第05讲 概率与统计-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修二）

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【易错点总结】
条件概率与事件的独立性
1.相互独立事件
一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件A与B相互独立，则eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))，A与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝eq \f(P（A∩B）,P（B）).
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与Beq \(A,\s\up6(－))是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋eq \(A,\s\up6(－)))＝BA＋Beq \(A,\s\up6(－))，从而P(B)＝P(BA＋Beq \(A,\s\up6(－)))＝P(BA)＋P(Beq \(A,\s\up6(－)))，当P(A)>0且P(eq \(A,\s\up6(－)))>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－))).
随机变量及其分布列
1.离散型随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；
(2)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).
(2)方差
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.
(3)标准差
称eq \r(D（X）)称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
二项分布与超几何分布
1.n次独立试验与二项分布
(1)n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
(2)二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k，k＝0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Ceq \\al(0,n)p0qn＋Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(MP(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，
这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M).
4.正态分布
(1)正态曲线
φ(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(（x－μ）2,2σ2)，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝eq \r(D（X）)，即X的标准差.φ(x)也常常记为φμ，σ(x).
(2)正态曲线的一些性质
①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；
②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；
③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
独立性检验
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关.
2.相关系数
(1)r＝eq \f(\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))（xi－eq \(x,\s\up12(－))）（yi－eq \(y,\s\up12(－))）,\r(\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))（xi－eq \(x,\s\up12(－))）2\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))（yi－eq \(y,\s\up12(－))）2))
＝eq \f(\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(eq \(x,\s\up12(－)))\a\vs4\al(eq \(y,\s\up12(－))),\r(（\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))xeq \\al(2,i)－neq \(x,\s\up12(－))2）（\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))yeq \\al(2,i)－ny2）)).
(2)当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关.
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)我们将eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))称为y关于x的回归直线方程，其中
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(b,\s\up6(^))＝\f(\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))（xi－eq \(x,\s\up12(－))）（yi－eq \(y,\s\up12(－))）,\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))（xi－eq \(x,\s\up12(－))）2)＝\f(\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(eq \(x,\s\up12(－)))\a\vs4\al(eq \(y,\s\up12(－))),\(∑,\s\up12(n),\s\d8(i＝1))xeq \\al(2,i)－neq \(x,\s\up12(－))2)，,\(a,\s\up6(^))＝\(y,\s\up6(^))－\(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up12(－)).))
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差.
4.2×2列联表和χ2
如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下.
记n＝a＋b＋c＋d，则
χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).
5.独立性检验
统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示.
要推断“A与B有关系”可按下面的步骤
(1)作2×2列联表.
(2)根据2×2列联表计算χ2的值.
(3)查对分位数k，作出判断.如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关.若χ2 【重难点剖析】
考点一：条件概率与事件的独立性
1．从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，：第二次抽到的数字小于第一次，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字小于第一次；
则数字为的倍数的数有：，所以，
第二次抽到的数字小于第一次的情况分为：
第一次抽到的数字为，第二次则抽到，共5种；
第一次抽到的数字为12，第二次则抽到，共11种；
第一次抽到的数字为18，第二次则抽到，共17种.
则，
.
故选：B.
2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，
则，
所以.
故选：C
3．某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则另外两个都是女孩的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，
基本事件有：（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），（男男男），共有7个，
其中另外两个都是女孩包含的基本事件有：
（男女女），（女男女），（女女男），共有3个，
则至少有两个孩子是女孩的概率是.
故选：A.
4．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（ ）
A．0.785B．0.845C．0.765D．0.215
【答案】A
【详解】解：记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知，，，，
因此．
故选：A．
5．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
考点二：随机变量
6．下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的均值是上的一个数
B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平
C．若离散型随机变量的均值，则
D．离散型随机变量的均值
【答案】B
【详解】对于，离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在上，
故错误，
对于B，散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，
故B正确，
对于C，离散型随机变量的均值，
则，
故C错误，
对于D，离散型随机变量的均值，
故D错误．
故选：B．
7．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【详解】由于随机变量服从正态分布，且，
而，
所以，
所以.
故选：B
8．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得该产品能销售的概率为，
易知的取值范围为，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，
所以，
，
，
故.
故选：C.
9．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从几何分布D．
【答案】C
【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则，，
，，，
，
故A，D错误．
故选：C．
10．在某校的一次化学考试中，全体考生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参加考试的学生总数约为（ ）
（参考数据：，，）
A．202B．205C．206D．208
【答案】A
【详解】因化学考试的成绩服从正态分布，显然期望，标准差，
于是得，
所以参加考试的学生总数约为.
故选：A
考点三：统计模型
11．某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）
参考数据如下：，.
A．低于B．低于C．高于D．高于
【答案】C
【详解】由于，
而，
所以可信度高于.
