八年级数学下册 第二学期 期中综合测试卷（人教版 2025年春）

这是一份八年级数学下册 第二学期 期中综合测试卷（人教版 2025年春），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．要使式子eq \r(x＋1)在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≤－1
2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，eq \r(3)，4
3．[2024南京期末]要使▱ABCD成为菱形，则可添加一个条件是( )
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AD＝BC D．AC＝BD
4．[2024惠州月考]如图，在数轴上，以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点B′，点B′所表示的数为x，则x的值为( )
A．eq \r(2) B．－eq \r(2) C．eq \r(2)－1 D．1－eq \r(2)
5．[2024阜新期末]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
6．[2024乐山]已知1＜x＜2，化简eq \r((x－1)2)＋|x－2|的结果为( )
A．－1 B．1 C．2x－3 D．3－2x
7．图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为( )
A．eq \r(5) B．eq \f(\r(5),2) C．eq \f(\r(21),3) D．eq \f(\r(7),2)
8．如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张A4纸(矩形ABCD)上剪出一个面积为100eq \r(3) cm2的等边三角形AEF.某小组分析后，先作了∠MAB＝60°，再算出了AF的长，然后分别在AM，AB上截取了AE＝AF，连接EF，则AF的长为( )
A．5eq \r(3) cm B．10 cm C．10eq \r(3) cm D．20 cm
9．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为( )
A．2 B．eq \r(3) C．1 D．eq \f(\r(3),2)
10．[2024宜宾期末]如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE，其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．四边形ABCD中，AD＝BC，请添加一个条件，使得此四边形为平行四边形，你添加的条件是________．
12．观察并分析下列数据，寻找规律：0，eq \r(2)，2，eq \r(6)，2eq \r(2)，eq \r(10)，2eq \r(3)，…，那么第10个数据应是________．
13．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门的对角线长度恰好为1丈．问门高、宽各是多少(1丈＝10尺，1尺＝10寸)？如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为____________．
14．如图①是清代方胜纹暗花缎袄，如图②是缎袄上面方胜纹示意图，菱形ABCD与菱形A′B′C′D′是完全相同的两个菱形，中间四边形EB′FD也是菱形，EF，B′D相交于点M，若EF＝eq \f(3,2)，B′D＝3，则菱形EB′FD的周长为________．
15．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(－4，0)，C(8，0)，D(8，4)，动点P以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿B－C－D向点D运动，点Q以每秒1个单位长度的速度，从点D出发，沿线段DA向点A运动．P，Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．运动过程中，以A，P，Q三点组成的三角形为直角三角形时，此时P点的坐标为________．
三、解答题(共75分)
16．(12分)(1)计算：eq \r(3)(1－eq \r(15))＋3eq \r(5).
(2)先化简，再求值：2(a＋eq \r(5))(a－eq \r(5))－a(a－4)＋14，其中a＝eq \r(6)－2.
17．(12分)[2024上海期中]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，∠BAD的平分线交DC于点E，EC＝2，DG⊥AE，垂足为点G，DG＝3，求AE的长．
18．(12分)如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为eq \r(72) m，宽BC为eq \r(32) m，爷爷准备在空地中划出一块长为(eq \r(10)＋1)m，宽为(eq \r(10)－1)m的小长方形地种植香菜(即图中阴影部分)，其余部分种植青菜．
(1)求出长方形空地ABCD的周长；(结果化为最简二次根式)
(2)求种植青菜部分的面积．
19．(12分)已知▱ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)如图①，求证：四边形ABCD为矩形；
(2)如图②，连接AC，BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形ODEC为菱形．
20．(12分)[2024长沙模拟]某次台风来袭时，一棵大树(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D(如图所示)，量得∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所形成的角∠ADC＝60°，AD＝4米．
(1)求大树的根部A到折断后的树干CD的距离；
(2)求这棵大树AB原来的高度．(结果精确到个位，参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7，eq \r(6)≈2.4)
21．(15分)问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE所在的直线折叠，点D的对应点为D′.
