（预习）人教A版高二数学暑假自主学习讲义02 空间向量的数量积运算（2份，原卷版+解析版）

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已知两非零向量 a , b，在空间任取一点O，作 OA=a , OB=b ，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作 ；且规定0≤≤π ；
若 =π2，则称a与b互相垂直，记作:a⊥b .
2 向量的数量积
已知向量a , b ，则|a| b|cs 叫做a , b的数量积，记作a⋅b，
即a⋅b= |a| b|cs.
特别地，零向量与任何向量的数量积为0.
【例】如图，正方体ABCD−A'B'C'D'的棱长为1，求D'A∙D'B'，AD'∙BC.
解 ∵∆AD'B'是正三角形，∴ =2 ∙2∙22=2；AD'∙BC=AD'∙AD=AD'∙AD∙cs0，
∴为锐角，即∠BAC为锐角，同理∠ABC，∠BCA均为锐角，∴△ABC为锐角三角形．
变式练习
1.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE= （用a,b,c表示）．若四面体O−ABC为正四面体，且边长为1，则|OE|= ．
答案 114
解析 ∵D为BC的中点，∴OD=12OB+12OC=12b+12c，
∵E为AD的中点，∴OE=12(OA+OD)=12a+14b+14c，∵若四面体O−ABC为正四面体，且边长为1，
∴|OE|2=12a+14b+14c2=14a2+116b2+116c2+14a⋅b+14a⋅c+18b⋅c
=14+116×2+14×1×1×12×2+18×1×1×12=1116，∴|OE|=114．
2.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
答案 60°.
解析 不妨设正方体的棱长为1，设AB=a,AD=b,AA1=c，则|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=b⋅c=c⋅a=0，
A1B=a−c,AC=a+b,∴A1B⋅AC=(a−c)⋅(a+b)=|a|2+a⋅b−a⋅c−b⋅c=1，
而A1B=|AC|=2，∴cs=12×2=12，∴=60∘
所以异面直线A1B与AC所成的角为60°.
3.如图，三棱锥O－ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，记OA=a,OB=b,OC=c．
(1)用向量a,b,c表示向量DE；(2)求DE的最小值．
答案 (1) λc−12a−12b (2) 22
解析 (1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，记OA=a,OB=b,OC=c．
∴DE=OE−OD=λOC−12(OA+OB)=λc−12a−12b，
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，则|OD|=32，且cs∠DOE=33，
|DE|2=|OE−OD|2=OE2−2OE⋅OD+OD2
=(λc)2−2×λ×1×32×cs⁡∠DOE+34=λ2−λ+34=λ−122+12，
则当λ=12时，|DE|2取得最小值12，则|DE∣的最小值为22．
4.证明线面垂直的判断定理
如图，m，n是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m,l⊥n，求证l⊥α.
证明 在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，
因为直线m与n相交，所以向量m,n不平行，由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使g=xm+yn，两边分别与向量l作数量积运算，得l∙g=xl∙m+yl∙n，
因为l∙m=0，l∙n=0，所以l∙g=0，所以l⊥g，
由于g的任意性，则直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.

【A组---基础题】
1.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a,AD=b,AA1=c，则a⋅(b+c)的值为（ ）
A．1B．0C．−1D．−2
答案 B
解析 由正方体的性质可得，AB⊥AD，AB⊥AA1，故AB⋅AD=0,AB⋅AA1=0，
∵AB=a,AD=b,AA1=c，∴a⋅(b+c)=AB⋅AD+AA1=AB⋅AD+AB⋅AA1=0．故选：B．
2.平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB+DC+2AD)⋅(AB−AC)=0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．无法确定
答案 C
解析 ∵((DB+DC+2AD)⋅(AB−AC)=0，∴(AB+AC)⋅(AB−AC)=0，可得AB2=AC2．可得AB=AC．
则△ABC的形状是等腰三角形．故选：C．
3.在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为( )
A．3B．3C．6D．6
答案 D
解析 AC1=AB+AD+AA1，则AC12=AB+AD+AA12=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD+2AB⋅AA1+2AD⋅AA1=1+1+1+3×2×1×1×cs60°=6．∴AC1=6．故选：D．
4.(多选)已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点，则（ ）
A．AB⋅AC=2B．EF⋅FG=1C．AB⋅EG=0D．GE⋅GF=1
答案 ACD
解析 由题意，空间四边形ABCD的每条边及AC,BD的长都为2，四面体时正四面体，所以每个面都是等边三角形，点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，所以AB⋅AC=|AB∥AC|cs⁡60∘=2，故A正确；
EF⋅FG=12BD⋅12AC=14BD⋅(BC−BA)=14BD⋅BC−14BD⋅BA=0，故B错误；
AB⋅EG=AB⋅(FG−FE)=AB⋅12AC−AB⋅12DB=1−12BA⋅BD=1−1=0，故C正确；
GE⋅GF=GC+CB+BE⋅GF=GC⋅GF+CB⋅GF+BE⋅GF
=12DC⋅12CA+12CB⋅CA+12BA⋅12CA=−12+1+12=1，故D正确．
故选：ACD．
5.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，点E,F分别为AB,AD的中点，则BC⋅EF= ．
答案 1
解析 因为点E,F分别为AB,AD的中点，所以EF=12BD，又因为四面体ABCD的所有棱长都等于2，
所以BC⋅EF=BC⋅12BD=12|BC||BD|cs⁡∠CBD=12×2×2×12=1．故答案为：1．
6.已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求OE与BF夹角余弦值．
答案 23
解析 方法1 连结CE，取CE中点G，连结FG、BG，∵空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，∴FG∥OE，∴∠BFG是OE与BF所成角，设AB=2，则OE=CE=BF=22−12=3，GF=EG=12OE=32，BG=GE2+BE2=322+12=72，∴cs⁡∠BFG=BF2+FG2−BG22×BF×FG=3+34−742×3×32=23，
∴OE 与 BF 所成角的余弦值为23。
【B组---提高题】
1.已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，
则PM⋅PN的取值范围为( )
A．[0，4]B．[0，2]C．[1，4]D．[1，2]
答案 B
解析
设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，
则内切球的半径为1，
所以PM⋅PN=(PS+SM)⋅(PS+SN)=(PS+SM)⋅(PS−SM)=PS2−1∈[0,2]．
所以PM⋅PN的取值范围是[0，2]．
故选：B．