湖北省孝感市2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试卷

这是一份湖北省孝感市2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试卷，共20页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交.等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列，则是该数列的（ ）
A. 第5项B. 第6项
C. 第7项D. 第8项
2. 若，，成等比数列，则函数的图像与轴的交点个数为（ ）．
A. 0B. 1C. 2D. 不确定
3. 如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，取得极小值1B. 当时，取得极大值1
C 当时，取得极大值33D. 当时，取得极大值
5. 如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）

A. 780B. 840C. 900D. 960
6. 某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有
A. 720种B. 600种C. 360种D. 300种
7. 已知正九边形，从中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可推断（ ）
A. 变量X与Y不独立
B. 变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01
C. 无法判断变量X与Y是否独立
D. 变量X与Y独立
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A. 数列是等差数列B. 数列是等差数列
C. 数列是等比数列D. 数列是等差数列
10. 已知函数在R上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
11. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
13. 从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有______个.
14. 为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据:
单位:名
设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk.
（1）求的值;
（2）求满足的最小自然数的值.
16. 函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有最大值M，且，求a的值．
17. 已知函数为常数，e=2.71828…，曲线在点处的切线与x轴平行.
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
18. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司可正确回答其中的道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲、乙两家公司共答对道题目的概率；
（2）请从期望和方差角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.

表中：，
（1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；
（2）已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
（2）参考数据：，，，，
湖北省孝感市部分高中2024—2025学年下学期期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列，则是该数列的（ ）
A. 第5项B. 第6项
C. 第7项D. 第8项
【答案】C
【解析】
【详解】由数列，，2，…的前三项为，，可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，可得n＝7.故选C.
2. 若，，成等比数列，则函数的图像与轴的交点个数为（ ）．
A. 0B. 1C. 2D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】由题得，再计算得解.
【详解】因为，，成等比数列，所以，
令，则，
所以函数的图像与轴的交点个数为1个，
故选：B
3. 如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据的图象，分析的函数值的正、负情况，即可判断.
【详解】解：由图象知上先减后增，故在上函数值先负后正，
同理在上的符号是先负后正，四个选项中仅有选项A符合.
故选：A.
4. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，取得极小值1B. 当时，取得极大值1
C. 当时，取得极大值33D. 当时，取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案.
【详解】由题意得，
令，解得或，
当x变化时，、变化如下
所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当时，取得极小值，故A错误，
故选：B
5. 如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）

