安徽省马鞍山第八中学2025年中考一模数学试卷

这是一份安徽省马鞍山第八中学2025年中考一模数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2025B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章材料，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
6. 如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（ ）
A. B. C. D.
7. 如果是的一个因式，则的值是（ ）
A. B. C. 0D. 1
8. 如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，为上一点，连接交于点，作交直线于点，若，，，则（ ）
A. B. 3C. D.
9. 已知二次函数的图像如图，其对称轴为，它与x轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）．
A B. C. D.
10. 如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. _____．
12. 如图，菱形中，，，则边上的高_____．
13. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，则，两位同学座位相邻的概率是_____．
14. 设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点．
（1）当时，_____；
（2）若，则的取值范围是_____．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：．
16. 人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，我们把小正方形的顶点叫做格点．如图1、图2中，的顶点均为格点，请按要求完成下列问题：
（1）画出图1中向右平移4个单位，向下平移3个单位后对应的；
（2）画出图1中关于直线对称的；
（3）仅用无刻度的直尺在图2中的上找一点，使得平分．
18. 观察以下等式：
①；
②；
③；
……．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请再写出一个等式______；
（2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是______；
②若设最初想两位数的十位数字是a，个位数字是b，请你利用上面的规律解释这个魔术的原理．
五、（本大题共2小题.每小题10分，满分20分）
19. 华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，）
20. 如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，，于点E，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
六、（本大满分12分）
21. 光明学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了“航天知识”竞赛．学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A：，B：，C：，D：，E：．
其中，八年级B等级中由低到高的10个成绩（分数）为：80，80，81，83，83，84，84，85，85．
两个年级学生“航天知识”竞赛分数样本数据平均数、中位数、众数如表所示：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出_________，_________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对“航天知识”了解得较好？请说明理由；（说明一条理由即可）
（3）该校八年级有1800人，九年级有1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，“航天知识”竞赛分数不低于80分的学生人数．
七、（本大满分12分）
22. 如图，在中，，，是延长线上且满足，是的中点，连接交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）求证：；
（3）求的值．
八、（本大满分14分）
23. 定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”．
（1）若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值；
（2）对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值；
（3）已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值．
马鞍山市第八中学2025年中考一模
数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2025B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：的相反数是，
故选：D．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确幂的乘方的计算法则．根据幂的乘方可以解答本题．
【详解】解：，
故选：A．
3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：4500000000=4.5×109，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．
根据俯视图的定义即可得到答案．
【详解】解：俯视图是：
，
故选：D．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，求反比例函数解析式，过点C作轴于点D，根据得到，即可得到，，求出点C的坐标，代入解析式计算即可．
【详解】解：过点C作轴于点D，
则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴点C的坐标为，
代入解析式得，
故选：C．
6. 如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，，根据圆周角定理可得，再由，可得，从而得到，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵为等腰三角形，为底，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圆弧所对的圆心角为．
故选：A
7. 如果是的一个因式，则的值是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解，根据题意可知是方程的一个根，然后代入解题即可．
【详解】解：∵是的一个因式，
∴当时，，
解得：，
故选：B．
8. 如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，为上一点，连接交于点，作交直线于点，若，，，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰直角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，过点E作于点M，作于点N，根据正弦的定义求出EM和NE的长，然后证明，利用对应边成比例解题即可．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
过点E作于点M，作于点N，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
故选：D．
9. 已知二次函数的图像如图，其对称轴为，它与x轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次函数图像开口向下可得，根据二次函数图像的对称轴可知，然后由二次函数图像经过y轴正半轴可知，利用a与b和c的关系求得一次函数和反比例函数是否有交点，再利用排除法即可求解．
【详解】解：∵二次函数图像开口向下，
∴，
∵二次函数图像对称轴为，
∴，
∵次函数图像经过轴正半轴，
∴，
由，可知：直线经过第一、二、四象限，由可知：反比例函数图像经过第一、三象限，
∵二次函数图像过，
∴，即，
令，即，
∵，
∴一次函数与反比例函数有交点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质、反比例函数图像与性质，解题的关键是熟练掌握以上函数图像与性质．
10. 如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查矩形和折叠，勾股定理，垂线段最短，连接，先根据折叠得到点E在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可．
【详解】解：连接，，
由折叠得，
∴点B、E、D共线，即点E在上，
∴当时，最小，这时，
∵是矩形，
∴,
，
又∵，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根，先计算立方根，再计算加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，菱形中，，，则边上的高_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的性质求出长，然后根据解题即可．
【详解】解：∵是菱形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
13. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，则，两位同学座位相邻的概率是_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图求概率，采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可．
详解】画树状图可得：
由上表可知共有中可能，满足题意的情况数为种则，
，两位同学座位相邻的概率是．
14. 设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点．
（1）当时，_____；
（2）若，则的取值范围是_____．
【答案】 ①. 8 ②.