故选：C
12．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（ ）
A．150B．170C．240D．175
【答案】C
【详解】设男女大学生各有m人，根据题意画出2×2列联表，如下图：
所以，因为有99%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，所以总人数2m可能为240．
故选：C．
13．关于线性回归的描述，下列命题错误的是（ ）
A．回归直线一定经过样本点的中心B．残差平方和越小，拟合效果越好
C．决定系数越接近1，拟合效果越好D．残差平方和越小，决定系数越小
【答案】D
【详解】对A，回归直线一定经过样本点的中心正确；
对B，残差平方和越小，拟合效果越好正确；
对C，决定系数越接近1，拟合效果越好正确；
对D，残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数越接近1，故D错误；
故选：D
14．由样本数据，对两个变量和进行回归分析，则下列说法错误的是（ ）
A．由样本数据得到的回归直线必过点
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量和之间的相关系数为，变量和之间具有较强的线性相关关系
【答案】C
【详解】回归方程必过样本中心，A正确；
残差平方和越小，代表估计值和测量值越接近，即拟合的效果越好，B正确；
越接近1，模型的拟合效果越好，C错误；
若，则变量和之间具有较强的线性相关关系，D正确；
故选：C．
15．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据其回归直线方程是，且，则当时，的估计值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
因为回归直线方程是，所以，所以，解得：，
所以，所以当时，的估计值为：.
故选：A.
【基础过关】
一、单选题
1．随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
由正态分布的对称性可得，故B正确，A错误，
而正态分布的方差无法确定，故C，D均错误.
故选：B．
2．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率分别为和，而且两个机构互不影响，则恰有一个机构研制成功的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意，有一个机构研制成功的概率为.
故选：B
3．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．
∴他们不去北京旅游的概率分别为，，．
∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，
∴至少有1人去北京旅游的概率为：．
故选：B
4．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩采用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为（ ）
A．60B．40C．30D．15
【答案】C
【详解】，.
故选：C
5．某工厂生产的零件的尺寸 (单位： ) 服从正态分布 ， 任选一个零件， 尺寸在 的概率为（ ）
附： 若 ， 则 ．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由零件的尺寸 (单位： ) 服从正态分布 ，
可知 ，故 ，
由 可得，
故尺寸在 的概率为，
故选：B
6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为，故，
又，故，解得，当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
7．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，甲最后获胜的情况有3种
①甲投中1次，乙投中0次，则概率为
②甲投中2次，乙投中1次，则概率为
③甲投中2次，乙投中0次，则概率为
，
所以甲最后获胜的概率为，
故选：B
8．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则的数学期望的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】随机变量可能的取值为2，3．
．
，
故的分布列为：
故．因为，故．故选：A．
二、多选题
9．设X是随机变量，那么（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，所以，所以，所以A正确，
对于B，因为，，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，所以，所以D错误，
故选：ABC
10．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（ ）
A．数据的平均数为0
B．若变量的经验回归方程为，则实数
C．变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强
D．变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好
【答案】BD
【详解】解：因为，所以.
对于选项A，的平均数为，故选项A错误；
对于选项B，若变量的经验回归方程是，则，故选项B正确；
对于选项C，当变量为负相关时，相关性越强，相关系数越小（越接近于），故选项C错误；
对于选项D，变量的决定系数越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．甲乙参加某个五局三胜的比赛，每局他们获胜的可能性相同，最终胜者将获得2000元奖金，前两局甲获胜后，因为其他要事而中断了比赛，则甲应得_____元奖金才公平．
【答案】1750
【详解】因为该五局三胜的比赛每局两人获胜的可能性相同，
所以在前两局甲获胜后，甲获胜的概率为，甲应得元.
故答案为：.
12．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸服从正态分布，若x落在内的零件个数为2718，则可估计所抽取的这批零件中直径x高于22的个数大约为___________.（附：若随机变量服从正态分布，则，，.）
【答案】455
【详解】解：由正态分布可知：，，，，
，，
直径高于的个数大约为.
故答案为：455
四、解答题
13．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．
(1)求甲被录用的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．
【答案】(1)(2)分布列见解析
【详解】（1）由题意得甲通过两个项目测试的概率为，
通过三个项目测试的概率为，
所以甲被录用的概率为.
（2）由（1）得每个人被录用的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
14．为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为．
(1)求列联表中的数据，，，的值；
(2)能够有多大把握认为疫苗有效？
附：
【答案】(1)，，，
(2)有%的把握认为疫苗有效
（1）
设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件，由已知得，所以，代入可得，，．
（2）
．
所以有%的把握认为疫苗有效.
15．5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司五年时间里在通信5G技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：
(1)利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；
(2)求关于的线性回归方程．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．
【答案】(1)答案见解析(2)
（1）
由表中数据可得，，
∴，又，，
∴．
∴与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合．
（2）
由表中数据可得，
则，
∴，
故关于的线性回归方程为．
【能力提升】
一、单选题
1．为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二、周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是（ ）
A．该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为
B．
C．该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为
D．
【答案】B
【详解】依题意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两次的概率为，故A正确；
依题意的可能取值为，则，意味着第一次从6人中选中的3人，第二次仍然为这3人，则，
同理可得：，所以，故B错误；
对于，工人甲一周内两次均未被选中的概率为，
所以工人甲一周内至少被选中一次的概率为，故正确；
，意味着第一次先从6人中选中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人从没有抽到的3人中抽取，
故概率为：，
同理可得：，
所以，故D正确.
