（复习）人教A版高二数学暑假自主学习讲义06 统计和概率（2份，原卷版+解析版）

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1古典概型
(1) 古典概型的特点
有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2) 古典概型事件A的概率P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数
2 概率的基本性质
性质1 对任意事件A，都有PA≥0
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；
性质3 若事件A与事件B互斥时，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4 若事件A与事件B对立事件，则PB=1−PA , PA=1−PB
性质5 如果A⊆B,那么PA≤P(B)
性质6 设A , B是一个随机试验中的两个事件，有PA∪B=PA+PB−P(A∩B)
3 事件的相互独立性
① 独立事件
对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则我们称事件A与事件B相互独立，简称独立.
4分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
5 总体取值规律的估计
① 频率直方图
(1) 画频率直方图的步骤
求极差--决定组距与组数--将数据分组--列频率分布表--画频率分布直方图.
(2) 小长方形的面积=频率
(3) 在直方图中，各小长方形的面积之和等于1.
6 总体百分位数的估计
① 第p百分位数的概念
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有100−p%的数据大于或等于这个值.
② 计算一组n个数据的第p百分位数
第一步：按从小到大排列原始数据；
第二步：计算i=n×p%;
第三步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
7 总体集中趋势的估计
一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数.
一般地，对数值型数据(如用水量，身高，收入，产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.
8 总体离散程度的估计
① 方差，标准差的概念
(1)假设一组数据是x1,x2,…,xn，用x表示这组数据的平均数，我们称S2=1ni=1nxi−x2
这组数据的方差，为了计算方便也可以用1ni=1nxi2−x2；标准差是S=1ni=1nxi−x2.
② 方差，标准差的意义
方差越大，表明数据波动越大，越不稳定；方差越小，表明数据波动越小，越稳定.
【题型一】古典概型
【典题1】 甲乙丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，若开始时球在甲手中，则经过三次传球后，球传回甲手中的概率为（ ）
A．14 B．13 C．38 D．12
解析 根据题意画出树状图如下：
∵一共有8种情况，最后球传回到甲手中的情况有2种，∴P（球传回到甲手中）=28=14．故选：A．
变式练习
1.在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．34
答案 A
解析 在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．
∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是p=14．故选：A．
2.将号码分别为1、2、…、6的六个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a﹣2b+2＞0成立的事件发生的概率等于（ ）
A．16 B．14 C．13 D．12
答案 C
解析 ∵将号码分别为1、2、…、6的六个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．
甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，基本事件总数n=6×6=36个，要使不等式a﹣2b+2＞0成立，则当a=1时，b=1；当a=2时，b=1；当a=3时，b=1，2；当a=4时，b=1，2；当a=5时，b=1，2，3；当a=6时，b=1，2，3．故满足a﹣2b+2＞0的基本事件共有m=12个，∴使不等式a﹣2b+2＞0成立的事件发生的概率p=mn=1236=13．故选：C．
【题型二】 统计综合题
【典题1】（多选) 气象意义上从春季进入夏季的标志为“当且仅当连续5天每天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据均为正整数，单位℃)且满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；
乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；
丙地：5个数据有1个是30，平均数是24，方差是9.6．
根据以上数据，下列统计结论正确的是（ )
A．甲地进入了夏季
B．乙地进入了夏季
C．不能确定丙地进入了夏季
D．恰有2地确定进入了夏季
解析 甲地：5个数据由小到大排，则22，22，24，a，b，其中24