八年级数学下册 第二学期 期中综合测试卷（沪科版 2025年春）

这是一份八年级数学下册 第二学期 期中综合测试卷（沪科版 2025年春），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.要使eq \f(\r( ,x＋1),5)有意义，则x的取值范围为( )
A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－1
2．下列计算结果正确的是( )
A.eq \r(3)＋eq \r(4)＝eq \r(7) B．3 eq \r(5)－eq \r(5)＝3
C.eq \r(2)×eq \r(5)＝10 D.eq \r(18)÷eq \r(2)＝3
3．若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0的一个根为x＝0，则a＝( )
A．0 B．±1 C．1 D．－1
4．我们给“△”一个实际意义，规定a△b＝eq \r(a)·eq \r(b)－eq \r(\f(a,b))，则2△3的值为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(2 \r(6),3) C.eq \r(6) D.eq \f(4 \r(6),3)
5．如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
6．某款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5 000个，7月25日和7月26日的总销量是30 000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为( )
A．5 000(1＋x)2＝30 000
B．5 000(1－x)2＝30 000
C．5 000＋5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)2＝30 000
D．5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)2＝30 000
7．若a、b是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，则a2－3b的值是( )
A．3 B．－15 C．－3 D．15
8．等腰三角形的一边长为2，它的另外两条边的长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是( )
A．8 B．9 C．8或9 D．12
9．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离的平方为( )
A．4＋4π2 B．4＋16π2
C．16＋16π2 D．64＋16π2
10．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A 在△ECD的斜边DE上，若AE＝eq \r(2)，AD＝eq \r(6)，则两个三角形重叠部分的面积为( )
A.eq \r(2)
B．3－eq \r(2)
C.eq \r(3)－1
D．3－eq \r(3)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．如果最简二次根式eq \r(3a－8)与eq \r(7)可以合并成一个二次根式，则a＝________．
12．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为________．
(第12题) (第14题)
13．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为s＝eq \f(1,2)at2，如果飞机起飞前滑行距离s为750 m，其中a＝15 m/s2，则飞机起飞的时间t＝________s.
14．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和1个正方形拼接而成，将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别记为S1、S2、S3.
(1)若S1＝25，S3＝1，则S2＝________；
(2)若S1＋S2＋S3＝24，则S2＝________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
15．计算：
(1)2eq \r(12)－6 eq \r(\f(1,3))＋3eq \r(48)；
(2)eq \r(27)÷eq \r(3)－2 eq \r(\f(1,5))×eq \r(10)＋eq \r(8).
16．解方程：
(1)2x2－4x－1＝0；
(2)(x＋1)2＝6x＋6.
四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
17．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AD⊥DC，AB＝13 m，BC＝12 m，求这块地的面积．
18．已知x＝eq \f(\r(3)－1,2)，y＝eq \f(\r(3)＋1,2)，求下列各式的值：
(1)x2－xy＋y2；
(2)eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＋2.
五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
19．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的高度．
20．关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.
(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
六、(本题满分12分)
21．某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．
(1)如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是________元；
(2)如果该校共购买图书100本，用去购书款4 750元，则该校购买古典诗词类图书多少本？
七、(本题满分12分)
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位．
(1)当t＝2时，CD＝________；
(2)求当t为何值时，△CBD是直角三角形(D不能与A，C重合)；
(3)求当t为何值时，△CBD是等腰三角形(D不能与A，C重合)．
八、(本题满分14分)
23．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0与cx2＋bx＋a＝0(ac≠0，a≠c)称为一对“和谐方程”．如2x2－5x＋3＝0的“和谐方程”是3x2－5x＋2＝0.
(1)写出一元二次方程x2＋2x－15＝0的“和谐方程”：_____________________________________；
(2)已知一元二次方程x2＋2x－15＝0的两根为x1＝3，x2＝－5，它的“和谐方程”的两根为x3＝－eq \f(1,5)，x4＝ ____________．根据以上结论，猜想ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2与其“和谐方程”cx2＋bx＋a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为__________，证明你的猜想；
(3)已知关于x的方程2 024x2＋bx－1＝0的两根是x1＝－1，x2＝eq \f(1,2 024).请利用(2)中的结论，求出关于x的方程(x－1)2－bx＋b＝2 024的两根．
答案
一、1.B 2.D 3.D 4.B 5.A 6.D
7．D 点拨：因为a、b是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，所以a＋b＝－3，a2＋3a－6＝0，即a2＝－3a＋6，则a2－3b＝－3a＋6－3b＝－3(a＋b)＋6＝－3×(－3)＋6＝9＋6＝15.
8．B 9.A 10.D
二、11.5 12.64 13.10 14.(1)13 (2)8
三、15.解：(1)原式＝4 eq \r(3)－2 eq \r(3)＋12 eq \r(3)＝14 eq \r(3).
