人教版数学九年级上册期中复习专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训（2份，原卷版+解析版）

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题型一 用直接开方法解一元二次方程
题型二 用配方法解一元二次方程
题型三 用公式法解一元二次方程
题型四 用因式分解法解一元二次方程
题型五 用换元法解一元二次方程
题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型七 根据一元二次方程根的情况求参数
题型八 配方法的应用
【经典例题一 用直接开方法解一元二次方程】
【解题技巧】
开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.
形如的方程的解法：
当时，;
当时，;
当时，方程无实数根。
【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（ ）
A．16B．C．25D．或25
【变式训练】
1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线分别与的正半轴、的负半轴相交于两点，已知的面积等于，则的值为______．
3．（2023·上海·八年级假期作业）解关于的方程：．
【经典例题二 用配方法解一元二次方程】
【解题技巧】
配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。
【例2】（2023春·八年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．化为B．化为
C．化为D．化为
【变式训练】
1．（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若定义如果存在一个数i，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：方程的两根为___________（根用i表示）．
3．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值，
解：
∵，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求的最小值．
(4)已知，则的值为______．
【经典例题三 用公式法解一元二次方程】
【解题技巧】
公式法：一元二次方程的根
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；
当时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）
【例3】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，在他的几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠使落在线段上，点的对应点为点，折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
【变式训练】
1．（2021·浙江·九年级自主招生）已知正数x，y满足方程，求（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2022春·八年级单元测试）将方程化成一般形式为，则________，此方程的根是________．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
【经典例题四 用因式分解法解一元二次方程】
【解题技巧】
因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；
②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
（5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
（6）解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
【例4】（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5B．5或C．或D．5或
【变式训练】
1．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）若x为实数，且满足，则（ ）
A．B．C．或D．无法确定
2．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为___________
3．（2022秋·八年级单元测试）对于m，n，定义：若，则称m与n是关于1的“对称数”．
(1)填空：7与______是关于1的“对称数”； 与______是关于1的“对称数”；
(2)已知，其中a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，求a，b的值；
(3)若，且C与D是关于1的“对称数”，求满足条件的x的值．
【经典例题五 用换元法解一元二次方程】
【解题技巧】
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法；换元的实质转化，关键是构造圆和设元
【例5】（2021秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考阶段练习）若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．或5B．5C．D．3或
【变式训练】
1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习）已知x为实数，且，则的值为（ ）
A．4B．4或C．D．或3
2．（2023春·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考期中）已知方程的根为，，则方程的根是________．
3．（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【解题技巧】
了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。
（1）=
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）
①当方程有实数根；
（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）
②当方程无实数根；
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
【例6】（2023·山东日照·统考三模）对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根
【变式训练】
1．（2023·河北衡水·校联考二模）若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有一个根是
C．没有实数根D．有两个相等的实数根
2．（2021秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）若（a2﹣2a）2﹣9＝0，则代数式a2﹣2a的值为_____．
3．（2023·广东广州·校考一模）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
(3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例7】1（2023·宁夏银川·校考一模）已知关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．且
【变式训练】
1．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
2．（2023·山东济南·统考三模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的最大整数解是______．
3．（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
【经典例题八 配方法的应用】
【例8】（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0B．的最小值是
C．当时，为正数D．当时，为负数
【变式训练】
1．（2020·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏南通·九年级校联考阶段练习）若实数x，y满足关系式，则的最大值为______．
3．（2023·江苏扬州·统考二模）（1）数学活动小组在研究函数的图像时提出了下列问题：
①函数的自变量x的取值范围是 ；
②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限；
③阅读材料：当时，．
当时，即时，有最小值是2．
请仿照上述过程，求出当时，的最大值；
（2）当时，求的最小值；
（3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．
【重难点训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解一元二次方程时，配方后得到方程，则c等于（ ）
A．6B．4C．2D．
2．（2023·吉林长春·统考二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．B．0C．4D．8
3．（2023·浙江金华·校联考二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 （ ）．
A．B．C．且D．且
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式的最小值为（ ）．
A．B．0C．3D．5
5．（2023·河北沧州·模拟预测）已知直线与双曲线只有一个交点，将直线向上平移1个单位长度后与双曲线相交于，两点，，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河北邯郸·统考一模）在讲解一元二次方程时，老师故意把常数项“□”空下了，让同学们填一个正整数，使这个一元二次方程有两不等实根，问大家其中所填的值可能有（ ）
A．6个B．8个C．9个D．10个
7．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）对于一元二次方程，有下列说法：
①若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
②若方程有两个实数根，则方程一定有两个实数根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2023春·北京房山·八年级统考期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_________．
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
11．（2023·山东青岛·统考二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______．
12．（2022春·八年级单元测试）已知，则的值是_____．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
15．（2023·贵州贵阳·校考一模）（1）已知不等式，请你写出一个不等式______，使它与已知不等式组成的不等式组的解集为．
（2）在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如下：
小组在交流过程中发现甲、乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的做法有误______（填“甲”或“乙”），并根据该同学使用的方法写出正确的解答过程．
16．（2022春·八年级单元测试）已知关于的方程．
(1)求证：无论取什么数，方程总有两个实数根；
(2)若已知方程有一个实数根是，试求出另一个实数根．
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式
②，利用配方法求M的最小值：
解：
因为，所以当时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式 ；
(2)用配方法因式分解；
(3)若，求M的最小值．
18．（2023春·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校联考期中）阅读材料：
①用配方法因式分解：．
解：原式
．
②若，利用配方法求M的最小值．
解：．
∵，，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：_____=______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求M的最大值．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
20．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
21．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB