圆的最值问题专题讲义 高三数学一轮复习

与圆有关的最值问题专题

一.圆中与距离最值有关的常见的结论：

结论1. 圆外一点到圆上距离最近为，最远为；

例1．抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（    ）

A．6 B．2 C．5 D．8

答案：A.

结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；

例2．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（       ）

A． B． C． D．

答案：B

结论3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离,最近为；

例3．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

答案：D

二.与切线长有关的最值结论：

从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则有：

结论4.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.

结论5. 过圆外一点向圆引两条切线，切点记为，则四边形面积的最值等价于圆心到点的距离最值.

例4. 若是直线：上一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

解析：因为直线与圆相切，所以，且所以四边形面积，又，

所以当最小时，最小，四边形面积的最小值，由图象可得，最小值即为点C到直线的距离，所以，所以

，所以四边形面积的最小值，故选：B

三.圆中与角度有关的最值问题.

结论6. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.

例5．已知圆：，线段在直线：上运动，点为线段上任意一点，若圆上存在两点，，使得，则线段长度的最大值是______.

解：由题意知，圆心，半径所以，圆心到直线的距离，即直线和圆相离.从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线为切线时最大，不妨设切线为，由知，即.

所以，解得.所以在直线上，当最大时，点到圆心的距离为.所以，此时长度最大值为.故答案为: .

结论7. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.

结论8. 圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.

例6.（2021新高考1卷）．已知点在圆上，点，，则（       ）

A．点到直线的距离小于            B．点到直线的距离大于

C．当最小时，             D．当最大时，

解析：圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD.

四．将军饮马型最值

三角不等式（将军饮马）：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.

结论9.如图动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最大值当且仅当三点共线.倘若在两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，的最小值为0，即为中垂线与的交点.

总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧”

例7．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为

A． B． C． D．

解析：由圆，圆，可知圆圆心为，半径为1，如图，圆圆心为，半径为2，圆关于直线的对称圆为圆，连结，交于，则为满足使最小的点，

此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，

最小值为，而，的最小值为，故选A.

五．逆用阿波罗尼斯圆

1.阿氏圆定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为.

结论10：已知圆上任意一点和坐标轴上任意两点，求形如的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.

例8．已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

解析：由题设，知：且，即圆的半径为4，

∴圆：，

如上图，坐标系中则，∴，即△△，故，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.

∴，在△中，∴要使最大，共线且最大值为的长度. ∴. 故选：A

六.圆有关的平行线束最值问题

结论11．两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.

例9.对于圆上任意一点，的值与和无关，则当时，的最大值是（    ）

A． B．1 C．2 D．4

解析：因为，所以表示点到直线和直线的距离和的倍.所以要使的值与和无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，即圆心在两条平行直线之间，且两条平行线不与圆相交.又因为，所以两平行线和之间的距离为，所以的最大值是.故选：C.