第15讲 直线的交点坐标与距离公式6种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
2.探索并掌握两点间的距离公式.
3.探索并掌握点到直线的距离公式.
4.会求两条平行直线间的距离.
知识点1 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
注：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
知识点2 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(x2－x12＋y2－y12).
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
注：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．
（2）①当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
②当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
③当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝eq \r(x2＋y2).
④当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
所以|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
⑤已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得
|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|，或|P1P2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.
知识点3 点到直线的距离与两条平行线间的距离
注：（1）应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．
（2）在使用两平行线间距离公式时，两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
（3）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
（4）已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．
（5）点到直线距离的向量表示
如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，eq \(PQ,\s\up7(―→))就是eq \(PM,\s\up7(―→))在n上的投影向量，点P到直线l的距离|eq \(PQ,\s\up7(―→))|＝|eq \(PM,\s\up7(―→))·n|.
（6）点到直线距离公式的推导
如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
方法一：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为eq \f(B,A)，
∴l′的方程为y－y0＝eq \f(B,A)(x－x0)，与l联立方程组，
解得交点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)，\f(A2y0－ABx0－BC,A2＋B2)))，
∴|PQ|＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
方法二：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？
提示 eq \(PQ,\s\up6(→))可以看作eq \(PM,\s\up6(→))在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－eq \f(A,B)，
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．
(1) 由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝eq \f(1,\r(A2＋B2))(A，B)．
(2) 在直线l上任取点M(x，y)，可得向量eq \(PM,\s\up6(→))＝(x－x0，y－y0)．
(3) |PQ|＝|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝|eq \(PM,\s\up6(→))·n|＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
（7）怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
1．两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
2．过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
3．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
4．应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
5．求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
注：利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．
6．直线的对称问题
关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.
关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称. 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2). ②直线关于直线的对称. 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
考点一：两条直线的交点问题
例1．（2023秋·高二课时练习）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知的顶点，其垂心为，求顶点A的坐标．
变式2．（2023秋·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为__________．
变式3．（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023秋·高二课时练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（ ）
A．20B．-4C．12D．4
变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A．
B．或
C．或
D．或
变式6．（2023秋·高二课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式7．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
变式8．（福建省连江第一中学2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
(1)求直线和的交点坐标；
(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
考点二：两点间的距离公式（一）求两点间的距离
例2．（2023秋·高二课时练习）已知三顶点坐标，试求边上的中线的长．
变式1．（2023秋·高二课时练习）点关于点对称，则________．
变式2．（2023秋·高二课时练习）直线和直线分别过定点和，则|________．
变式3．（2023秋·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为________，________．
变式4．（2023秋·高二课时练习）已知点与点间的距离为，则________．
变式5．（2023秋·高二课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程.
例3．（江西省八所重点中学2023届高三下学期3月联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．6
变式1．（2023秋·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
变式2．（四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．
变式3．（山东省临沂市平邑县第一中学2022-2023学年高二10月月考数学试题）已知两点，动点在线段AB上运动，则的范围是________，的范围是________.
（二）判断三角形、四边形的形状
例4．（江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题）已知，，，则是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知点，判断的类型.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（ ）
梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
（三）求三角形、四边形的周长、面积
例5．（重庆实验外国语学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题）在平面直角坐标系xy中，．
(1)求的面积；
(2)判断四点是否在同一个圆上？并说明理由．
变式1．（辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题）已知正方形的中心为坐标原点， 点的坐标为（2，1）， 点在第四象限.
(1)求正方形的面积;
(2)求直线和的方程.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l过点，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点.O为坐标原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)当值最小时，求直线l的方程.
考点三：点到直线的距离
例6．（上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题）点到直线的距离为__________．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于4，则a的值为__________．
变式2．（2023秋·高二课时练习）过点且和的距离相等的直线方程是_________．
例7．（2023秋·高二课时练习）若点在直线上，为坐标原点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
变式1．（福建省石狮市永宁中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段考数学试题）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
变式2．（2023秋·高二课时练习）直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________.
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（重庆市第十一中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
考点四：两平行线间的距离
例8．（2023秋·高二课时练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）．
A．1B．2C．D．4
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线，且∥．
(1)求的值；
(2)求两平行线与之间的距离．
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为__________．
变式4．（2023秋·高二课时练习）若两条平行直线与之间的距离是，则__________．
变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式6．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5．则直线l的方程为_________．
变式7．（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为______．
变式8．（2023秋·高二课时练习）若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为________．
考点五：距离的综合应用
例9．（上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期3月第二次月考数学试题）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为______.
变式2．（山东省菏泽市郓城县郓城第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是．
(1)求a的值；
(2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
变式3．（上海市青浦区2023届高三上学期9月月考数学试题）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为___________.
变式4．（河北省邢台市第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
考点六：直线的对称问题
例10．（2023秋·高二课时练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为_____________，过点且与直线垂直的直线方程为_______________.
变式1．（2023秋·高二课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________．
变式2．（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）直线关于点对称的直线的一般式方程为______．
变式3．（2023秋·高二课时练习）试求直线关于直线对称的直线l的方程．
变式4．（2023秋·高二课时练习）已知中，，边上的高线方程为，角A平分线方程为，求，边所在直线方程．
变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线的方程为.
（1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程__________；
（2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程__________.
变式6．（2023秋·高二课时练习）一条光线从点发出，经过轴反射，反射光线经过点.
(1)求反射光线所在的直线方程；
(2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.
变式7．（2023秋·高二课时练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标．
1．原点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．
3.直线关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4.如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A．B．C．D．
5.直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023秋·高二课时练习）已知点，，则A，B两点的距离为（ ）
A．25B．5
C．4D．
2．（2023秋·高二课时练习）点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·高二课时练习）直线与直线的交点坐标是（ ）
A．(2,0)B．(2,1)
C．(0,2)D．(1,2)
4．（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（广东省深圳市福田区红岭中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．（河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期第二次联考数学试题）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A．2B．－2或1C．－1D．－1或2
7．（广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二上学期2月期末数学试题）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为（ ）
A．B．或C．或D．
9．（2023秋·高二课时练习）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
11．（2023秋·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
12．（2022秋·高二单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（安徽省池州市第一中学等2校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线l相互平行B．直线与直线l相互垂直
C．直线与直线l相交D．点到直线l的距离为
13．（吉林省辽源市田家炳高级中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
14．（安徽省滁州市实验中学等2校2022-2023学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线，之间的距离为3
15．（辽宁省丹东市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知直线，则下列表述正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当实数变化时，直线恒过点
C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1
D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
三、填空题
16．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）直线与直线平行，则__________.
17．（2023秋·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程为__________．
18．（2023秋·高二课时练习）与直线平行且到l的距离为2的直线的方程为__________．
19．（2022秋·高二校考课时练习）已知的顶点，AC边上的高BC所在的直线方程为，则顶点C的坐标为______.
20．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）直线与直线间的距离为__________
四、解答题
21．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l经过两条直线和的交点．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程．
22．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知的三个顶点，，.
(1)求直线的方程；
(2)求的面积.
23．（2022秋·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知直线的方程为，若直线过点，且.
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.
24．（2023·高二课时练习）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值．
25．（2022秋·湖南怀化·高二校联考期末）已知直线和直线，其中为常数．
(1)当时，求直线与的距离；
(2)若，求的值．
26．（2022·高二课时练习）已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
27．（2023·全国·高三对口高考）已知三条直线、和且与的距离是．
(1)求的值；
(2)已知点到直线的距离与点到直线的距离之比是，试求出点的轨迹方程．
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))