六年级《数学》小升初期末专题训练卷（专题四二 阅读理解与探究）【A3排版、含答案解析】

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类型一理解新定义型
1.如图①,射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC,则我们称射线OC是射线OA的伴随线。例如，如图②,∠AOB=60°,∠AOC=∠COD=∠BOD=20°,则∠AOC=12∠BOC,称射线OC是射线OA的伴随线，同时，由于∠BOD=12∠AOD，则称射线OD是射线OB的伴随线。
（1）如图③,若∠AOB=120°,射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM=°;
（2）如图④,∠AOB=180°,射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点0以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止。
①是否存在某个时刻t（秒）,使得∠COD的度数是20°,若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
②若射线OD在∠AOB内部，当t=秒时，射线OC,OD,0A中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线。（请直接写出答案）
2.指数与对数是数学中两个非常重要的概念（本题中所有参数均为正整数）,其中指数表示为ab,意思是b个a相乘（如2³=2×2×2）。而对数作为指数运算的逆运算形式如下：lgab,其中a叫做底数，b叫做真数，这个符号代表的数字的意义是a的多少次方的值为b,如lg28=3,23=8,lg327=3,33=27。
（1）试计算lg525+lg5125的值。
（2）通过上面式子能否猜想一下lg618+lg62的值。
（3）通过上面的问题总结一下规律给出lgab+lgac的结果，并尝试证明。
3.经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”,这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”。
例如，如图，在△ABC中，点D在AB边上，若AD=DC=CB,则称△ABC是“钻石三角形”,直线CD是△ABC的“钻石分割线”。
（1）已知在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,则Rt△ABC_“钻石三角形”（填“是”或者“不是”）;
（2）已知，△ABC是“钻石三角形”,∠A>∠B>∠C,直线BD是△ABC的“钻石分割线”,探求∠ABC与∠C之间的关系。
4.定义：如果四边形中有一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点。例如：如图①,在平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点。
（1）已知平行四边形ABCD如图②,在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE。（要求：画出必要的线段）
（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与点B、D重合）,请分别解决下列问题。（S1、S2、S3、S4分别表示△ABP、△CBP、△CDP、△ADP的面积）
a.如图③,当四边形ABCD只有一对等高点A、C且S1−S3=6时，求S2与S4的数量关系。
b.如图④,当四边形ABCD没有等高点且S1=4,S3=2时，求S2×S4。
5.邻边互不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为n阶准正方形。（例如，若第3次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为3阶准正方形。）如图①,长方形ABCD中，若AB=1,BC=2,则长方形ABCD为1阶准正方形。
（1）判断与推理：
①小明为了剪去一个正方形，进行如下操作：如图②,把长方形ABCD沿BE折叠，使点A与点F重合，则四边形ABFE一定是形。
②如图③,邻边长分别为2和3的长方形是阶准正方形。
（2）操作、探究与计算，若长方形ABCD的邻边长分别为2,a（a>2）,且是3阶准正方形，请画出长方形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值。
类型二理解解题方法型
6.数学期望是描述概率事件的一种重要工具，比如一个标准的骰子六个面，每个面写1到6这六个数之一，扔一次骰子每个面出现的概率都是16，它的数学期望为E=16×1+16×2+16×3+16×4+16×5+16×6=72。
（1）一个运动员打靶，他命中10环的概率为0.1，9环的概率为0.2,8环的概率为0.4,7环的概率为0.3,问他打靶的期望为？
（2）在A中学和B中学两所中学中选取一名男生和一名女生参加比赛，A中学候选人为3男2女，B中学候选人为2男4女，问：A中学入选人数的期望是多少？
7.如图①中的△ABC是直角三角形，∠C=90°。现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合条件的矩形可以画出两个，如图②所示：
数学解题小方法
例：已知a>b>1，m=a+1a，n=b+1b，试比较m和n的大小关系。
分析：如何比较两个数的大小关系呢？通常采用作差法，过程如下：m−n=(a+1a)−(b+1b)=(a−b)+(1a−1b)=(a−b)+b−aab=(a−b)(1−1ab)=(a−b)ab−1ab，因为a＞b＞1，所以a−b>0，ab＞1，ab−1＞0。所以(a−b)ab−1ab>0，所以m−n>0，即m>n。
（1）设图②中的矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1和S2,则S1S2。（填“>”“=”或“AC>AB,按题目中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，并在图③中把符合要求的矩形画出来。
（3）在图③中所画出的矩形中，它们的面积之间具有怎样的关系？并说明你的理由。
（4）结合“数学解题小方法”,猜想图③中所画的矩形的周长之间的大小关系，请加以证明。
类型三问题探究型
8.问题探究与解决。
（1）问题提出：如图①,线段AB,CD夹在平行线a和b之间，且AB=CD。请你参考图①,在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行线a,b之间的两条线段相等。
（2）问题探究：如图③,在梯形ABCD中，连接AC,DB交于点0,试探究△ABO与△DCO的面积之间的关系，并说明理由。
（3）问题解决：如图④,已知△ABC的面积为36,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，AD=5,BD=10,且△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，求△ABE的面积。
9.如图①,在直角梯形ABCD中，AD//BC,∠B=∠A=90°。
操作示例：我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P,过点P作PE//AB,截掉△并将△PEC拼接到△PFD的位置，构成新的图形（如图②）。
思考发现：小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上。可以得出四边形ABEF是一个平行四边形。
（1）类比图②的剪拼方法，请你分别将图③和图④的两种情形沿一条直线进行剪切，画出剪拼成一个平行四边形的示意图。
（2）如图③,在梯形ABCD中，AD//BC,E是CD的中点，EF⊥AB于点F,AB=5,EF=4,求梯形ABCD的面积。
联想拓展：小明探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形。
（3）如图⑤的多边形ABCDE中，AE//CD,若连接AC,则恰有AC//ED。请你像上面剪法一样沿一条直线进行剪切，将多边形ABCDE拼成一个平行四边形，请你在图⑤中画出剪拼的示意图，并作必要的文字说明。（不需证明）
10.【实践发现】（1）如图①,点P是直线L外一点，则线段PA、PB、PC中最短的线段是。
【应用计算】（2）如图②,将三角形ABC沿直线L翻折得到三角形ADC,若∠B=180°，∠2=42°则∠1的度数是。
【尝试探究】（3）如图③,在三角形ABC中，∠BAC=45°,BC=8,三角形ABC的面积是12,点D是BC上任意一点，将三角形ABD沿AB翻折得到三角形ABE,将三角形ACD沿AC翻折得到三角形ACF。若连接EF,试计算三角形AEF面积的最小值。
类型四探究迁移型
11.阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²。请解答下列问题：
（1）小明同学打算用x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片B,z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片C拼出一个面积为（3a+5b）（4a+7b）的长方形，那么他总共需要张纸片A、张纸片B、张纸片C。
（2）写出图②中所表示的数学等式。
（3）利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9,a2+b2+c2=23，求ab+bc+ac的值。
12.如图①,已知线段AB=12cm,点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点。
（1）若点C恰好是AB的中点，则DE=cm。
（2）若AC=4cm,求DE的长。
（3）试利用“字母表示数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm）,DE的长不变。
（4）【知识迁移】如图②,已知∠AOB=120°,过角的内部任一点C画射线OC,若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,试说明∠DOE的度数与射线OC的位置无关。
13.（1）问题发现：如图①,已知△ABC,点D为BC上的中点，连接AD,则s△ABDs△ACD。（填“>”,“6b）,若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为cm²（用含a、b的代数式表示）。