湖北省孝感市高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试卷

这是一份湖北省孝感市高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试卷，共20页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交.等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
P  ππ
 sin , cs 
在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点 
63  ，则csθ （）
2
1
 1
2
π
2
2
1
2
2
在V ABC 中， B  ，BC 边上的高等于 BC ,则cs A  （）
43
3 10
10
10
10
 10
10
 3 10
10
已知向量a ，b 不共线，且c  λa  b ，d  a  2λ1b ，若c 与 d 反向共线，则实数λ的值为（）
A. 1B.  1
2
2
C. 1
D. -2
如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 2, 3 的图形，图中四边形ABCD 的对角线相交于点O，若 DO  λOB ，则λ （）
2
A. 1B.
C.6
2
D. 5
如图，正三棱柱 ABC  A1B1C1 的底面是边长为 3 的正三角形，侧棱 AA1  4 ，一小虫从点 A 途经三个侧面爬到点 A1 ，则小虫爬行的最短距离为（）
97
153
A 4B. 5C.D.
若 AB, BC, CD 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系是 ()
平行B. 相交
C. AC 在此平面内D. 平行或相交
某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所 示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11， 12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为 300，则活动时间在[11，12）内的人数为
（）
A. 600B. 800C. 1 000D. 1 200
若一组样本数据x1 、 x2 、L 、 xn 的平均数为10 ，另一组样本数据2x1  4 、 2x2  4 、L 、 2xn  4 的方差为8 ，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（）
A. 17 ， 54B. 17 ， 48C. 15 ， 54D. 15 ， 48
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列函数中，周期为 π，且在区间 π , π  上单调递增的是（）
 2
y | cs x |

y  tan 2x
y  cs 2xD. y  sin 2x
已知 z 为复数，设 z ， z ， iz 在复平面上对应的点分别为 A，B，C，其中 O 为坐标原点，则（）
–––→–––→
OA  OB
–––→–––→
–––→–––→
OA  OC
AC  BC
OB ∥ AC
如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述错误的是
（）
CC1 与 B1E 是异面直线B. C1C 与 AE 共面
C. AE 与 B1C1 是异面直线D. AE 与 B1C1 所成的角为 60°
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，点 A，B 对应的复数分别是 z1, z2 ，则
z1  z2  ．
底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为．
为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了 260 人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了 85 人．已知该校高三年级
共有 720 名学生，则该校共有学生人．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
已知 π α 0 ，且函数 f α  cs 3π α  sinα
1 csα
1．
2 2
1 csα

（1）化简 f α ；
（2）若 f α  1 ，求sinαcsα和sinα csα的值．
5
V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，设 a  b  sin C  sin B .
求 C
3
若(
1)a  2b 
6c ，求 A
c  b
sin A
已知在V ABC 中， 角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ， 向量 m  (sin A, sin B) ， n  (cs B, cs A) ，
m  n  sin 2C .
求角 C 的大小;
若sin A, sin C, sin B 成等差数列，且CA  ( AB  AC)  18 ，求 c.
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点．
求证：BD⊥平面 PAC；
若∠ABC＝60°，求证：平面 PAB⊥平面 PAE．
为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次
“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共 1500 名学生参与比赛，现从各年级参赛学生
中随机抽取 200 名学生，并按成绩分为五组： 50, 60 ， 60, 70 ， 70,80 ， 80, 90 ， 90,100 ，得到
3
如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占 .
7
求抽取的 200 名学生的平均成绩 x （同一组数据用该组区间的中点值代替）；
30
若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取 7 人，再从中选取 2 人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这 2 人都是高三学生的概率；
若比赛成绩 x  x  s （ s 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的 1500 名学生成绩
优秀的人数.

n
i1

x  xf

2
i
i
参考公式： s 
，（ fi 是第i 组的频率），参考数据：
 5.5
湖北省孝感市部分高中 2024—2025 学年下学期期末联考
高一数学试题
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

