河南省周口市2024-2025学年九年级下学期第三次联考 数学试题试卷（含解析）

这是一份河南省周口市2024-2025学年九年级下学期第三次联考 数学试题试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，数轴上的数，，，中，小于的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
2．据网络平台数据，截至月日 时分，年度大盘票房（含预售）突破亿，刷新中国影史年度票房最快破亿纪录．数据亿用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．将含有角的直角三角板如图放置，其中，若， 则（ ）
A．B．C．D．
4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是 （ ）
A．调查“天鹅之城”三门峡黄河岸边浅滩湿地的水质情况
B．对欲“搭乘”实践十九号卫星“上天”的药材种子的活性进行调查
C．对搭乘郑州7，8号地铁线的乘客进行满意度调查
D．对郑州市民春运期间返乡的交通方式进行调查
5．如图是一个立方体的平面展开图，每个小正方形的边长均为1， 则在立方体上，点A，B 的距离为（ ）
A．2B．C．D．1
6．一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数 在范围内有最大值，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
9．如图，正方形的边长为，分别以，为直径画半圆，过点的直线分别交两半圆于点，．已知，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形 中 ，，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到， 连接，．当的值最小时，点运动的时间为（ ）
A．2 秒B．秒C．秒D．秒
二、填空题
11．已知，，写出符合题意的a的一个值：
12．如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)．
13．一个不透明的口袋中装有5个小球（这些小球除所标数字外，其他完全相同），小球上分别标有数字1，2，3，4，5．现从中随机摸取一个，不放回，再摸取一个，先后摸到的小球上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字，则组成的两位数恰好是3的倍数的概率为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点 是正六边形 的边上一动点，连接 ， 将绕点顺时针旋转，得到， 连接 ．点 从点出发，按照顺时针的方向 即以每秒个单位长度的速度 运动，则第秒时点的坐标为 ．
15．如图，在中，，，是的中点，将点旋转得到， 连接．当 时，的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．【项目背景】
随着先进科技、教育环境以及社会动态的变化，存量风险逐渐 显现，新型风险因势而生，纷至沓来的风险挑战使得校园安全 事件也层出不穷．为了解学生对校园安全的认识和掌握情况， 某地对甲、乙两校的部分学生进行了调查统计，为校园安全质 量的提升提供一些参考．
【数据收集与整理】
从甲、乙两校各随机抽取名学生进行测试满分分， 测试后对学生的成绩单位：分进行了整理和分析．部分信 息如下：
信息一：绘制成了如下两幅均不完整的统计图．
数据分组：组，；组，；组，； 组，
信息二：甲校学生的测试成绩在组的是：，，，，，，，，．
信息三：甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数如下表．
任务1补全频数分布直方图．
【数据分析与运用】
任务2 乙校学生的测试成绩位于组的人数为 人，表格中 ．
任务3 在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为 分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？ 请说明理由
18．科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬 起整个地球!”这运用的是杠杆原理．如图，表示地球，点P是支点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点， 且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图（2），连接交于点， 延长交于点，点为 下方的 上一点，且 ． 在（1）的条件下，若点为的中点，求的度数．
19．如图（1），在 中 ，，， 将含角的直角三角板的锐角顶点放至点 处，斜边交于点， 直角边交于点，．小华进行了如下探究．
（1）他发现，且通过推理验证是正确的，请写出你的证明过程．
（2）他设，．
①请你直接写出与的函数关系式．
②请在图（2）中画出该函数的大致图象，并写出该图象的一条性质．
20．图（1）是小明同学自制的测量工具，其中， ，上都有相同单位的刻度，可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 ． 如图（），小明站在自动扶梯的底部处，让测量工具的 平行于地面，的延长线交于点，滑动 使，，在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点， 滑动 ， 使，，在同一条直线上，此时．小明的 身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精 确到）
21．下表是牡丹蛋糕店几种蛋糕的售价表：
（1）小华发现，买块种蛋糕、块种蛋糕共需元，而每块 种蛋糕比每块 种蛋糕便宜元，则表中 ， ．
（2）小华原本拿了4块蛋糕去结账，他发现店里正举办优惠活动：若买5块蛋糕，则免去一个最便宜的蛋糕的钱．因此， 小华就多买了一块D 种蛋糕．设小华原本块蛋糕的结账金额为 元，多买一块后的结账金额为元．
①试写出与的函数关系式；
②直接写出的取值范围．