故选：B.
2．甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【详解】依题意知：甲乙胜负的概率都是假设比赛继续，甲只需三场中赢得一场即获得全额奖金，
甲获胜的概率（元）
故选：C
3．一个笼子里关着7只猫，其中有3只黑猫､4只白猫.到了给猫喂食时间时，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫.猫争先恐后地往外钻，如果7只猫都钻出了笼子，事件表示“第k只出笼的猫是黑猫”，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意，可得，
对于A中，事件表示第只出笼的猫都是黑猫，
则，所以A正确；
对于B中，事件表示第1只或第2只出笼的猫是黑猫，
则，所以B不正确；
对于C中，，所以C正确；
对于D中，表示第5只和第2只猫时黑猫，
可得，所以，所以D正确，
故选：B
4．甲、乙、丙三名同学计划暑假从物理、化学、生物三个学科中各自任意选一门进行学习，每人选择各个科目的概率为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择物理的前提下甲同学选择物理的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】记事件为“至少有两人选择物理”，事件为“甲同学选择物理”，则，，∴．
故选：D
5．在乒乓球的一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先得2分的一方为胜方．甲乙两人进行乒乓球比赛，在每一个回合的比赛中，甲得1分的概率为，现在决胜局比赛中，甲、乙的比分暂时为，则最终甲以赢得比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得，甲、乙的比分暂时为后，其后比分为，，
则甲、乙的比分暂时为后，甲乙又进行了6场比赛，每场比赛结果相互独立，
前2场甲一胜一负，中间2场甲一胜一负，最后2场甲连胜.
则甲、乙的比分暂时为后，最终甲以赢得比赛的概率为
故选：C
二、填空题
6．有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1台车床加工的概率为___________.
【答案】
【详解】记为事件“零件为第（）台车床加工，为事件“任取一个零件为次品”，则
所以
所以.
故答案为：.
7．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、黄球和绿球，其中黄球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出黄球即停．记拿出的绿球个数为，且，则随机变量的数学期望______．
【答案】####1.5
【详解】设绿球共有n个，
当，红球有3个，则，不符合；
当，红球有2个，则，不符合；
当，红球有1个，则，符合；
所以红球有1个，黄球有1个，绿球有3个，
故可能值为，且，
，
，
，
所以.
故答案为：
三、解答题
8．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望．
(2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列．
【详解】（1）“体育迷”对应的频率为：，
用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则；
所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（2）根据分层抽样原则知：抽取的人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为，
；；；
的分布列为：
9．峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别.它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00﹣22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00﹣次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调.为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以[100，300），[300，500），[500，700），[700，900），[900，1100），[1100，1300]（单位：度）分组的频率分布直方图如图所示.若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”.其中，使用峰谷电价的户数如表：
(1)估计所抽取的50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)①将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面2×2的列联表：
②根据①中的列联表，能否有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？
附：，
【详解】（1）根据频率分布直方图的得到100度到300度的频率为：
1﹣0.001×200﹣0.0015×200﹣0.0012×200﹣0.0006×200﹣0.0002×200＝0.1，
估计所抽取的50户的月均用电量的众数为：（度）；
估计所抽取的50户的月均用电量的平均数为：
（度）.
（2）①依题意，使用谷峰电价的用户数有：.
大用户数为：.
一般用户数为：.
据此可得2×2列联表如下：
②K2的观测值
所以不能有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.
10．某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列；
(2)令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1）
(3)根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）
参考数据：，，，，，，，，，，．
【详解】（1）由题意，抽取两家深入调查，可能为0，1，2.
,，，
∴的分布列为：
（2）由散点图可知,散点并非均匀分布在一条直线的两侧，而是大致分布在一条曲线的两侧，不符合线性回归模型要求，∴更合适于此模型，
∵
∴
∴回归方程为：
（3）由题意得，,
在中
当时，解得：，
当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴函数在处取最大值，
∴收费标准为150元/天时，100天销售额L最大.
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)p0qn
Ceq \\al(1,n)p1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)pnq0
A
eq \(A,\s\up6(－))
总计
B
a
b
a＋b
eq \(B,\s\up6(－))
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
α＝P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
K
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
看
不看
合计
男
m
女
m
合计
2m
2
3
未发病
发病
合计
未注射疫苗
注射疫苗
合计
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
收益（亿元）
45
56
64
68
72
月平均用电量（度）
[100，300）
[300，500）
[500，700）
[700，900）
[900，1100）
[1100，1300]
使用峰谷电价的户数
3
9
13
7
2
1
一般用户
大用户
使用峰谷电价的用户
25
______
不使用峰谷电价的用户
______
______
P（K2≥k）
0.025
0.010
0.001
k
5.024
6.635
10.828
一般用户
大用户
使用峰谷电价的用户
25
10
不使用峰谷电价的用户
5
10
x
100
150
200
300
450
t
90
65
45
30
20
0
1
2
P