P  sin π, csπ

63 
在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点  ，则csθ （）
2
1
 1
2
2
2
2
2
【答案】D
【解析】
【分析】求出点 P 的坐标，再根据三角函数的定义即可得解.
P  
ππ
1 1 
【详解】解：由角θ的终边经过点
 sin 6 , cs 3  ，即 P  
,  ，
所以csθ
 1
2 2
1  12
44

2 2 
故选：D.
在V ABC 中， B  π，BC 边上的高等于 1 BC ,则cs A  （）
43
3 10
10
10
10
 10
10
 3 10
10
【答案】C
【解析】
5
5
【详解】试题分析：设
AD  a  AB 
 cs(α β)  
2a, CD  2a, AC 
10 ,故选 C.
10
5a  sinα csα
2 , sin β
2
2 , csβ
1  cs A
考点：解三角形.
已知向量a ，b 不共线，且c  λa  b ，d  a  2λ1b ，若c 与 d 反向共线，则实数λ的值为（）
A. 1B.  1
2
2
C. 1
【答案】B
D. -2
【解析】
【分析】存在实数 k 使c  kd （ k  0 ），化简得到方程组，舍去不合要求的根，求出λ  1 .
2
【详解】c 与 d 反向共线，则存在实数 k 使c  kd （ k  0 ），
λ→→→
于是 a  b  ka  k 2λ1b  ka  2λk  k b ，
λ k1

由于a ， b 不共线，所以有2λk  k  1
又因为 k  0 ，所以λ 0 ，故λ  1 .
2
，整理得2λ2 λ1  0 ，解得λ 1 或λ  .
2
答案：B
如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 2, 3 的图形，图中四边形ABCD 的对角线相交于点O，
若 DO  λOB ，则λ （）
2
A. 1B.
C.6
2
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标，由向量共线的坐标表示列方程求参数值.
【详解】因为 AD2  AC 2  CD2 ，所以 AC  CD ，
以 C 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，CD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则C(0, 0), A( 2, 0), D(0,1), B(
2 , 
2 ) ，
–––→
22
22 
设O(b, 0) ，则 DO  (b, 1) ， OB   2
 b, 
2  ，

2
b  λ 2
 b 
λ
2
2

由 DO  λOB ，所以 ，可得
1   2 λ
b 1
故选：B
2
如图，正三棱柱 ABC  A1B1C1 的底面是边长为 3 的正三角形，侧棱 AA1  4 ，一小虫从点 A 途经三个侧面爬到点 A1 ，则小虫爬行的最短距离为（）
97
153
A. 4B. 5C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案.
【详解】三棱柱的侧面展开图为一个矩形 AA ' A '1 A1 ，如图所示,
因为正三角形 ABC 的边长为 3，侧棱 AA1  4 ，所以 AA '  9 ，
所以 AA '1


97 ，即小虫爬行的最短距离为,
AA '2  AA2
1
8116
97
故选：C
若 AB, BC, CD 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系是 ()
A 平行B. 相交
C. AC 在此平面内D. 平行或相交
【答案】A
【解析】
【详解】
如图，设 AB, BC, CD 的中点分别为 E, F , G, H ，则 E, F , G, H 确定一个平面．连 E, F ，则 EF AC ．
又 EF  平面 EFGH ， AC  平面 EFGH ．
所以 AC 平面 EFGH ．
即过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系是平行．
某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所 示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11， 12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为 300，则活动时间在[11，12）内的人数为
（）
A. 600B. 800C. 1 000D. 1 200
【答案】D
【解析】
【分析】由频率分布直方图，根据频率的意义计算．
【详解】解析：活动时间在[9，10）内的频率为 0.10，在[11，12）内的频率为 0.40，设活动时间在[11，
12）内的人数为 x，则故选：D．
x  0.40 ，解得 x＝1 200．
3000.10
若一组样本数据x1 、 x2 、L 、 xn 的平均数为10 ，另一组样本数据2x1  4 、 2x2  4 、L 、 2xn  4 的方差为8 ，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（）
A. 17 ， 54B. 17 ， 48C. 15 ， 54D. 15 ， 48
【答案】A
【解析】
nn
【分析】计算出 x 、 x2 的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.
i
i1
i
i1
L
1 nn
【详解】由题意可知，数据x1 、 x2 、、 xn 的平均数为10 ，则 n  xi  10 ，则 xi  10n
所以，数据2x1  4 、 2x2  4 、L 、 2xn  4 的平均数为
i1
i1
n
12 n
x  n 2xi  4  n  xi  4  2 10  4  24 ，
i1i1
方差为
n
s2  1 n 2x  4  2x  42  4 n  x 102  4 n x2  4  n 102  4 n x2  400  8 ，
i
i
i
n i1 
i
i1
n i1
nn i1
所以，  x  102n ，
n
2
i
i1
将两组数据合并后，新数据x1 、 x2 、L 、 xn 、 2x1  4 、 2x2  4 、L 、 2xn  4 的平均数为
n
x   1 n x  2x  4  1  1 n 3x  4  1  3 n x  4   1 310  4  17 ，

