河南省商丘市2025届九年级下学期第三次联考数学试卷(含解析)

这是一份河南省商丘市2025届九年级下学期第三次联考数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，与相加等于0的数是（ ）
A．2B．C．D．
2．光明中学新校区建成之际，施工方在墙角处留下一堆沙子（如图所示，两面墙互相垂直），则这堆沙子的主视图是（ ）

A． B．
C． D．
3．如图是一个立方体的平面展开图，每个小正方形的边长均为1， 则在立方体上，点A，B 的距离为（ ）
A．2B．C．D．1
4．一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知，于点F，平分，若， 则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数 在范围内有最大值，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．(7， 0)
10．如图，在中，，，，点 P 从点A 出发，沿向点C 以的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿向点B 以的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形的面积最小为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．平面上两条直线的位置关系是 或 ．
12． 不等式组的解集
13．2024年3月31日，郑开马拉松赛在郑开大道郑东新区举行．本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了这一岗位的遴选，其中大学生2名，快递员1名，老师1名，2名大学生恰好被录取的概率是 ．
14．如图，是的内接三角形，斜边，直角边，点P是外一点，，连接，若与相切，则的长为 ．
15．如图，在中，，，是的中点，将绕点旋转得到， 连接．当 时，的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．2024年3月25日，是第29个全国中小学生安全教育日，为切实增强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力，某校在 3月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情况．学校分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理和分析，研究过程中的部分信息如下：
信息一：安全知识测试题共10道题目，每题10分；
信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：
信息三：八年级平均成绩的计算过程如下：
（分）
信息四：
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；
(2)你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由；
(3)在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自年级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．
(4)学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从A．交通安全，B．食品安全，C．消防安全，D．网络与信息安全，E．心理健康与安全中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择D和E的概率．
18．下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；
②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ为所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PB，QA，QB．
∵PA＝PB＝QA＝QB，
∴四边形APBQ是菱形 （填推理的依据）．
∴PQ⊥AB （填推理的依据）．
即PQ⊥l．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，点M为反比例函数图象上第四象限内一动点，过点M作轴于点C，取x轴上一点D，使得，连接交y轴于点E，点F是点E关于直线的对称点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)试判断点F是否在反比例函数的图象上，并说明四边形的形状．
20．风是一种可再生能源．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能源供应的多样性，降低对传统能源的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶， ， 两两所成的角为 ，当其中一片风叶与塔干 叠合时，在与塔底 O 水平距离为 米的 E 处，测得塔顶部 A 的仰角． ，风叶 的视角 ，求风叶 的长度（结果精确到．参考数据：）
21．随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
(1)当购物金额为90元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；
(2)当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
(3)对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=购物金额-实付金额）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
22．如图1，⊙O与直线l相离，过圆心O作直线l的垂线，垂足为P，且交于两点（M在之间）．我们把点N称为关于直线l的“远望点”，把的值称为关于直线l的“远望数”．

