湖北省孝感市部分高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省孝感市部分高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交.等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出点的坐标，再根据三角函数的定义即可得解.
【详解】解：由角的终边经过点，即，
所以
故选：D.
2. 在中，，BC边上的高等于,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设
,故选C.
考点：解三角形.
3. 已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A. 1B.
C. D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】存在实数k使（），化简得到方程组，舍去不合要求的根，求出.
【详解】与反向共线，则存在实数k使（），
于是，
由于，不共线，所以有，整理得，解得或.
又因为，所以，故.
答案：B
4. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（ ）

A. 1B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标，由向量共线的坐标表示列方程求参数值.
【详解】因为，所以，
以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

如图所示，则，
设，则，，
由，所以，可得
故选：B
5. 如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案.
【详解】三棱柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示,

因为正三角形ABC的边长为3，侧棱，所以，
所以，即小虫爬行的最短距离为,
故选：C
6. 若是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线的位置关系是 ( )
A 平行B. 相交
C. 在此平面内D. 平行或相交
【答案】A
【解析】
【详解】
如图，设的中点分别为，则确定一个平面．
连，则．
又平面，平面．
所以平面．
即过它们中点的平面和直线的位置关系是平行．
7. 某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（ ）
A. 600B. 800C. 1 000D. 1 200
【答案】D
【解析】
【分析】由频率分布直方图，根据频率的意义计算．
【详解】解析：活动时间在[9，10）内的频率为0.10，在[11，12）内的频率为0.40，设活动时间在[11，12）内的人数为x，则，解得x＝1 200．
故选：D．
8. 若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】计算出、值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.
【详解】由题意可知，数据、、、的平均数为，则，则
所以，数据、、、的平均数为
，
方差为，
所以，，
将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为
，
方差为
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据各项对应三角函数的性质判断区间单调性和周期，即可得.
【详解】对于A，的周期为π，在上单调递增，符合要求;
对于B，的周期为，不符合要求;
对于C，的周期为π，在上单调递增，符合要求;
对于D，的周期为π，在上不单调，不符合要求.
故选：AC.
10. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.
【详解】设，，
，，
，，
对于A，，故选项A正确；
对于B， ，，故选项B正确；
对于C，，
当时，，故选项C错误；
对于D， ，
可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.
故选:AB.
11. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（ ）
A. CC1与B1E是异面直线B. C1C与AE共面
C. AE与B1C1是异面直线D. AE与B1C1所成的角为60°
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.
【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；
同理AE与B1C1是异面直线，C正确；
AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据图像求得点A,B对应的复数，然后求的值.
【详解】由图像可知，故.
【点睛】本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应，属于基础题.
13. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.
【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
方法二：棱台的体积为.
故答案为：.

14. 为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.
【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人，
又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，
设该校共有名学生，可得，解得（人），
即该校共有名学生.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 已知，且函数．
（1）化简；
（2）若，求和的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，
（2）对平方可求出，再由可得，然后求出，从而可求得的值
【小问1详解】
．
【小问2详解】
由，
平方可得，
即．
∴．
又，∴，，
∴，
∵，
∴．
16. 的内角的对边分别为，设.
（1）求C
（2）若，求A
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知及正弦边角关系整理得，再由余弦定理求角的大小；
（2）由正弦边角关系、三角形内角性质、和差角正弦公式得，结合三角形内角范围求角的大小.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，化简得，
所以.
因为，所以.
【小问2详解】
因为，由正弦定理得，又，
由，所以，即.
因为，所以，
所以，即.
17. 已知在中，角的对边分别为，向量，，.
（1）求角C的大小;
（2）若成等差数列，且，求c.
【答案】（1）；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）由已知、向量数量积坐标表示及和角正弦公式得，再由二倍角正弦公式化简，即可得；
（2）根据等差数列的性质、正弦边角关系得，再由向量减法法则及数量积的定义得，最后应用余弦定理求边长.
【小问1详解】
由题设，又，
在中，，则，
所以，故.
【小问2详解】
由成等差数列，可得，则，
因为，所以，即，所以.
由余弦定理，得，
所以，所以.
18. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）说明与垂直后，由线面垂直的判定定理得证线面垂直．
（2）先证明AE⊥平面PAB．从而得证面面垂直．
【详解】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD．
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．
（2）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．
又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB．
因为AE⊂平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE．
【点睛】易错点睛：本题考查证明线面垂直与面面垂直，解题关键是掌握线面垂直与面面垂直的判定定理．解题时要注意定理的条件要一一列举出来，不能简略，否则解题过程不完整，出现错误．
19. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.
（1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
（2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
（3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式：，（是第组的频率），参考数据：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可；
（2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率；
（3）先利用题目所求标准差公式求得，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数.
【小问1详解】
依题意，得
，
所以抽取的200名学生的平均成绩.
【小问2详解】
由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.
【小问3详解】
依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在频率为：，
而，
故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人.