2025年安徽省马鞍山第七中学 中考一模数学试题

这是一份2025年安徽省马鞍山第七中学 中考一模数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 倒数是（ ）
A. 5B. C. D.
2. 据统计，2024年马鞍山市GDP达到2784亿元，同比增长，其中2784亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下面四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则b的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
6. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，中，，，和的平分线交于点P，过点P作分别交，于点D，E，则的周长为（ ）
A. 不能确定B. 10C. 12D. 14
8. 已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ）
A B. C. D.
10. 如图：已知矩形，，，E为边上一个动点，，，连接，则最小值为（ ）

A. B. 2C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则代数式的值是______．
12. 分解因式：_________．
13. 如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则______．
14. 如图：已知四边形，相交于F，E为上一点，，．
（1）若，则______．
（2）若，，则______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）请画出将绕点O顺时针旋转得到的；
（2）请用无刻度的直尺在上找一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 今年春节假期期间，马鞍山长江不夜城举办了大型灯展活动，由此带来旅游热潮，据统计，灯展2月1日接待游客8000人，接待人数逐日增加，2月3日这天接待游客11520人，求这三天灯盏接待游客的日平均增长率．
18. 【观察思考】
规律发现】
请用含n的式子填空：．
（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．）
20. 如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
六、（本题满分12分）
21. 近期，动画电影《哪吒2》的热映激发了同学们对中国古代神话传说的兴趣．某中学为了丰富学生们的知识，组织全校学生进行中国古代神话传说知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是______；
（2）求该50名同学这次竞赛成绩平均数；
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
七、（本题满分12分）
22. 如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，．
（1）求证：；
（2）如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，；
①求证：；
②连接，求的度数．
八、（本题满分14分）
23. 已知点A和点B在第一象限，点A坐标，点B坐标，点P为线段上一点，分别垂直x，y轴，垂足为C，D；设，四边形面积为S；
（1）求直线的解析式（含有字母n）；
（2）若，求S的最大值；
（3）若点P在线段上移动时，S总随m的增大而增大，求n的取值范围．
2024-2025学年度第二学期第一次教学质量监测
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义． 乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【详解】解：的倒数是．
故选：C．
2. 据统计，2024年马鞍山市GDP达到2784亿元，同比增长，其中2784亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：其中2784亿用科学记数法表示为，
故选：C．
3. 下面四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据二次根式的加法，除法法则，同底数幂的除法，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】A．与不能合并，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：C．
5. 若反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则b的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得、的值是解题的关键．把点坐标代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，把、坐标代入一次函数解析式即可求得、的值．
【详解】解：点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
在反比例函数图象上，
∴，
，
，
、在一次函数图象上，
，
解得，
故选：D．
6. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质．根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
7. 如图，中，，，和的平分线交于点P，过点P作分别交，于点D，E，则的周长为（ ）
A. 不能确定B. 10C. 12D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可．
【详解】解：∵和的平分线交于点P，，
∴，，
∴，
∴的周长为：，
∵，
∴的周长为，
故选：D．
8. 已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．
【详解】，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
9. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键．
运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解；
【详解】解：在中，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点在上时，，即，，
∴，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意；
当点在上时，如图所示，，即，
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
故选：A ．
10. 如图：已知矩形，，，E为边上一个动点，，，连接，则的最小值为（ ）