分析探究：
(1)如图①，当点D′恰好落在AB边上时，四边形D′BCE的形状为_____________．
问题解决：
(2)如图②，当E，F为CD边的三等分点时，连接FD′并延长，交AB边于点G.试判断线段AG与BG的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，当∠DAE＝45°时，连接DD′并延长，交BC边于点H.若▱ABCD的面积为24，AD＝4，请直接写出线段D′H的长．
答案
一、1．B 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．A
8．D 【点拨】如图，过E作EH⊥AF于H，则∠EHA＝90°.
∵△AEF是等边三角形，∴AH＝FH.设AH＝FH＝x cm，则AE＝AF＝2x cm，∴EH＝eq \r(AE2－AH2)＝eq \r(3)x cm.∵等边三角形AEF的面积＝100eq \r(3) cm2，
∴eq \f(1,2)×2x·eq \r(3)x＝100eq \r(3)，解得x＝10(负值已舍去)，∴AF的长为20 cm.
9．D 【点拨】连接AG.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝180°－∠C＝180°－120°＝60°.
∵点E，F分别是AH，GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴EF＝eq \f(1,2)AG.∴当AG最小时，EF有最小值．
当AG⊥BC时，AG最小，此时∠BAG＝30°，∴BG＝eq \f(1,2)AB＝1，∴AG＝eq \r(3)，∴EF＝eq \f(1,2)AG＝eq \f(\r(3),2)，即EF的最小值为eq \f(\r(3),2).
10．C 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°.
∵△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°.
∴∠BAE＋∠DAF＝30°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AF，,AB＝AD，))
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE＝DF(故①正确)，∠BAE＝∠DAF.
又∵∠BAE＋∠DAF＝30°，∴∠DAF＝15°(故②正确)．
∵BC＝CD，BE＝DF，∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF.
又∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF(故③正确)．∴CG＝EG＝eq \f(1,2)EF.
设EC＝CF＝x，由勾股定理，得EF＝eq \r(2)x，∴CG＝EG＝eq \f(\r(2),2)x，AE＝EF＝ eq \r(2)x，∴AG＝eq \f(\r(6),2)x，∴AC＝eq \f(\r(6)x＋\r(2)x,2)，
∴在Rt△ABC中，AB＝BC＝eq \f(\r(3)x＋x,2)，∴DF＝BE＝eq \f(\r(3)x＋x,2)－x＝eq \f(\r(3)x－x,2)，
∴BE＋DF＝eq \r(3)x－x≠eq \r(2)x(故④错误)．
∵S△CEF＝eq \f(1,2)x2，S△ABE＝eq \f(1,4)x2，∴2S△ABE＝eq \f(1,2)x2＝S△CEF(故⑤正确)．
综上所述，正确的结论有4个．
二、11．AD∥BC(答案不唯一) 12．3eq \r(2)
13．(x－6.8)2＋x2＝102 14．3eq \r(5)
15．(0，0)或(4，0) 【点拨】设运动时间为t秒．由题知OB＝4，AD＝8，BP＝2t，DQ＝t，四边形AOCD是矩形，
∴∠OAD＝90°.
①当∠PAQ＝90°时，易知此时点P与原点O重合，
∴P点的坐标为(0，0)；
②当∠AQP＝90°时，如图，此时四边形AOPQ是矩形，
∴AQ＝OP，即8－t＝2t－4，解得t＝4，∴P点的坐标为(4，0)；
③当∠APQ＝90°时，易知不存在此种情况．综上可知，P点的坐标为(0，0)或(4，0)．
三、16．【解】(1)原式＝eq \r(3)－eq \r(45)＋3eq \r(5)＝eq \r(3)－3eq \r(5)＋3eq \r(5)＝eq \r(3).