A. 780B. 840C. 900D. 960
【答案】D
【解析】
【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.
【详解】解：先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．
故选：D.
6. 某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有
A. 720种B. 600种C. 360种D. 300种
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有种情况，
② 5人排好后有5个空位可选，其中任选1个，安排丙，有5种情况，
则有60×5＝300种不同的顺序，
故选D．
【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
7. 已知正九边形，从中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的定义，列出基本事件求概率即可.
【详解】
可以和向量构成数量积有 一共8个向量，
其中数量积为的正数的向量有： 一共4个，
由对称性可知，任取两个向量，它们的数量积是正数的概率为：.
故选：A
8. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可推断（ ）
A. 变量X与Y不独立
B. 变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01
C. 无法判断变量X与Y是否独立
D. 变量X与Y独立
【答案】D
【解析】
【分析】由独立性检验的意义判断可得.
【详解】零假设为:变量X与Y独立.
因为，所以依据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为变量X与Y独立.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A. 数列是等差数列B. 数列是等差数列
C. 数列是等比数列D. 数列是等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断选项；利用等比数列定义可判断C选项．
【详解】设等差数列的公差为，则，∴．
对于A选项，，∴为等差数列，A正确；
对于B选项，令，
∴，
故数列是等差数列，B正确；
设等比数列的公比为，
对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；
对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
10. 已知函数在R上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导函数与函数单调性的关系一一判定即可.
【详解】因为函数，所以.
因为函数在R上单调递增，所以,对于任意的恒成立，
所以恒成立，即A正确；
但大小不确定，故B错误；
对于方程，有，即，所以C正确，D错误；
故选：AC.
11. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A. P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先利用正态分布，确定和，再结合正态分布的对称性，和的原则，即可求解.
【详解】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；
B., ，所以，故B正确；
C. =，所以，故C正确；
D. ，，所以，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，
则，
所以，，
又，则，
因此，.
故答案为：.
13. 从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有______个.
【答案】36
【解析】
【分析】
若复数为虚数，则，分两种情况讨论即得解.
【详解】从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，当时，对应的有6个值；当取1,2,3,4,5,6时，对应的只有5个值.所以虚数有（个）.故答案为:36.
【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题.
14. 为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据:
单位:名
设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于___________.
【答案】0.05
【解析】
【分析】计算卡方，再由独立性检验比较可得.
【详解】由公式计算得，根据小概率值的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，判断出错的概率不大于0.05.
故答案为：0.05.
四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk.
（1）求的值;
（2）求满足的最小自然数的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，得到，结合，分别求得的值；
（2）由（1）得到，求得，当和时，可得，，进而得到的最小值.
小问1详解】
解：设数列的公差为，
因为成等比数列，且，所以，
即，即，解得，所以，
又因为，
当时，集合，所以集合中元素的个数；
当时，集合，所以集合中元素的个数；
【小问2详解】
解：由集合 的元素个数为，
结合（1）可得，
所以，
当时，可得；
当时，可得，
又由，
所以数列为单调递增数列，所以的最小值是.
16. 函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有最大值M，且，求a的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）求出，分或两种情况讨论可得；
（2）由（1）可得，则，构造函数，利用导数可求最大值得出，则，即可得出.
【详解】解：（1）易知，，
当时对任意的恒成立；
当时，若，得，若，得，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可得当时，单调递增，则没有最大值，，
则在上单调递增，在上单调递减，
，即，
，，即，
令，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
，
，.
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先得出，再根据导数求出函数单调性，得出.
17. 已知函数为常数，e=2.71828…，曲线在点处的切线与x轴平行.
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 单调递增区间是，单调递减区间是
【解析】
【详解】试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间
试题解析：（I） ，
由已知，，
（II）由（I）知，.
设，则，即在上是减函数，
由知，当时，，
当时，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.
考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义
18. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司可正确回答其中的道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲、乙两家公司共答对道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【答案】（1）（2）甲公司竞标成功的可能性更大.
【解析】
【详解】试题分析：（1）分两种情况求概率：甲答对道题、乙答对道题；甲答对道题、乙答对道题；其中甲答对道题概率为,乙答对道题概率为，最后根据概率乘法公式与加法公式求概率，（2）分别求甲、乙公司正确完成面试的题数期望和方差，期望较大、方差较小的公司竞标成功的可能性更大.先确定随机变量可能取法，求出对应概率(甲答对道题概率为,乙答对道题概率为)，利用期望公式及方差公式求期望与方差.
试题解析：（1）由题意可知，所求概率.
(2)设甲公司正确完成面试的题数为,则的取值分别为，，.
,，.
则的分布列为：
.
设乙公司正确完成面试的题为,则取值分别为，，，.
,,
,
则的分布列为：
.（或）
.()
由,可得，甲公司竞标成功的可能性更大.
19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.

表中：，
（1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；
（2）已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
（2）参考数据：，，，，
【答案】（1）②更适宜，；
（2）7.5min.
【解析】
【分析】（1）根据散点图选择②，取对数，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程即可.
（2）利用（1）中回归方程，列出关于的方程求解即得.
【小问1详解】
由散点图知，更适宜的回归方程为②，即.
由，得，两边取自然对数，得，
令，则，
，
结合表中数据，得，
结合参考数据可得，由，得，
所以茶水温度y关于时间x的回归方程为.
【小问2详解】
依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳，
即，整理得，
于是，解得，
所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感. 性别
疗效
合计
无效
有效
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
合计
21
79
100
α
0.100
0.050
0010
2.706
3.841
6.635
73.5
3.85
x
-1
+
0
-
0
+
极大值
极小值
性别
疗效
合计
无效
有效
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
合计
21
79
100
α
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
73.5
3.85