i
2
2n  i1
ii
i1
2
n i1
2  n
i
i1
n
方差为 s 2  1 n  x 172  n 2x  4 172   1  5n x2  86 x  458n 
2n ii
2n ii
 i1
i1
 i1
i1
 1 5102n  860n  458n  54 .
2n
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列函数中，周期为 π，且在区间 π , π  上单调递增的是（）
 2
y | cs x |

y  tan 2x
y  cs 2xD. y  sin 2x
【答案】AC
【解析】
【分析】根据各项对应三角函数的性质判断区间单调性和周期，即可得.
【详解】对于 A， y | cs x |的周期为 π，在 π , π  上单调递增，符合要求;
 2

对于 B， y  tan 2x 的周期为 π ，不符合要求;
2
对于 C， y  cs 2x 的周期为 π，在 π , π  上单调递增，符合要求;
 2

对于 D， y  sin 2x 的周期为 π，在 π , π  上不单调，不符合要求.
 2

故选：AC.
已知 z 为复数，设 z ， z ， iz 在复平面上对应的点分别为 A，B，C，其中 O 为坐标原点，则（）
–––→–––→
OA  OB
–––→–––→
–––→–––→
OA  OC
AC  BC
OB ∥ AC
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ， B ， C 三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.
【详解】设 z  a  bia, b  R  ， A a,b  ，
z  a  bia, b  R  ， B a, b ，
iz  i a  bi  b  ai ，C b ,a  ，
OA  a,b ,OB  a, b ,OC  b ,a , AC  b  a,a  b , BC  b  a,a  b 
a2  b 2
对于 A，Q

–––→
a2  b 2
 OA
–––→
 OB ，故选项 A 正确；
OAOC
对于 B， Qa b   ba  0 ，–––→  –––→ ，故选项 B 正确；
b  a2  a  b2
b  a2  a  b2
–––→–––→
对于 C，Q AC

, BC
，
–––→–––→
当 ab  0 时， AC  BC ，故选项 C 错误；
对于 D，Q a a  b  bb  a  a2  2ab  b2 ，
a2  2ab  b2 可以为零，也可以不为零，所以OB 不一定平行于 AC ，故选项 D 错误.故选:AB.
如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述错误的是
（）
CC1 与 B1E 是异面直线B. C1C 与 AE 共面
C. AE 与 B1C1 是异面直线D. AE 与 B1C1 所成的角为 60°
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.
【详解】由于 CC1 与 B1E 都在平面 C1B1BC 内，故 C1C 与 B1E 共面，A 错误；
由于 C1C 在平面 C1B1BC 内，而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点，点 E 不在 C1C 上，故 C1C 与 AE 是异面直线，B 错误；
同理 AE 与 B1C1 是异面直线，C 正确；
AE 与 B1C1 所成的角就是 AE 与 BC 所成的角，而 E 为 BC 中点，△ABC 为正三角形，所以 AE⊥BC，即 AE 与 B1C1 所成为 90°，D 错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，点 A，B 对应的复数分别是 z1, z2 ，则
z1  z2
 ．
2
【答案】 2
【解析】
【分析】根据图像求得点 A,B 对应的复数，然后求 z1  z2 的值.
【详解】由图像可知 z  i, z  2  i ，故 z  z
 2  2i 
 2.
1212
22  22
2
【点睛】本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应，属于基础题.
底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为．
【答案】28
【解析】
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.
【详解】方法一：由于 2  1 ，而截去的正四棱锥的高为3 ，所以原正四棱锥的高为6 ，
42
所以正四棱锥的体积为 1 4  4 6  32 ，
3
截去的正四棱锥的体积为 1 2  2 3  4 ，
3
所以棱台的体积为32  4  28 .

