人教B版 (2019)必修 第二册平面向量线性运算的应用教学设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册平面向量线性运算的应用教学设计，共6页。教案主要包含了情境导入，复习旧知，例题讲解，归纳总结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境导入
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这样的现象吗？
当然要解决这些问题，就需要我们认真学习本节内容—向量的应用.向量可以应用于几何、物理等诸多方面.为了了解如何应用向量解决这些问题，我们首先复习向量的有关知识.
二、复习旧知
1.向量加法与减法的平行四边形法则和三角形法则.
2.平面向量基本定理.
3.向量共线判定定理.
4.两点间距离公式和中点坐标公式.
以上内容对本节课很重要，是我们解决问题的基础.
三、例题讲解
1.向量在平面几何中的应用.
例1 证明：平行四边形的对角线互相平分.
分析 如图，可以通过证明，说明是对角线的中点，进而证得结论.
证明 如图，设，则，则.又，向量a，b不共线，所以解得，即，所以平行四边形的对角线互相平分.
总结：运用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
例2 已知平行四边形中，是对角线上的两点，且.试用向量方法证明四边形也是平行四边形.
分析 可以通过证明，说明一组对边平行且相等，进而证明结论.
证明 设则，，
所以，且四点不共线，所以四边形是平行四边形.
点评：利用初中三角形全等也可以证明，但这里我们利用向量的线性运算，显然更加简洁.
例3 如图，中，分别是的中点，与交于与交于.证明：.
分析 注意到三点在一条直线上，因而证明可以转化为证明.
证明 如图，设，
则，则.
又
，所以解得，即，所以，故.
点评：如果用纯几何知识，本题很难入手，而借助向量证明，则思路清晰，就是证明两个向量共线，找出比例系数即可.证明过程中要充分利用三角形法则将未知向量向已知向量转化.
设计意图：通过几道简单的题目，让学生体会利用向量知识解决几何问题的方法步骤，达到举一反三的目的.
2.向量在物理中的应用.
例4 一条渔船距对岸为4km，现正以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
分析 本题实际就是已知和向量与其中一个分向量，求另外一个向量的过程.
解 如图所示，设表示船垂直于对岸的速度，则，知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2（h），
所以在中，，则，即河水的流速为.
解后反思：有关航行中的速度、位移等问题，往往可以转化为向量的加法、减法求解，关键在于正确作图，找出研究的三角形，利用三角形的有关知识求解.
例5 在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
分析 将实际问题模型化，实际就是已知和向量求两个分向量的问题，根据题目条件，利用几何知识求解.
解 如图，两根绳子的拉力之和，且.
在中，，则，从而，所以.
反思与感悟：利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算；第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
设计意图：通过例题让学生构建模型，体会如何利用向量解决物理问题，掌握常见的转化模型.
四、归纳总结
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
2.向量在物理中的应用.
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等；
（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中；
（3）动量是向量的数乘运算.
设计意图：提纲挈领总结知识点，将所学知识模型化，使学生更容易记忆.
五、布置作业
教材第171页习题6-3A第2，3题，习题6-3B第3，4，5题.
板书设计
教学研讨
本案例思路清晰，由于本节内容就是介绍向量在平面几何与物理中的应用，故通过5道例题，逐一说明，并且题目难度也不大，学生容易接受.在实际教学中还应注意两个问题：一是通过5道例题让学生理解利用向量的方法解决几何问题与物理问题的思路，这既是解题的需要，也是数学核心素养的要求，不能为了解题而解题；二是在几何方面的应用还应该再加入利用坐标求解的题目，这样就更全面了.6.3 平面向量线性运算的应用
一、情境导入
二、复习旧知
三、例题讲解
1.向量在平面几何中的应用
例1
例2
例3
2.向量在物理中的应用
例4
例5
四、归纳总结
五、布置作业