河南省商丘市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷（附答案解析）

这是一份河南省商丘市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷（附答案解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个有理数中，绝对值最小的是（ ）
A．B．0C．3D．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“化”所在面相对的面上的汉字是 （ ）
A．传B．承C．非D．遗
3．截至2025年2月26日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．1B．或1C．0D．0或4
7．小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
8．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
9．如图，以点O为圆心的扇形中，，，再以点A为圆心，为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．如图1，点在正方形的边上，且，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，若图象的最低点的纵坐标为，则最高点的纵坐标的值为（ ）

A．6B．C．D．
二、填空题
11．请写出一个二次根式 ，使它满足只含有一个字母x，且当时有意义．
12．如图，在中 ，，，，则 的长为
13．不等式组的解集为
14．如图，在中，已知点，点A在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为 ．
15．如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（：；：；：；：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
(1)求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图；
(2)已知该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在到分钟（含分钟）的学生有多少人？
(3)若组中有名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
18．如图，在中，．
(1)尺规作图：作出经过，，三点的．(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接并延长，交于点，连接，．求证：
19．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，且，反比例函数的图象与边，分别交于点M，N．连接，．
(1)若，，求反比例函数的表达式．
(2)判断 (填“”“”或“”)．
(3)小颖说“若M是边的中点，则N是边的中点”，你认为小颖的说法正确吗？请说明理由．
20．我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置E处，且与垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长 ．
21．中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：


学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快．这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八．”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大．
(1)请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征．你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律？用自己的话叙述出来．
(2)初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宣传的这种速算法？
22．综合与实践
甲、乙两名同学打羽毛球比赛．假设羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：m）与点的水平距离（单位：m）之间近似满足函数关系．
比赛中，甲同学连续进行了两次发球．第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的五组对应数据如下：
根据以上数据，回答下列问题：
(1)求出竖直高度与水平距离之间满足的函数关系．
(2)若乙同学原地起跳能使球拍达到最大高度（达到最大高度刚好能接住羽毛球）为2.3m，那他想保证这次能接到甲同学的球（两人之间的水平距离得保持在以上），离甲同学最近的水平距离是多少．（，结果保留整数）
23．综合与实践
【问题情境】
某数学兴趣小组开展数学活动，探索绳子垂下时形状的变化．如图1是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2是一个单杠的示意图，，，单杠的高度，单杠的长为， 将一条带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上的点E，F处 ，，绳子自然下垂时近似成抛物线形，此时绳子的最低点到地面的距离为， 抛物线记为． 兴趣小组以A点为原点建立如图3所示的平面直角坐标系．

（1）求抛物线 的函数表达式．
（2）小明站在单杠下竖直向上伸手，手到地面的距离为， 此时刚好接触到绳子，求小明到立柱的距离．
【拓展探究】
兴趣小组将绳子两端E，F分别向A，D滑动，每次滑动距离均为， 直至绳子两端分别到达点A，D 处停止，滑动过程中通过调节绳子的长度保持抛物线的形状一致，依次得到抛物 线… …
（3）当滑动第n次时，绳子的最低点与单杠的距离是多少？用含n 的代数式表示．
（4）兴趣小组探究之间的特殊位置关系时，发现直线 与三条抛物线组成的图形只有三个交点，直接写出m的值．
水平距离
0
3
6
9
12
竖直高度
0.8
3.05
3.8
3.05
0.8
《河南省商丘市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷 》参考答案
1．B
【分析】本题考查绝对值，比较有理数的大小关系．先求出绝对值，再比较大小，即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴绝对值最小的数为，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手．
由正方体的表面展开图知“化”与“非”是相对面．
【详解】解：由正方体的表面展开图知“化”与“非”是相对面．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握“把一个大于的数表示成的形式（其中大于或等于且小于，是正整数）”是解题关键．
按照科学记数法的定义即可求解．
【详解】解：亿．
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则．
【详解】解：如图，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，能够熟练运用乘法公式是解决本题的关键．
根据积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，分别计算四个算式并判断其正误即可．
【详解】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况求参数），因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
由“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”可得，解方程即可求出的值．
【详解】解：，
整理，得：，
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：或，
故选：．
7．B
【分析】本题主要考查了菱形的判定定理以及折叠的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
利用菱形的判定定理即可判定丝巾的形状．
【详解】解：由题意可知，这块丝巾的两组对角分别相等，且邻边相等，故这块丝巾的形状一定是菱形．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了有理数的乘方．由题意得出算式，求解即可．
【详解】解：（个）；
答：文中的鸟巢共有个．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查计算不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质．掌握扇形面积公式是解题的关键．
连接，，先证是等边三角形，根据阴影部分的面积求解．
【详解】解：如图，连接，，作于点H，
由作图知，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故选D．
10．C
【分析】本题考查了动点函数问题，准确分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是解题的关键．连接，交于点，连接，则，当，，A三点共线时，的值最小，即,根据勾股定理求出，，当与重合时，，即可解答．
【详解】解：连接，交于点，连接，如图，则，

