河南省许昌市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷(含解析)

这是一份河南省许昌市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷(含解析)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1.若的运算结果为正数，则内的数字可以为（ ）
A.2B.1C.0D.
2.近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积16.8亿亩（注：1亩≈667平方米），其中16.8亿用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
3.我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A.B.C.D.
4.下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，已知，于点，平分，若，则的度数是（ ）
A.140°B.130°C.120°D.110°
6.如图，点，，在上，，若，则的度数为（ ）
A.10°B.15°C.20°D.25°
7.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ）
A.B.C.D.
8.某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A.B.C.D.
9.如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称.若点，，，…，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是（ ）
A.B.C.0D.1
10.如图，在Rt中，，，，是边上的高.点，分别在边，上（不与端点重合），且.设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.若一次函数（是常数）的图象经过第二、三、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）
12.某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下：
根据以上数据估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数________人.
13.若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为________.
14.如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为________.
15.如图（1），在中，，，，求的长.可在上取点，使，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为________
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）（1）解方程组
（2）先化简，再求值：，其中，.
17.（9分）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举行了“中国近现代史”知识竞赛（百分制），为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了40名学生的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.七年级学生竞赛成绩的频数分布表：
b.八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
c.八年级学生竞赛成绩在这一组的数据是：
80，80，82，83，83，84，86，86，87，88，88，89，89，89.
d.七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中，的值，________，________
（2）此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩，他是哪个年级的学生?请说明理由.
18.如图，直线与圆相交，交点分别为，.
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作直线的垂线（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）点是外一点，分别连接，，交于点，连接.（1）中所作垂线和交于点，若，且，求的度数.
19.（9分）我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面上，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角.在平面直角坐标系中，放置一平面镜（点在轴上），从点处发射的光线照射到平面镜上的点处时，反射光线经过点，如图所示.
（1）求光线所在直线的表达式.
（2）若从点处发射的光线，经过平面镜反射后恰好经过点，求此时在平面镜上入射点的坐标.
21.（9分）圭表（如图（1））是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图（2）是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即为），圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米.
（1）求的度数；
（2）求表的长（最后结果精确到0.1米）.
（参考数据：，，，）
21.（9分）郑州市天气日渐炎热，某商场根据民众健康需要，代理销售每台进价分别为600元、560元的，两种型号的吹风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入进货成本）
（1）求，两种型号的吹风扇的销售单价.
（2）若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的吹风扇共30台，超市销售完这30台吹风扇能否实现利润为6200元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
22.（10分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
已知：缆索L所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离.（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索L所在抛物线的函数表达式；
（2）点在缆索上，，且，，求的长.
23.（10分）综合与实践
综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动.
如图（1），在直角三角形纸片ABC中，.
（1）操作判断
操作一：对折直角三角形纸片ABC，使点B与点C重合，得到折痕DE，把纸片展平.问题1：如图（2），当直角边时，折痕的长为________；
操作二：如图（3），将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，直线与边交于点（不与点，重合）.
问题2：在绕点E旋转的过程中，DP与NP的数量关系为________
（2）探究迁移
若，.在绕点旋转的过程中，当直线经过点时，如图（4），求的长.
（3）拓展应用
若，.在绕点旋转的过程中，当与的边平行时，直接写出与重叠部分的面积（面积为0时忽略不计）.
参考答案
一、选择题
1.答案：D
解析：两数相乘，同号得正，异号得负。因为为负，要使运算结果为正数，则内的数字为负数，所以选D。
2.答案：B
解析：科学记数法的表示形式为，其中，为整数。1亿，16.8亿。
3.答案：由于没有图形信息，无法给出答案。
4.答案：A
解析：解不等式得。与组成的不等式组无解，因为不能既小于又大于2。
5.答案：B
解析：因为，，所以。又因为平分，，所以，，则。
6.答案：C
解析：因为，根据垂径定理可知，所以。又因为，所以。
7.答案：A
解析：第一次摸球有2种可能，放回后第二次摸球也有2种可能，所以总共有种等可能的结果。两次都摸出红球只有1种情况，所以概率为。
8.D
9.答案：C
解析：因为函数的图象关于点中心对称，所以点与，与，……两两关于点对称，对称点的纵坐标之和为0，所以。
10.A
二、填空题
11.答案：（答案不唯一）
解析：一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，所以的值可以是。
12.答案：600
解析：抽取的50名学生中跳绳个数不低于175个的人数为人，占比为，所以估计九年级1000名学生中跳绳个数不低于175个的人数为人。
13.答案：
解析：对于一元二次方程，，即，解得。
14.答案：由于没有图形信息，无法给出答案。
15.答案
解析：因为，，所以。又因为，所以，则，所以。
三、解答题
16.（1）解方程组
得，解得。
把代入（1）得，解得。
所以方程组的解为。
（2）当，时，。
17.（1）；
八年级40名学生成绩从小到大排列，第20、21个数都在这一组，
这组数据从小到大排列为80，80，82，83，83，84，86，86，87，88，88，89，89，89，第20、21个数分别是86，86，所以。
（2）因为七年级中位数是81，八年级中位数是86，，，所以该学生是七年级的学生。
18.（1）
作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，则即为所求垂线。（保留作图痕迹）
（2）因为，所以。
又因为，所以。
因为，所以。
设，则，，
根据圆内接四边形的性质可得，
即，
解得，所以。
19. （1）设光线所在直线的表达式为，
把，代入得，
解得，
所以光线所在直线的表达式为。
（2）设，根据光的反射定律可知，点关于轴的对称点在直线上。
设直线的表达式为，
把，代入得，
解得，
所以的坐标为。
20. （1）。
（2）设米，在中，；
在中，。
因为，所以，解得（米）。
21.（1）设种型号吹风扇的销售单价为元，种型号吹风扇的销售单价为元。
由两边同乘2得，
用减去得：
，解得。
把代入得：，解得。
所以种型号吹风扇的销售单价为800元，种型号吹风扇的销售单价为780元。
（2）设采购种型号吹风扇台，则采购种型号吹风扇台。
解第一个不等式：
。
解第二个方程：
。
因为，所以不能实现利润为6200元的目标。
22.（1）设缆索所在抛物线的函数表达式为，
因为抛物线的对称轴为，且过点，，，
代入可得，
解得，
所以缆索所在抛物线的函数表达式为。
（2）当时，，
即，，，
解得，。
因为，所以。
23.（1）
问题1：因为，点为中点，是的垂直平分线，所以。
问题2：连接，，可证明，所以。
（2）在中，，，则。
因为是的垂直平分线，所以，。
设，则。
由可得，
即，解得。
（3）分三种情况讨论：
①当时，与重叠部分的面积为；
②当时，与重叠部分的面积为；
③当时，与重叠部分的面积为。
跳绳的个数/个
人数/人
2
5
13
24
6
成绩
频数
频率
2
0.05
4
10
0.25
14
0.35
10
0.25
合计
40
1.00
中位数
七年级
81
八年级
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
4台
5台
7100元
第二周
6台
10台
12600元