专题12 直线的点斜式方程-【暑假衔接讲义】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（含答案）（人教A版2019选择性必修第一册）

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知识点01：直线的点斜式方程
1、点斜式方程的推导
如图，直线经过点，且斜率为．
设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，
由斜率公式得，即．
2、直线的点斜式方程
方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
注：（1）点斜式的前提条件： = 1 \* GB3 ①斜率必须存在； = 2 \* GB3 ②已知直线上一点和直线的斜率．
（2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线．
3、两种特殊的直线：
4、求直线点斜式方程的一般步骤：
（1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程
（2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外．
知识点02：直线的斜截式方程
1、斜截式方程的推导
如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即．
2、直线的斜截式方程
我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注：斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在．
3、斜截式的几种特例


【题型01：直线的点斜式方程】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点且斜率为2的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线的点斜式方程写出即可.
【详解】由点斜式可得直线的方程为，
化为.
故选：C.
2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用斜率定义及点斜式直线方程即可得到选项.
【详解】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为，
又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：，
故选：C.
3．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据方向向量得到直线的斜率，从而得到直线的方程.
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线方程为.
故选：D
二、解答题
4．（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点，斜率为；
(2)经过点，倾斜角是；
(3)经过点且与轴垂直．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果；
（2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；
（3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程.
【详解】（1）直线的点斜式方程为：.
（2）由倾斜角是，则直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为：.
（3）由于直线与轴垂直，斜率不存在，
所以该直线的方程为．
5．（24-25高二上·安徽亳州·月考）已知的三个顶点．
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解；
（2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
【详解】（1）由题意得，边的中点，
则中线所在直线的斜率为，
所以边上的中线所在直线的方程为，即．
（2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的方程为，即．
【题型02：直线的斜截式方程】
一、单选题
1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）直线斜率是（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】C
【分析】根据直线的斜截式方程可得答案．
【详解】根据直线的斜截式方程可知，直线斜率是3．
故选：C．
2．（23-24高二下·四川广元·开学考试）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知直线的斜率，根据直线的斜率求解倾斜角即可.
【详解】设直线的倾斜角为，，
由题意可知，直线的斜率为，所以，即.
故选：.
3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程是，则直线的纵截距是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，令代入计算，即可得到结果.
【详解】因为直线的方程是，令，则，
所以直线的纵截距是.
故选：D
4．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】代入直线的截距式方程即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率.
又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得.
故选：C
二、解答题
5．（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在y轴上的截距是.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可.
（2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可.
【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为.
（2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率.
所以该直线的斜截式方程为.
【题型03：斜截式的图像特征】
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由与中同号，分类讨论递增与递减，得到结果.
【详解】当时，直线过原点，且单调递增，
直线单调递增，且纵截距为正数，
没有符合的图象．
当时，直线过原点，且单调递减，
直线单调递增，且纵截距为负数，
C选项符合．
故选：C
2．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为，的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，
不成立，A错误；
选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，
可能成立，B正确；
选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，
不成立，C错误；
选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，
不成立，D错误.
故选：B.
3．（24-25高二上·吉林·月考）若直线的方程为，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】由条件判断直线的斜率和纵截距的正负，结合图象分析即得.
【详解】由可得，，
即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数，
故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.
故选：A.
4．（24-25高二上·湖北十堰·月考）如图所示，直线与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据斜截式方程的系数的几何意义，逐一判断各选项即得.
【详解】对于A，由的图象，可知，，即，，
而由的图象，可知，，产生矛盾，故A错误；
对于B，由的图象，可知，，即，，
而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误；
对于C，由的图象，可知，，即，，
此时由的图象，可知，，两者一致，故C正确；
对于D，由的图象，可知，，即，，
而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误.
故选：C.
5．（24-25高二上·湖北黄冈·月考）已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，由直线不经过第二象限，得到关于实数的不等式，求解不等式，即可得到答案．
【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；
若，直线方程可化为 ，此时若直线不经过第二象限，则且，解得，
综上满足条件的实数的范围是.
故选：D
【题型04：点斜式与斜截式的应用】
一、单选题
1．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知两点，以下各点一定在直线上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两点可求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程，最后代入即可得解.
【详解】因为，，
所以，
所以直线的方程为：，
即，
当时，，
所以点在直线上.
故选：A.
2．（24-25高二上·四川成都·期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由直线恒过定点，分别计算，结合图象即可得的范围.
【详解】直线经过定点，如图所示，
则，
因为直线与线段相交，
所以由图可知.
故答案为：.
3．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程.
【分析】倾斜角为的直线，斜率为，
所以入射光线为，
令，解得，所以入射光线与轴的交点为，
反射光线的斜率为，则反射光线的方程为.
故选：D
4．（23-24高二上·河南·月考）已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（ ）
A．8B．9C．D．20
【答案】A
【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为，求出两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为，
分别与联立可得两点的横坐标：，
故，两点都在x轴的上方，
故，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最小值为8，
故选：A．
【题型05：点斜式与斜截式中两直线的平行、垂直问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·吉林·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线垂直斜率之积为可得所求直线斜率，利用点斜式可得结果.
【详解】∵直线的斜率为，
∴所求直线斜率为，
∴直线方程为.
故选：A.
2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，若，则a＝（ ）
A．0B．
C．1D．±1
【答案】B
【分析】由斜率相等、截距不相等得出的值.
【详解】因为，所以，所以，
又，两直线l1与l2不能重合，
则，即，故.