∴，
当，，A三点共线时，的值最小，即,
设正方形的边长为，，
则，，
在中，，
∴，即,
解得（舍去）,
∴，
∴，
当与重合时，，
所以最高点的纵坐标的值为，
故选：C．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：（答案不唯一）满足条件，
故答案为：（答案不唯一）．
12．4
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．
由可得四边形是平行四边形，于是可得，由可得，由平行线分线段成比例定理可得，即，进而可得，然后由即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：4．
13．
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等组的解集为：，
故答案为：．
14．/
【分析】过点作轴于点，连接交于点，首先根据勾股定理解得的长度，结合折叠的性质可得，，，，易得，在和中，由勾股定理解得，的长度；再证明，为等腰三角形，结合相似三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质解得，的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作轴于点，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，轴，
∴，
∵，
∴，解得，
又∵，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
15．或
【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，
∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，
∴当与相切时，最大
如解图1，当点P在左侧时，
根据题意得，，，
∵
过点P作，交的延长线于点H，
∴
∴，
又∵
，即
，
；
如解图2，当点P在右侧时，
同理，可得，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大．
16．(1)
(2)
【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂进行计算即可；
（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法即可．
【详解】（1）解：
（2）
17．(1)（人），补全图形见解析；
(2)人；
(3)．
【分析】根据条形统计图中组有人，扇形统计图中组人数占总人数的，计算出抽查的学生的总人数为人，用总人数减去组、组、组的人数，求出组的人数，根据组的人数补全条形统计图；
根据条形统计图可知被抽查到的学生中参加家务劳动的时间在到分钟的人数共有人，占被抽查的总人数的，利用样本估计总体，可得：全校参加家务劳动的时间在到分钟的人数有人；
利用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，所以可知抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
【详解】（1）解：本次抽样的学生人数为（人），
组的人数为（人），
补全条形统计图如下图所示；
（2）解：（人），
估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在到分钟（含分钟）的学生约人；
（3）解：由题意得，有名女生，名男生，
列表如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本的数据估计总体数据、列表法求概率．解决本题的关键是先求出样本数据，再利用样本数据估计总体数据．
18．(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了作三角形的外接圆；圆的性质，平行四边形的性质与判定；全等三角形的性质与判定；
（1）作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆；
（2）根据题意可得，，则四边形为平行四边形，得出，，进而根据证明，即可．
【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆；
（2）证明：如图，
，，
四边形为平行四边形，
，，
在和中，
，
．
19．(1)
(2)
(3)正确，见解析
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确地识别图形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到 ，得到， 求得，把， 代入函数解析式即可得到结论；
（2）根据反比例函数系数的几何意义即可得到结论；
（3）根据矩形的性质得到 ， 由是边的中点，得到求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴.
∴．
∵，
∴.
∴点N的坐标为．
∵点N在反比例函数的图象上，
∴.
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：∵反比例函数的图象与边，分别交于点， ，
，
故答案为：=；
（3）解：小颖的说法正确，理由：
∵四边形是矩形，
，
∵是边的中点，
，
，
，
∵反比例函数的图象与边，分别交于点，，
，
，，
∴是边的中点．
20．观赏者与墙壁的距离的长为
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，证明，推出，即可解答．
【详解】解：根据题意得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
答：观赏者与墙壁的距离的长为 ．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，总结特殊两位数乘积的规律，列代数式，整式的乘法等内容，解题的关键是善于寻找规律并掌握整式的乘法法则．
（1）根据给出的乘式，发现两因数的规律，并寻找两因数和乘积的关系即可；
（2）列代数式，利用多项式乘多项式的运算法则进行整理即可．
【详解】（1）解：例子，；
特征：两个两位数的十位数字相同，个位数字之和为10；
规律：十位数字乘以比它大1的数作为积的前两位，两个个位数字相乘的积作为积的后两位．
（2）解：设这两个两位数分别为和（为十位数字，），则．
证明如下：
．
22．(1)
(2)离甲同学最近的水平距离是
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意，得：，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，
解得：或，
∵两人之间的水平距离得保持在以上，
∴离甲同学最近的水平距离是．
23．（1）；（2）或（3）；（4）
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）根据题意设抛物线的解析式为，再代入求解即可．
（4）首先求出，然后分别转化成顶点式求出顶点坐标，进而求解即可．
【详解】解：（1）根据题意可得，即，，
抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线的解析式为，
将点代入可得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）将代入可得，，
解得：，
故小明到立柱的距离是或．
（3）根据题意设抛物线的解析式为
∴当时，，
∴绳子的最低点与单杠的距离为．
（4）根据题意可得直线 与三条抛物线组成的图形只有三个交点，
，，
∴的顶点为，
∴直线与只有三个交点．
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
B
D
B
C
D
C
男
男
女
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
（女，女）