22．如图，是一个可以在水平地面上左右移动的机械杆，水平地面，在点处有一个抛射装置，每次拋出的木球的运动路径都相同，是拋物线的一部分．斜坡与地面的夹角是米，斜坡上有个球洞米．某次投射，木球恰好落在点处，木球运动到与的水平距离为6米处时达到最高位置．已知米．请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题．
（1）求出木球飞行的最大高度；
（2）若把向右平移米，木球恰好能落入球洞，求的值．（结果精确到1米，）
23．综合与实践
学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动．
勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点．
（1）任务1：初步探究．
求证：．
创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ．
（2）任务2：猜想与验证．
猜想，之间的数量关系，并加以证明．
开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过
点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ．
（3）任务3：求两线段的比值．
过点 作于点， 若 ，请直接写出的值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据右边的数比坐标的大，即可求解．
【详解】解：根据数轴可得，
∴小于的是，
故选A．
2．【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿，
故选B．
3．【答案】C
【分析】根据已知得出，根据，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
4．【答案】B
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A. 调查“天鹅之城”三门峡黄河岸边浅滩湿地的水质情况，适宜采用抽样调查方式，故该选项不符合题意；
B. 对欲“搭乘”实践十九号卫星“上天”的药材种子的活性进行调查，适宜采用全面调查方式，故该选项符合题意；
C. 对搭乘郑州7，8号地铁线的乘客进行满意度调查，适宜采用抽样调查方式，故该选项不符合题意；
D. 对郑州市民春运期间返乡的交通方式进行调查，适宜采用抽样调查方式，故该选项不符合题意；
故选B．
5．【答案】C
【分析】根据图形可得在立方体上，点A，B 的距离为边长为1的等腰直角三角形的斜边的长，即可求解．
【详解】解：如图
依题意，，
在立方体上，点A，B 的距离为
故选C．
6．【答案】A
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴
∴或
解得：
故选A．
7．【答案】D
【分析】反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵轴．
∴四边形是矩形
∴
∵菱形，对角线轴
∴
∵菱形的面积为，
∴
故选D．
8．【答案】B
【分析】根据题意可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案．
【详解】解：
∵，抛物线开口向上，对称轴为直线
①当时，即时，
当时，最大值
则
解得：（舍去）
②当时，
当时，最大值为
解得：（舍去）或
故选B．
9．【答案】B
【分析】连接，证明得出，结合已知可得，进而根据阴影部分面积等于半圆的面积减去三角形的面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵以，为直径画半圆，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴，
设，则
又∵
∴
∴
∵，
∴弓形相等，
∴阴影部分面积为
故选B．
10．【答案】C
【分析】以为边在矩形内部作等边三角形，连接并延长交于点，过点作于点，证明，得出，，即点在垂直于的直线上运动，进而得出当点运动到点时，取得最小值，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，以为边在矩形内部作等边三角形，连接并延长交于点，过点作于点，
将绕点顺时针旋转，得到，
，
三角形是等边三角形，

又是等边三角形，

，
，
，，
即点在垂直于的直线上运动，
，
当点运动到点时，取得最小值，
，
四边形是矩形，
，
，
，即取得最小值，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，
点运动的时间为
故选C．
11．【答案】（答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴
∴的值可以是：
12．【答案】
【分析】根据题意分别求得，，进而用作差法比较大小，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，
∴
∴
13．【答案】
【分析】用列表法确定所有可能数和可能被3整除的可能数，然后用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
随机一次性摸出两个球有种可能，组成的两位数恰好是3的倍数的有种，
∴组成的两位数恰好是3的倍数的概率为
14．【答案】
【分析】根据题意得出正六边形的边长为，则运动一圈的时间为秒，进而得出第秒时，点运动到点的位置，根据旋转的性质求得点的坐标，即可求解．
【详解】解：正六边形的顶点，的坐标分别为，，
∴，
∴正六边形的边长为
点运动一圈的路程为，
∵点 以每秒个单位长度的速度运动，
∴运动一圈的时间为秒，
（圈），
第秒时，点运动到点的位置，
∴
∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴
15．【答案】或
【分析】先证明是等腰直角三角形，过点作于点，得出，分当在的上方时，当在的下方时，分别画出图形，结合图形，即可求解．
【详解】解：过点作于点，
∵，是的中点，
∴，
∵点旋转得到，
∴是等腰直角三角形，，
∵
∴，
∴，
如图，当在的上方时，
∴在中，
∴，
如图，当在的下方时，
同理可得.