故选：B
二、解答题
3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的方程为y＝－2x＋3.
(1)若直线与平行，且过点，求直线的方程；
(2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设的方程为，代入点得出所求方程；
（2）设的方程为，求出在坐标轴上的交点，进而由面积公式得出.
【详解】（1）由直线与平行，可设的方程为，
将代入，得，
即得，所以直线的方程为
（2）由直线与垂直，可设的方程为，
令，得，令，得，
故三角形面积，
所以，解得，所以直线的方程是或
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由方向向量得到直线斜率，再用点斜式计算即可.
【详解】由题可得．又直线过点，代入点斜式方程得．
故选：C.
2．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项.
【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，
所以直线方程为，
故选：A.
3．（23-24高二上·全国·课后作业）方程y＝k(x－1)(k∈R)表示 ( )
A．过点(－1,0)的一切直线
B．过点(1,0)的一切直线
C．过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(1,0)且除x轴外的一切直线
【答案】C
【分析】根据直线的斜率为分析．
【详解】直线的点斜式方程y＝k(x－1)表示经过点(1,0)且斜率为k的直线,
显然不垂直于x轴,
故选:C.
4．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由倾斜角得斜率，再根据斜截式方程可得.
【详解】因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率.
又直线在轴上的截距是3，
由斜截式方程得.
故选：C.
5．（24-25高二上·江苏南京·期中）过两点和的直线在x轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由点斜式写出直线方程，然后令可得结论．
【详解】直线的斜率，∴直线的方程为，即，
令，解得，∴直线在x轴上的截距为，
故选：A．
6．（23-24高二上·广东惠州·期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列图形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图象判断参数范围，根据参数范围是否矛盾即可得答案.
【详解】对于A，由的图象知，，由的图象知，，故A正确；
对于B，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故B错误；
对于C，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故C错误；
对于D，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故D错误．
故选：A
7．（24-25高二上·湖北·期中）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果.
【详解】因为，即，所以，
因为，即，所以，
所以.
故选：A.
8．（24-25高二上·广东湛江·月考）若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（ ）
A．B．1C．D．5
【答案】D
【分析】由两直线平行得斜率相等，利用斜率公式列方程求解，注意验证是否重合.
【详解】过点和点的直线斜率为，
由两直线平行，则直线的斜率，解得，
验证，当时，，则直线的斜率为，
四点不共线，即两直线平行.
故选：D.
9．（23-24高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，与y轴相交于点且被轴反射，则反射光线所在直线在x轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由入射光线和反射光线对称求出反射光线方程，进而求出截距.
【详解】关于y轴的对称点为，则反射光线所在直线为，
因为，所以反射光线所在直线的方程为，
令，解得，所以反射光线所在直线在x轴上的截距为．
故选：B
10．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可.
【详解】设直线的斜率为，
则直线方程为，
令，得，
故直线在轴上的截距为，
令，
得或者，
故选：
11．（24-25高二上·湖南郴州·月考）已知过点的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．12B．8C．6D．4
【答案】B
【分析】根据题意可知直线的斜率存在设为，分别解出两点的坐标，表示出的表达式由基本不等式即可求得最小值.
【详解】由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，
直线的方程为，则，
所以
，
当且仅当，即时，取等号.
所以的最小值为.
故选：B.
二、解答题
12．（23-24高二下·全国·课堂例题）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示.
(1)过点，斜率；
(2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；
(3)经过点，且平行于y轴．
【答案】(1)
(2)
(3)不能用点斜式，
【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程；
（2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程；
（3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程；
【详解】（1）因为直线过点，斜率，
由直线的点斜式方程得直线方程为．
（2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，
可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为.
所以所求直线方程为．
（3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在，
所以不能用点斜式方程，直线方程为.
13．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点和直线l： ，求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可知直线l的斜率，根据平行关系结合点斜式方程运算求解；
（2）根据垂直关系结合点斜式方程运算求解.
【详解】（1）因为直线l：y＝，则直线l的斜率，
可知与直线l平行的直线的斜率，
过点且与直线l平行的直线方程为.
（2）由（1）可知：与直线l平行的直线的斜率，
过点且与直线l垂直的直线方程为.
14．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知的顶点坐标为.
(1)求过点且与直线平行的直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程；
(3)求边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出直线的斜率再利用点斜式方程即可得出结果；
（2）求出中点坐标再计算中线斜率，代入点斜式方程即可；
（3）根据垂直关系得出斜率，再利用点斜式方程可求.
【详解】（1）直线的斜率
过点且与直线平行的直线的斜率为
过点且与直线平行的直线方程为
即
（2）设边的中点为，因为，
所以点的坐标为，即，
所以边的中线所在直线方程为
即
（3）因为，
所以边的高线所在直线的斜率为，
因此边的高线所在直线方程为，
即
15．（2024高二·全国·专题练习）已知直线，互相垂直，且相交于点．若的斜率为2，与轴的交点为，点在线段上运动，求的取值范围．
【答案】．
【分析】根据题意求出直线的方程，然后求出点，易知表示点与连线的斜率，数形结合求解即可.
【详解】由于的斜率为2，则的斜率为，
则的方程为，令，得，
表示点与连线的斜率，
如图，直线被夹在直线与直线之间，
由于，，
所以的取值范围是．
倾斜角
图象特征
斜率
直线方程
0°
，即
，即
90°
无意义，
即不存在
，即
表示过原点的直线
，
表示与轴平行的直线
，
表示轴