(2)原式＝3－2 eq \r(2)＋2 eq \r(2)＝3.
16．解：(1)因为a＝2，b＝－4，c＝－1，
所以Δ＝b2－4ac＝16－4×2×(－1)＝24，
所以x＝eq \f(－（－4）±\r(24),2×2)＝eq \f(2±\r(6),2)，
所以x1＝eq \f(2＋\r(6),2)，x2＝eq \f(2－\r(6),2).
(2)原方程可变形为(x＋1)2－6(x＋1)＝0，
分解因式，得(x＋1)(x＋1－6)＝0，
所以x＋1＝0或x＋1－6＝0.所以x1＝－1，x2＝5.
四、17.解：如图，连接AC.
∵AD⊥DC，∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(42＋32)＝5(m)，
∴AC2＋BC2＝52＋122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴这块地的面积为S△ABC－S△ACD＝eq \f(1,2)×5×12－eq \f(1,2)×3×4＝24(m2)．
18．解：因为x＝eq \f(\r(3)－1,2)，y＝eq \f(\r(3)＋1,2)，所以x＋y＝eq \r(3)，xy＝eq \f(1,2).
(1)x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(eq \r(3))2－3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
(2)eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＋2＝eq \f(y2＋x2＋2xy,xy)＝eq \f(（x＋y）2,xy)＝eq \f(（\r(3)）2,\f(1,2))＝6.
五、19.解：设旗杆的高度是x m，则绳子的长度是(x＋1)m.根据题意得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.
答：旗杆的高度是12 m.
20．(1)证明：因为Δ＝m2－4(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，所以无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：不存在．理由：由根与系数的关系可得x1＋x2＝－m，x1x2＝m－2,
因为x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1，
所以(x1＋x2)2－2x1x2＋m(x1＋x2)＝m2＋1，
所以m2－2(m－2)－m2＝m2＋1，
整理得m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1，
由方程有两个同号的实数根可得x1x2>0，即m－2>0，
所以m>2，所以不存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立．
六、21.解：(1)57
(2)设该校购买古典诗词类图书x本，
①若x≤40，由题意得60x＋40(100－x)＝4 750，
解得x＝37.5，不是整数，舍去；
②若x>40，由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(60－\f(x－40,2)))x＋40(100－x)＝4 750，
解得x1＝30，x2＝50，
因为x>40，所以x＝50.
答：该校购买古典诗词类图书50本．
七、22.解：(1)2
(2)根据题意，得∠C≠90°且当∠CBD＝90°时，点D与点A重合，不符合题意，
∴若△CBD是直角三角形，
则∠CDB＝90°.此时BD⊥AC，
即BD为AC边上的高．在Rt△ABC中，
由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(82＋62)＝10，
S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)AB·BC，
即eq \f(1,2)×10·BD＝eq \f(1,2)×8×6，解得BD＝4.8，
∴CD＝eq \r(BC2－BD2)＝eq \r(62－4.82)＝3.6.
∵3.6÷1＝3.6(秒)，∴t＝3.6.
(3)①当CD＝BC时，CD＝6.6÷1＝6(秒)．
②当BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于点F，则CF＝FD＝eq \f(1,2)CD.
由(2)易得CF＝3.6，∴CD＝2CF＝2×3.6＝7.2.
7．2÷1＝7.2(秒)．
③当CD＝BD时，∠C＝∠CBD.
∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠A＝90°，∠CBD＋∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠A，∴BD＝AD，∴BD＝AD＝CD.
∵AC＝10，∴CD＝5. 5÷1＝5(秒)．
综上所述，当t＝6或7.2或5时，△CBD是等腰三角形．
八、23.解：(1)－15x2＋2x＋1＝0
(2)eq \f(1,3)；互为倒数
证明：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)，cx2＋bx＋a＝0的两根为x3＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2c)，x4＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2c)，
所以x1·x4＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq \f(－b－\r(b2－4ac),2c)＝eq \f(b2－（b2－4ac）,4ac)＝eq \f(4ac,4ac)＝1，x2·x3＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)·eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2c)＝eq \f(b2－（b2－4ac）,4ac)＝eq \f(4ac,4ac)＝1，即原方程的两根与其“和谐方程”的两根互为倒数．
(3)因为方程2 024x2＋bx－1＝0的两根是x1＝－1，x2＝eq \f(1,2 024)，所以该方程的“和谐方程”－x2＋bx＋2 024＝0，
即x2－bx－2 024＝0的两根为x3＝－1，x4＝2 024.
又因为(x－1)2－bx＋b＝2 024可化为(x－1)2－b(x－1)－2 024＝0，
所以x－1＝－1或x－1＝2 024，
所以关于x的方程(x－1)2－bx＋b＝2 024的两根为x5＝0，x6＝2 025.题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案