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，求图象的交点，掌握函数与方程的联系是解题的关键．
（1）联立方程组消去得到关于x的方程，利用根与系数的关系解题即可；
（2）解方程组求出的值，然后借助图象得到的值小于抛物线与直线的交点横坐标解题即可．
【详解】解：（1）当时，方程组消去y可得，
∴，
故答案为：8；
（2）方程组消去y可得，
，且，
又∵，
∴，
解方程组得到或，
∵，
∴借助图象可得，
解得；
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1进行求解即可．
【详解】解：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16. 人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度．
【答案】“致远号”的行驶速度为米/秒
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，根据“当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
【详解】解：设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：“致远号”的行驶速度为米/秒．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，我们把小正方形的顶点叫做格点．如图1、图2中，的顶点均为格点，请按要求完成下列问题：
（1）画出图1中向右平移4个单位，向下平移3个单位后对应的；
（2）画出图1中关于直线对称的；
（3）仅用无刻度的直尺在图2中的上找一点，使得平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作图即可得解；
（2）根据轴对称的性质作图即可得解；
（3）取格点、、，连接，，，与交于点，作射线交于，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图：即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图：即为所求，
；
【小问3详解】
解：如图：取格点、、，连接，，，与交于点，作射线交于，点即所求，
，
由勾股定理可得，，则
由图可得四边形为矩形，、、在同一直线上，
∴，
∴由等腰三角形的性质可得：平分，即平分．
【点睛】本题考查了作图—平移变换、作图—轴对称变换、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
18. 观察以下等式：
①；
②；
③；
……．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请再写出一个等式______；
（2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是______；
②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，请你利用上面的规律解释这个魔术的原理．
【答案】（1）
（2）①9；②见解析
【解析】
【分析】此题考查了运用有理数的运算解决数字问题的能力，关键是能根据题意准确列式、计算、推理．
（1）模仿示例写出结果即可；
（2）①试值进行计算，可求得此题结果；②由题意用a、b列式进行计算推理，
【小问1详解】
解：；
故答案为：
【小问2详解】
解：①取数字92，由题意得：，
∴王老师猜的结果是9；
故答案为：9
②由（1）得：，
∵原两位数的十位数字是a，个位数字是b，
∴原两位数可表示为，减去十位数字和个位数字后得．
∵，
∴可以表示为，
∴其十位数字为，个位数字为，
∴，
∴不论开始的两位数是多少，最后结果均为9．
五、（本大题共2小题.每小题10分，满分20分）
19. 华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，）
【答案】浮雕像的高度约为2.0米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出．
【详解】.解：过点于F点，
在中，，，
，，
，
∴在中，
.
答：浮雕像的高度约为．
20. 如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，，于点E，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，切线的判定；
（1）连接，证明，即可得证；
（2）设，根据已知得出是的中位线，证明，根据相似三角形的性质，得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
，
．
．
，
．
，
，即．
是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：设，
，
，．
．
为的直径，
．
，
．
．
，．
，
是的中位线．
．
．
，
．
．
，
解得．
．
六、（本大满分12分）
21. 光明学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了“航天知识”竞赛．学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A：，B：，C：，D：，E：．
其中，八年级B等级中由低到高的10个成绩（分数）为：80，80，81，83，83，84，84，85，85．
两个年级学生“航天知识”竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出_________，_________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对“航天知识”了解得较好？请说明理由；（说明一条理由即可）
（3）该校八年级有1800人，九年级有1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，“航天知识”竞赛分数不低于80分的学生人数．
【答案】（1）82，30
（2）八年级，理由见解析
（3）1996人
【解析】
【分析】（1）根据中位数是从低到高排列第25和第26位数值的平均数，分别为等级中的81，83，即中位数，计算求解即可，根据，计算求解即可；
（2）通过比较平均数、中位数、众数，进行判断说明即可；
（3）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：中位数是从低到高排列第25和第26位数值的平均数，分别为等级中的81，83，
∴中位数，
，
故答案为：82，30；
【小问2详解】
解：八年级的学生对“航天知识”了解得较好．理由如下：
由题意知，八、九年级的平均数相同，但是八年级的中位数、众数比九年级的高，因此八年级的学生对“航天知识”了解得较好．（答案不唯一）
【小问3详解】
解：（人）
答：估计该校八、九年级所有学生中，“航天知识”竞赛分数不低于80分学生人数是1996人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，中位数，平均数，众数，用样本估计总体．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
七、（本大满分12分）
22. 如图，在中，，，是延长线上且满足，是的中点，连接交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）求证：；
（3）求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）取的中点G，连接，即可得到是的中位线，然后根据平行线分线段成比例解题即可；
（2）连接，过点D作于点，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到，即可证明结论；
（3）过点E作于点M，设，求出，长，然后根据面积法求出长，再根据正弦的定义计算解题即可．
【小问1详解】
证明：取的中点G，连接，
则，
又∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，即为的中点；
【小问2详解】
证明：连接，过点D作于点，
∵，E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴；
【小问3详解】
解：过点E作于点M，设，
则，，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质和解直角三角形，作辅助线构造直角三角形解题即可．
八、（本大满分14分）
23. 定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”．
（1）若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值；
（2）对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值；
（3）已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值．
【答案】（1）
（2）或
（3）最小值为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根的判别式，二次函数的最值，掌握新定义是解题的关键．
（1）配方得到抛物线的顶点坐标，然后根据“4阶点”的定义解答即可；
（2）设这一点为，根据“阶点”的定义得到方程，然后根据根的判别式解题即可；
（3）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到，是方程的两根，即，，然后求出M和N的坐标，即可得到，根据t的取值范围确定最值即可．
【小问1详解】
解：，
∴顶点坐标为，
∵顶点与点互为“4阶点”，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：设这一点为，
根据“阶点”的定义得：，
整理得：，
∵只存在一个点与点互为“阶点”，
∴，
解得：或；
【小问3详解】
解：设点A的坐标为，点B的坐标为，
∵点、都与点互为“阶点”，
∴，，
整理得，，
∴，是方程的两根，
∴，，
又∵，
∴顶点M坐标，
又∵是线段的中点，
∴点的坐标为，
∵与互为“阶点”，
∴，
整理得，
代入得：，
即，
当时，随k的增大而增大，
∴当时，最小，最小值为．平均数
中位数
众数
八年级
84
a
76
九年级
84
81
75
平均数
中位数
众数
八年级
84
a
76
九年级
84
81
75