第20讲-数列求通项的方法-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第20讲-数列求通项的方法（原卷版）

                                                                        教学内容

1、设正项等比数列的首项，前n项和为，且，求的通项。

2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

3、已知数列的前n项和（n为正整数）。

（1）令，求证数列是等差数列，

（2）求数列的通项公式；

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后）。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

《达·芬奇密码》中还提到过这个斐波那契数列：菲波那契数列指的是这样一个数列：

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，

它的通项公式为：。

证明：设      （1），

其中满足，

解得或；

①当时，，

设      （2），则      （3），

讲（2）（3）代入（1）得：，

所以数列是等比数列，其中，公比；

，即      （4）；

②当时，同理可得：      （5）；

将（4）（5）两式相减得：；

故可得上述通项公式，很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

该数列有很多奇妙的属性

1：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割；

2：从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1；

知识点一：利用等差等比数列通项公式(公式法)

知识梳理

等差数列的通项公式为：

等比数列的通项公式为：

例题精讲

例1、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，求，的通项公式。

例2、等差数列的前项和为．求数列的通项。

巩固练习

1、实数列是等比数列,成等差数列，求数列的通项。

知识点二：利用数列的前项和求数列的通项公式

知识梳理

利用（作差法）

注：一定要检验时是否成立。

例题精讲

例1、数列的前项和为，，，求数列的通项。

例2、已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．求的通项公式。

巩固练习

1、设数列满足，．求数列的通项。

2、各项全不为零的数列的前项和为,且求数列。

知识点三：利用递推关系

知识梳理

1．递推关系 其中为常数（累加法）

由递推式得，诸式相加，得，即为累加法求数列通项公式。

例题精讲

例1、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．求的通项公式．

例2、已知数列满足，求数列的通项公式。

巩固练习

1、已知数列满足，且，求数列的通项公式。

知识梳理

2．递推关系 其中为常数（累乘法）

由递推式得，诸式相乘，得   ，即为累乘法求数列通项公式。

例题精讲

例1、已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。

例2、已知，求数列的通项公式.

巩固练习

1、数列满足且，求数列的通项公式。

知识梳理

3．递推关系 其中为常数且，令，整理得，所以，即，从而，所以数列是等比数列。

例题精讲

例1、已知数列：3，5，7，9，…，，…。另作一数列，使得，且当时，，求数列的通项公式。

例2、数列中，设且，求数列的通项公式。

1、设数列的首项．求的通项公式。

知识梳理

4．递推关系 其中为常数且，令，由递推式两边同除以，

（1）当时，。对此采用累加法可求。

（2）当时，。对此采用待定系数法可求。

例题精讲

例1、在数列中，，其中．求。

例2、数列的前项和为且满足，求。

巩固练习

1、设为常数，且．证明：对任意，；

注：本题也可以通过数学归纳法证明。

知识梳理

5．递推关系 其中为常数

（1）若时，，即，

知为等比数列，对此采用累加法可求。

（2）若时，存在满足，

整理得，有，

从而是等比数列，对此采用3. 4中所述的方法即可。

例题精讲

例1、已知数列满足，求数列的通项公式。

例2、已知数列中，，求数列的通项公式。

巩固练习

1、数列中，若,且满足,求.

知识梳理

6. 递推关系,利用倒数法变形，两边取倒数后换元转化为与形式相同的。

例题精讲

例1、已知数列满足：，求数列的通项公式。

例2、数列满足：，且，求。

巩固练习

1、数列满足：，，求数列的通项公式。

知识梳理（选讲）

7、形如型

方法：不动点法

我们设,由方程求得二根，由有

同理,两式相除有,从而得,再解出即可.

对于若数列满足且。

（1）若方程有两个相异实根，则；

（2）若方程有两个相等实根，且，则。

例题精讲

例1、已知数列满足，求数列的通项公式。

例2、已知数列满足，求数列的通项公式。

 1、设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是________.

2、数列中，，，则的通项为                   。

3、设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式为                   。．

4、已知数列中，，则数列的通项公式为            .

5、已知中，，（），则数列的通项公式为            .

6、已知中，，（）求。

7、已知：，时，，求的通项公式。

8、已知中，，其前项和与满足（）

（1）求证：为等差数列  （2）求的通项公式

9、已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

证明：

10、已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列．

（I）证明：；

（II）若，证明数列是等比数列；

笔耕不辍

教师引导学生借助知识脑图总结重难点