A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．取的中点，连接，求得，，证明，求得，当点与点重合时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，
当点与点重合时，有最小值，最小值为2，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则代数式的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质．设，，代入即可求解．
【详解】解：设，则，，
所以．
故答案为：．
12. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），可以先提公因式m，再根据平方差公式分解因式即可
【详解】
故答案为：
13. 如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则______．
【答案】16或8
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征．先表示，，再由三角形面积公式建立方程求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
故答案为：16或8．
14. 如图：已知四边形，相交于F，E为上一点，，．
（1）若，则______．
（2）若，，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握全等三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质，三角形外角性质，相似三角形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键．
（1）∵根据，，可得；
（2）根据， ，证明，得，在上取点G，使，可得，得，得，设，根据，，得，得，代入得，得，解得．
【详解】（1）∵，且，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在上取点G，使，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
检验知，是所列方程的解．
取．
故答案为：．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的混合运算．先计算零指数幂、负整数幂、算术平方根、代入特殊角的三角函数值，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）请画出将绕点O顺时针旋转得到的；
（2）请用无刻度的直尺在上找一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图——旋转变换，平行线比例作图．
（1）先连接、、，再将、、分别旋转得到、、，最后依次连接、、，即可求解；
（2）在延长线上取格点，使得，连接，依次过上的格点利用网格线的特征作的平行线，将平均分成5份，使得占的2份，即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
小问2详解】
解：如图所示，点P为所求：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 今年春节假期期间，马鞍山长江不夜城举办了大型灯展活动，由此带来旅游热潮，据统计，灯展2月1日接待游客8000人，接待人数逐日增加，2月3日这天接待游客11520人，求这三天灯盏接待游客的日平均增长率．
【答案】这三天灯盏接待游客的日平均增长率为．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这三天灯盏接待游客的日平均增长率为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设这三天灯盏接待游客日平均增长率为．
依题意，得，
解得（舍去），．
答：这三天灯盏接待游客的日平均增长率为．
18. 【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：．
（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答．
（2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为；
（3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）观察图形，得出
第1个图案中，“▲”的个数为；
第2个图案中，“▲”的个数为；
第3个图案中，“▲”的个数为；
第4个图案中，“▲”的个数为；
以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，
第2个图案中，“★”的个数可表示为，
第3个图案中，“★”的个数可表示为，
…，
第n个图案中，“★”的个数可表示为；
（3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4
∴
∴
解得
∴n的值为2或7
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．）
【答案】古树高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，求出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则，
山坡上坡度，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
，，
，
在中，，
答：古树的高度约为．
20. 如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
【答案】的半径为．
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：（舍去），，
故的半径为．
六、（本题满分12分）
21. 近期，动画电影《哪吒2》的热映激发了同学们对中国古代神话传说的兴趣．某中学为了丰富学生们的知识，组织全校学生进行中国古代神话传说知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是______；
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数；
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
【答案】（1）90 （2）该50名同学这次竞赛成绩的平均数为85分；
（3）估计竞赛成绩为优秀的人数约为780人．
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位线、平均数、用样本估计总体．
（1）根据中位数的定义即可解答；
（2）利用平均数的公式代入数据计算即可；
（3）用成绩90分以上（含90分）的人数所占比例乘以1500即可．
【小问1详解】
解：将该50名同学成绩从小到大排列，该50名同学这次竞赛成绩的中位数位于第25名和第26名的平均数，
则该50名同学这次竞赛成绩的中位数是；
故答案为：90；
【小问2详解】
解：（分）
答：该50名同学这次竞赛成绩的平均数为85分；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计竞赛成绩为优秀的人数约为780人．
七、（本题满分12分）
22. 如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，．
（1）求证：；
（2）如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，；
①求证：；
②连接，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的性质得出，根据，即可得出答案；
（2）①过点E作，交于点M，先证明，得出，根据，得出，证明，得出答案即可；
②连接，，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：①过点E作，交于点M，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
八、（本题满分14分）
23. 已知点A和点B在第一象限，点A坐标，点B坐标，点P为线段上一点，分别垂直x，y轴，垂足为C，D；设，四边形面积为S；
（1）求直线的解析式（含有字母n）；
（2）若，求S的最大值；
（3）若点P在线段上移动时，S总随m的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）S的最大值为；
（3）n的取值范围为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求得点P坐标为，再利用矩形的面积公式列得S关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）同（2）求得S关于的二次函数解析式为，对称轴为直线，再分当点在点的下方和点在点的上方时，两种情况讨论，根据对称轴的位置列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设直线解析式为，
由题意得，
解得，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，直线的解析式为，
当时，，
∴点P坐标为，
∴，
∵，∴当时，S有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：同理，，
∴S是关于的二次函数，对称轴为直线，
∵点P在线段上移动，
∴，
分两种情况讨论，
当点在点的下方时，，
∴，即，
∴该函数图象的开口向下，
∵时，S总随m的增大而增大，
∴，
解得，
∵，
∴n的取值范围为；
当点在点的上方时，，
∴，即，
∴该函数图象的开口向上，
∵时，S总随m的增大而增大，
∴，
解得，
∵，
∴n的取值范围为；
综上，n的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求法，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的增减性，（3）注意要根据点的位置分情况讨论．分数
60
70
80
90
100
频数
2
7
15
16
10
分数
60
70
80
90
100
频数
2
7
15
16
10