(1)如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，过点E画垂直于x轴的直线a，则半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是________，关于直线a的“远望数”为________；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C坐标为，以点C为圆心、长为半径作．若与直线相离，点O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是求直线的函数表达式．
23．综合与实践
问题情境：
“综合与实践”课上，李老师进行如下操作，将图①中的矩形纸片沿着对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图②所示的方式摆放，其中点B与点G重合（标记为点B），并将绕点B旋转，直线、相交于点F．
初探发现：
(1)如图②，猜想，数量关系是 ．
深入探究：
(2)李老师将图②中的绕点B继续旋转．
①“善思”小组提出猜想：旋转过程中，当点E落在的内部，如图③，线段，，有一定的数量关系，请你写出他们的猜想，并说明理由．
②“智慧”小组也提出：在旋转的过程中，当时，过点A做于点H，若给出，，可以求出的长．请你思考此问题，直接写出结果．
《河南省商丘市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷 》参考答案
1．B
解：∵，
∴与相加等于0的数是．
故选：B．
2．B
解：这堆沙子的主视图是：
，
故选：B．
3．C
解：如图
依题意，，
在立方体上，点A，B 的距离为
故选：C．
4．A
解：
∴
∴或
解得：
故选：A．
5．C
解：A.，运算错误，不符合题意；
B.， 运算错误，不符合题意；
C.运算正确，符合题意；
D.运算错误，不符合题意．
故选：C．
6．D
设与相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
7．C
解：∵，
∴，即，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
8．B
解：
∵，抛物线开口向上，对称轴为直线
①当时，即时，
当时，最大值
则
解得：（舍去）
②当时，
当时，最大值为
解得：（舍去）或
故选：B．
9．A
解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵C是斜边的中点，
∴，
∵，
∴在中，，
由平移的性质可得，，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
10．C
解：由题可知，是直角三角形，
∴，
设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y，
则，
∴，
则当时，y最小为．
故选：C．
11． 相交 平行
解：在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．
故答案为：相交、平行．
12．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
13．
解：用表示两名大学生，B表示快递员，C表示老师，
则列表如下：
由列表可知有12种等可能的结果数，其中2名大学生恰好被录取的有2种结果，
∴2名大学生恰好被录取的概率为：，
故答案为：．
14．3
解：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，与相切，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：3．
15．或
解：过点作于点，
∵，是的中点，
∴，
∵点旋转得到，
∴是等腰直角三角形，，
∵
∴，
∴，
如图，当在的上方时，
∴在中，
∴，
如图，当在的下方时，
同理可得，
故答案为：或．
16．（1）
（2）
解：（1）原式；
（2）原式
．
17．(1)75；80
(2)九年级的成绩更稳定，理由见解析
(3)乙同学的成绩在自己年级排名更靠前，理由见解析
(4)七年级选择D和E的概率为．
（1）解：八年级成绩第20和21个数分别为:70和80，
则八年级成绩的中位数，
九年级成绩，80分出现了14次数，次数最多，九年级成绩的众数，
故答案为：75；80；
（2）解：九年级1班的成绩更稳定，
九年级成绩的方差为，八年级成绩的方差为，
九年级方差八年级的方差，
九年级的成绩更稳定；
（3）解：九年级成绩的中位数为80，八年级成绩的中位数为75，而甲同学成绩小于该班成绩中位数，而乙同学成绩大于该班成绩中位数，
乙同学成绩在该班成绩的排名更靠前；
（4）解：画树状图如下：
所有等可能的结果数有20种，其中七年级选择D和E的结果数有2个，
七年级选择D和E的概率为．
18．（1）见解析；（2）四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直
（1）如图所示．
（2）证明：连接PA，PB，QA，QB．
∵PA＝PB＝QA＝QB，
∴四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．
∴PQ⊥AB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）．
即PQ⊥l．
故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．
19．(1)
(2)点F在反比例函数的图象上，四边形是菱形，理由见解析
（1）解：点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，
，
，
比例函数图象在第二、四象限，
，即，
反比例函数的表达式为：；
（2）解：，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
点F是点E关于直线的对称点，
，
将代入，得，左边等于右边，
点F在反比例函数的图象上，
在中，
，
点为的中点，
，
点F是点E关于直线的对称点，
，
四边形是菱形．
20．风叶的长度约为
如图，自点B作，垂足为点F，过点A作，垂足为点G．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
由已知，
∴，
在中，．
∵，
∴，
又，则，
∴，则．
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴．
答：风叶的长度约为．
21．(1)
(2)当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱
(3)在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大
（1）解：当购物金额为90元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额90元，
∵，
∴当购物金额为90元时，选择超市更省钱；当购物金额为120元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额(元)，
，
∴当购物金额为120元时，选择超市更省钱．
故答案为：．
（2）当时，在超市购物实付金额；
当时，在超市购物实付金额；
当时，在超市购物实付金额；
∴在超市购物实付金额，
当时，；
当时：；
当时：
若，解得；
若，解得；
若，解得．
综上，当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱．
（3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
举例说明如下：
当在超市购物金额为100元时，返40元，
实付金额为(元)，优惠率为；
当在超市购物金额为160元时，返40元，
实付金额为(元)，优惠率为，
∴在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
22．(1)
(2)直线的函数表达式为
（1）根据“远望点”定义，可得半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是，
∴关于直线a的“远望数”为，
故答案为：
（2）设直线的解析式为
连接并延长，交于H，交直线于点G，过C作轴于点D，设

∵点C坐标为，
∵O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是，
即
∵点C坐标为，轴于点D，
∴
即
同理得
即，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为
23．(1)
(2)①，理由见解析；②或3
（1）解：连接，
∵
∴，
∴
∴
∴
故答案为：．
（2）①由（1）可知
∵
∴
∴
∴
∴
②Ⅰ．当在上方时，设与交点为M，过点M作交于点N
∵
∴，，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理可得
∴
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴
Ⅱ．当在下方时，如图：
∵
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴四边形是矩形
∴
统计量
平均数
中位数
众数
方差
九年级
82.5
80
n
八年级
80.5
m
70
A超市
B超市
优惠方案
所有商品按七五折出售
购物金额每满100元返40元
B
C
B
C