16．【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，三角函数值，零指数幂的意义化简计算即可；
（2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17．【答案】任务1：见详解；任务2：；，；任务2：小华的排名更靠前，理由见详解
【分析】任务1：用总数减去其他组别的人数，得出组的人数，进而补全统计图；
任务2：根据扇形统计图求得组的占比，进而求得组的人数，再根据中位数的定义，以及甲校学生的测试成绩在组数据求得的值；
任务3：根据甲、乙两个学校的中位数以及小明、小华的成绩进行判断即可．
【详解】任务1：甲校学生测试成绩位于组的人数为：
补全频数分布直方图如图，
任务2 乙校学生的测试成绩位于组的人数为人，
甲校学生的测试成绩在组的是：，，，，，，，，．
从小到大排列为：，，，，，，，，
∴甲校学生的测试成绩的中位数是第和个数为，
∴
故答案为：，．
任务2小华的成绩排名在前，理由如下：
小明的成绩为分，在甲校中位数分以下，
小华的成绩分，在乙校中位数81分以上，
因此小华的成绩排名靠前；
18．【答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）连接，以的中点为圆心为半径作弧，交于点，作直线，即可求解．
（2）根据垂径定理的推论可得，根据切线的性质可得，则得出，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求
（2）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵是的中点
∴
∴
∴
19．【答案】（1）见详解
（2）①；②画见详解，当时，随的增大而减小
【分析】（1）先证明，，即可证明；
（2）①勾股定理求得，设，，根据（1）得出，进而得出与的函数关系式；
②根据列表，描点画出函数图象，结合函数图象，写出一条性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵在 中 ，，，
∴
又∵，
∴
∴
∴，
（2）解：①∵，，
∴
设，．
∴
∵
∴
∴
∴
即
∴
②列表，
描点连线，如图所示，
当时，随的增大而减小
20．【答案】建筑物的高度约为米
【分析】根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解．
【详解】解：设，则，
根据题意可得，
∴即，
∴
同理可得
∴即
∴
解得：
∴
答：建筑物的高度约为米
21．【答案】（1），．
（2）①或；②
【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）①分类讨论，购买的蛋糕最便宜的是否有元的，根据题意列函数关系式；
②根据价格表结合题意，求得最少金额和最多金额，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
解得：
故答案为：，．
（2）解：①当没有购买蛋糕，则蛋糕是最便宜的，则，
当购买了蛋糕时，，
②当购买最便宜的4块，加上一块D 种蛋糕．则
当购买的是最贵的块，一块D 种蛋糕．则
∴．
22．【答案】（1）米
（2）
【分析】（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）过点A作于点C，根据解直角三角形得到和的长度，然后求出点P关于对称轴的对称点坐标解题即可．
【详解】（1）解：以点为原点，直线为轴，建立如图（1）所示的平面直角坐标系，设单位长度为1米，
．
木球运动到与的水平距离为6米处时达到最高位置，
可设抛物线的表达式为，
将分别代入，
得解得
木球飞行的最大高度为米；
（2）解：如图（1），过点A作于点C，则，
（米），
（米）．
由（1）知，点P关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为
．
23．【答案】（1）见详解；（2），见详解（3）
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证；
（2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证；
（3）过点作于点，证明得出，设，则，进而得出，在中，，根据勾股定理求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点
∴
∴
∴．
（2），
如图，取的中点，连接，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴
∴
（3）解：如图，过点作于点
由（1）可得
∵，，
∴，
∵
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，则
∴
∴
设，则
∴
∴
∵，，
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴
在中，
∴
解得：．
∴．学校
平均数
中位数
众数
甲
84.2
82.5
乙
蛋糕种类
价格/（元/块）
1
2
3
4
5
1
12
13
14
15
2
21
23
24
25
3
31
32
34
35
4
41
42
43
45
5
51
52
53
54