方法二：棱台的体积为 1  3 16  4 
3
16  4   28 .
故答案为： 28 .
为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的
方法从三个年级中抽取了 260 人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了 85 人．已知该校高三年级共有 720 名学生，则该校共有学生人．
【答案】 2080
【解析】
【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.
【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了 260 人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了 85
人，可得高三年级共有 90 人，
又由高三年级共有 720 名学生，则每个学生被抽到的概率为 p 
90
，
720
设该校共有 n 名学生，可得 260 
n
90
720
，解得 n  2080 （人），
即该校共有2080 名学生.
故答案为： 2080 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
已知 π α 0 ，且函数 f α  cs 3π α  sinα
1 csα
1．
2 2
1 csα

（1）化简 f α ；
（2）若 f α  1 ，求sinαcsα和sinα csα的值．
5
【答案】（1） f α  sinα csα
（2） sinαcsα  12 ， sinα csα  7
255
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，
（2）对sinα csα 1 平方可求出sinα csα  12 ，再由 π α 0 可得sinα csα 0 ，然后
5252
求出sinα csα2 ，从而可求得sinα csα的值
【小问 1 详解】
f α  sinα sinα
1 csα2
1 cs2α 1
 sinα sinα 1 csα1  sinα csα．
sinα
【小问 2 详解】
由 f α  sinα csα 1 ，
5
平方可得sin2 α 2 sinαcsα cs2 α 1 ，
25
即2 sinα csα  24 ．
25
∴ sinα csα  12 ．
25
2
又 π α 0 ，∴ sinα 0 ， csα 0 ，
∴ sinα csα 0 ，
∵ sinα csα2  1 2 sinα csα 49 ，
25
∴ sinα csα  7 ．
5
V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，设 a  b  sin C  sin B .
求 C
3
若(1)a  2b 
2π
6c ，求 A
c  b
sin A
【答案】（1）；
3
π
（2）.
12
【解析】
【分析】（1）由已知及正弦边角关系整理得a 2  b 2  c 2  ab ，再由余弦定理求角的大小；
（2）由正弦边角关系、三角形内角性质、和差角正弦公式得sin  A  π  3 ，结合三角形内角范围求角
4 2

的大小.
【小问 1 详解】
因为 a  b  sin C  sin B ，由正弦定理得 a  b  b  c ，化简得a 2  b 2  c 2  ab ，
c  bsin Ac  ba
a2  b2  c2ab1
所以csC   .
2ab2ab2
因为C (0, π) ，所以C  2π .
3
【小问 2 详解】
3
因为(
1)a  2b 
3
6c ，由正弦定理得(
1) sin A  2 sin B 
6 sin C ，又C  2π ，
3
3
π3 2 ，即π 
由 A  B  C  π ，所以(1) sin A  2 sin(  A)  sin A  3 .
324 2