(2)原式＝2(a2－5)－(a2－4a)＋14
＝2a2－10－a2＋4a＋14
＝a2＋4a＋4
＝(a＋2)2，
当a＝eq \r(6)－2时，原式＝(eq \r(6)－2＋2)2＝6.
17．【解】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝7，
∴CD∥AB，CD＝AB＝7，∴∠DEA＝∠BAE.
∵∠BAD的平分线交DC于点E，∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝ED＝CD－EC＝7－2＝5.
又∵DG⊥AE，∴∠AGD＝90°，AG＝EG，
∴AG＝eq \r(AD2－DG2)＝eq \r(52－32)＝4，
∴AE＝2AG＝2×4＝8.
18．【解】(1)长方形空地ABCD的周长＝2×(eq \r(72)＋eq \r(32))＝2×(6eq \r(2)＋4eq \r(2))＝ 20eq \r(2)(m)．
(2)种植青菜部分的面积为eq \r(72)×eq \r(32)－(eq \r(10)＋1)(eq \r(10)－1)＝48－(10－1)＝48－ 9＝39(m2)．
19．【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC.
又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD为矩形．
(2)∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形ODEC是平行四边形．由(1)可知，四边形ABCD是矩形，∴OC＝eq \f(1,2)AC，OD＝eq \f(1,2)BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴四边形ODEC为菱形．
20．【解】(1)过点A作AE⊥CD于点E，如图．
在Rt△AED中，
∵∠ADE＝60°，
∴∠EAD＝30°.
又∵AD＝4米，
∴DE＝2米，∴AE＝2eq \r(3)米．
∴大树的根部A到折断后的树干CD的距离为2eq \r(3)米．
(2)∵∠BAD＝90°，∠BAC＝15°，∴∠DAC＝90°－15°＝75°.
在Rt△AEC中，∵∠CAE＝∠CAD－∠DAE＝75°－30°＝45°，
∴∠ACE＝90°－∠CAE＝90°－45°＝45°，
∴∠ACE＝∠CAE，∴CE＝AE＝2eq \r(3)米，
∴CD＝DE＋CE＝(2＋2eq \r(3))米，
AC＝eq \r((2\r(3))2＋(2\r(3))2)＝2eq \r(6)(米)．
由题知AB＝AB′，B′C＝CD，∴AB＝AB′＝AC＋B′C＝AC＋CD＝2eq \r(6)＋2eq \r(3)＋2≈ 2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2(米)≈10米．
∴这棵大树AB原来的高度约为10米．
21．【解】(1)平行四边形
(2)BG＝2AG，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E，F为CD边的三等分点，∴DE＝EF＝eq \f(1,3)DC.
由折叠可知ED＝ED′，∠AED＝∠AED′，
∴ED′＝EF，∴∠ED′F＝∠EFD′.
由三角形外角性质可知∠DED′＝∠AED＋∠AED′＝∠ED′F＋∠EFD′，
∴∠AED′＝∠ED′F，∴AE∥FG，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴EF＝AG.
∵EF＝eq \f(1,3)DC，AB＝CD，∴AG＝eq \f(1,3)AB，
∴BG＝eq \f(2,3)AB，∴BG＝2AG.
(3)D′H＝2eq \r(2). 【点拨】由折叠可知∠D′AE＝∠DAE＝45°，AD′＝AD＝4，
∴∠DAD′＝90°，∴△DAD′为等腰直角三角形，
∴∠ADH＝∠AD′D＝45°.延长AD′交BC于M，则∠MD′H＝∠AD′D＝45°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝4，∴∠DHM＝∠ADH＝45°＝∠MD′H，∠AMH＝ ∠DAD′＝90°，∴MD′＝MH.
∵▱ABCD的面积＝BC·AM＝24，BC＝4，
∴AM＝6，∴MH＝MD′＝AM－AD′＝2，
∴D′H＝eq \r(M′D2＋MH2)＝2eq \r(2).