高中数学人教B版 (2019)必修 第二册向量的线性运算教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册向量的线性运算教学设计及反思，共6页。教案主要包含了情境导入，探究新知，归纳总结，随堂训练，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境导入
同学们在初中的时候学习过合并同类项，我们知道，合并同类项的时候，其法则是：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变，即字母不变，系数相加减.合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用.类比于合并同类项，我们今天一起来研究向量的加法、减法和数乘向量的混合运算.
设计意图：以接近的、类似的知识引入，学生更容易接受.
二、探究新知
1.向量的加法和数乘向量的混合运算.
向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，这就是说，这两者可以进行混合运算.例如，对于任意向量a，式子是有意义的.
一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法，因此可以简写成，另外不难看出来.
一般地，对于实数与以及向量a，有
.
这可以通过对以及的符号进行讨论得到.例如，当都是正数时，不难看出和的方向都与a的方向相同，而且模都等于，所以此时.
如图所示，下面我们考虑与之间的关系.
在上图中，，注意到，△DEF∽△ABC，因此，且，从而有，即.
一般地，对于任意实数，以及向量a与b，有.
设计意图：对于向量加法和数乘向量的两个运算律推导难度不大，教师带领学生一起推导公式，既可以让学生从理论上掌握向量加法和数乘向量的运算律，同时又对向量加法的三角形法则、数乘向量概念进一步复习和巩固.
例1 化简：.
（找一学生板演，其余学生在练习本上完成，教师巡视，学生做完后一起核对答案）
解 原式.
变式训练 化简：.
（全体学生在练习本上完成，教师巡视后讲解）
解
.
设计意图：由具体数字系数的化简到抽象字母系数的化简，由易到难，使学生可以进一步把握运算律.
2.向量的线性运算.
由例1和变式可以知道，向量的加法和数乘向量可以进行混合运算，实际上，向量的减法也可以与向量加法数乘向量进行混合运算.
向量的加法、减法数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.
向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项向量的加法满足交换律与结合律，减法运算可以看作加法的逆运算，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量.
练一练 判断下列运算是否正确：
（1）； （ ）
（2）； （ ）
（3） （ ）
（答案：（1）正确；（2）正确；（3）正确）
事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号.
例2、化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
（找四个学生板演，其余学生在练习本上完成，教师巡视，学生做完后一起核对答案）
解 （1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式
.
例3、如图所示，已知，求证：.
（找一名学生分析，要求学生回答：根据可以得到D，E点位置如何？然后学生给出答案，教师补充并给出完整规范解答）
解 由已知得
.
例4、已知M为线段AB的中点，且O为任意一点，求证：.
（师生共同分析完成解答）
证明 由M为线段AB的中点可得，因此，从而有，即.
例5、已知，求证：M为线段AB的中点.
（找一学生板演，教师巡视，然后师生共同给出规范解答）
证明 由可得，因此，从而有，即M为线段AB的中点.
归纳总结：M为线段AB的中点.
例6、已知是三个不同的点，.求证：三点共线.
（师生共同解答）
证明 因为
，
，
所以，因此三点共线.
设计意图：通过几道例题，进一步熟练掌握向量的线性运算，同时也通过例4、例5和例6为下一节内容的教学做好准备.
三、归纳总结
1向量的线性运算类比于合并同类项，运算顺序为先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，先算括号内各项.
2.M为线段AB的中点.
3.证明三点共线只需证明.
设计意图：对于本节内容进行归纳整合，便于学生理解记忆，使学生容易抓住本节课重点.
四、随堂训练
教材第150页练习A第1题.
设计意图：通过几道简单题目练习，进一步巩固向量的线性运算，达到当堂内容当堂消化的目的.
五、布置作业
教材第150页练习B第1~4题.
设计意图：设置适量习题，达到巩固提升的目的.
板书设计
教学研讨
本节课主要有两部分内容，一部分是向量的线性运算，这一部分内容比较简单，可以以学生为主体，教师为主导，充分发挥学生的积极性和主动性，这一点该教案例处理得比较得体.第二部分是向量线性运算的应用，实际是从图形角度，利用三角形法则进行化简和证明，这一部分既是前面知识的复习巩固，也为后面的向量基本定理打下一个基础，学生接受起来有些难度，处理时可以师生互动.该案例的缺点主要是这一部分应该根据学生的基础进行内容的删减或增加，比如针对例4可以增加M为三等分点的证明等.
6.1.5向量的线性运算
例1
变式训练
例2
例3
例4
例5
例6
归纳总结
随堂训练
作业