因为0  A  π ，所以 π  A  π  7π ，
34412
所以 A  π  π ，即 A  π  π  π .
433412
已知在V ABC 中， 角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ， 向量 m  (sin A, sin B) ， n  (cs B, cs A) ，
m  n  sin 2C .
求角 C 的大小;
若sin A, sin C, sin B 成等差数列，且CA  ( AB  AC)  18 ，求 c.
π
【答案】（1） ；
3
（2）6.
【解析】
【分析】（1）由已知、向量数量积坐标表示及和角正弦公式得 m  n  sin C  sin 2C ，再由二倍角正弦公式化简，即可得；
（2）根据等差数列的性质、正弦边角关系得 2c  a  b ，再由向量减法法则及数量积的定义得 ab  36 ，
最后应用余弦定理求边长.
【小问 1 详解】
由题设 m  n  sin A cs B  sin B cs A  sin( A  B) ，又 m  n  sin 2C ，在V ABC 中 A  B  π  C ， 0  C  π ，则sin( A  B)  sin C  sin 2C ，
所以cs C  1 ，故C  π .
23
【小问 2 详解】
由sin A, sin C, sin B 成等差数列，可得2 sin C  sin A  sin B ，则2c  a  b ，因为CA  ( AB  AC)  18 ，所以CA  CB  18 ，即 ab cs C  18 ，所以ab  36 .由余弦定理，得c2  a2  b2  2ab cs C  (a  b)2  3ab ，
所以c2  4c2 108 ，所以c  6 .
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点．
求证：BD⊥平面 PAC；
若∠ABC＝60°，求证：平面 PAB⊥平面 PAE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
说明 BD 与 PA, AC 垂直后，由线面垂直的判定定理得证线面垂直．
先证明 AE⊥平面 PAB．从而得证面面垂直．
【详解】证明：（1）因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD．
因为底面 ABCD 为菱形，所以 BD⊥AC．
又 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC．
（2）因为 PA⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABCD，所以 PA⊥AE．
因为底面 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，
且 E 为 CD 的中点，所以 AE⊥CD．所以 AB⊥AE．
又 AB∩PA＝A，所以 AE⊥平面 PAB．
因为 AE⊂平面 PAE，
所以平面 PAB⊥平面 PAE．
【点睛】易错点睛：本题考查证明线面垂直与面面垂直，解题关键是掌握线面垂直与面面垂直的判定定理．解题时要注意定理的条件要一一列举出来，不能简略，否则解题过程不完整，出现错误．
为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次
“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共 1500 名学生参与比赛，现从各年级参赛学生
中随机抽取 200 名学生，并按成绩分为五组： 50, 60 ， 60, 70 ， 70,80 ， 80, 90 ， 90,100 ，得到
3
如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占 .
7
求抽取的 200 名学生的平均成绩 x （同一组数据用该组区间的中点值代替）；
若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取 7 人，再从中选取 2 人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这 2 人都是高三学生的概率；
若比赛成绩 x  x  s （ s 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的 1500 名学生成绩
优秀的人数.

n
i1

x  xf

2
i
i
参考公式： s 
，（ fi 是第i 组的频率），参考数据：
 5.5
30
【答案】（1） 75
1
7
273
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可；
先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率；
先利用题目所求标准差公式求得 s ，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数.
【小问 1 详解】依题意，得
x  55 0.011 65 0.02  75 0.034  85 0.028  95 0.00710  75 ，
所以抽取的 200 名学生的平均成绩 x  75 .
【小问 2 详解】
由于第五组总共要抽取 7 人，高三学生占 3 ，所以抽到的高三学生应该有7  3  3 人，
77
C231
C
2
所以由古典概型可得这 2 人都是高三学生的概率为 3
7
 .
217
【小问 3 详解】
依题意，得
55  752  0.11 65  752  0.2  75  752  0.34  85  752  0.28  95  752  0.07
s 
44  20  0  28  28

120
30
 2
 11 ，
所以优秀的比赛成绩应该 x  x  s  75 11  86 ，
而比赛成绩在86,100 的频率为： 90  86 0.028  0.007 10  0.182 ，而1500  0.182  273 ，
故参赛的 1500 名学生成绩优秀的人数为273 人.