（2）当，，
解得：，（舍去）．
∴小球飞行高度能达到，此时秒．
（3）解：
∵
∴当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是．
17．（2025·山西大同·三模）综合与实践
为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．
(1)求a的值．
(2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？
(3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？
（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
【答案】(1)
(2)不能
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法，勾股定理，解直角三角形；
（1）通过待定系数法将点坐标代入抛物线中计算即可；
（2）将起火点高度代入抛物线方程，求出的解与16作比较，从而确定水流是否能到达；
（3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米，建立新的抛物线方程，当时，，代入求解，与10进行比较即可求出．
【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上，
代入中得，
，
解得：；
（2）解：不能，理由如下：
∵
∴抛物线解析式为：
∵该楼距离地面21米处出现一个起火点，
∴代入抛物线中，
得：，
整理：
解得：，
∴，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点；
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且，
设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米．
则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：，
根据题意得：
当时， ，即，
解得：，
当时， ，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当时， ，伸缩臂长为米，
∵>10， 不符合题意，舍去．
故伸缩臂应伸长米．
18．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）葫芦岛是中国东北地区重要的水果生产基地，以绥中白梨、兴城苹果、建昌核桃等水果闻名．其中，绥中白梨因独特风味被列为国家地理标志产品．某果园今年种植的绥中白梨喜获丰收，采摘上市后16天内全部售罄．该果园的果农对销售情况进行统计后发现，在白梨上市第x天时，日销售量P（单位：公斤）与销售天数x之间的函数关系为：，白梨的单价y（单位：元）与销售天数x之间的函数关系如图所示．
(1)当时，求y与x的函数解析式；
(2)设日销售额为W元，当时，求W的最大值．
【答案】(1)
(2)2860元
【分析】（1）依据题意，显然当时，，当时，用待定系数法求解析式；
（2）依据题意，分当时和当时两种情形进行计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】（1）当时，，
当时，设y关于x的函数解析式为
将，代入，得：，
解得
关于x的函数解析式为
综上所述，y关于x的函数解析式为
（2）当时，
，
此时w的最大值为2560元．
当时，
，抛物线开口向下，对称轴为的直线
，
当时，w随x的增大而增大．
当时，w取得最大值，最大值为．
，
当时，w的最大值为2860元．种件数
0
20
50
100
200
总售价
1500
1600
1750
2000
2500
售价x（元/千克）
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
250
240
230
220
…
飞行时间
飞行高度